22282.某類秩約束矩陣變量二次函數(shù)極小化問(wèn)題的序列凸近似方法

1、博士學(xué)位論文某類秩約束矩陣變量二次函數(shù)極小化問(wèn)題的序列凸近似方法SequentialConvexADDroximationADproachForAClassOfSeqUentlaIC0nVeXADDr0XlmatlonADproaCn■。OrAUlaSSUtMatrixVariableQuadraticFunctionMinim娩ationProblemsWithRankConstraint作者姓名：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)教師：學(xué)科、專業(yè)：答辯日期

2、：王博10901052張立衛(wèi)教授JaneJYe教授運(yùn)籌學(xué)與控制論2015年12月1日大連理工大學(xué)DaliaIlUmvers毋ofTecllIIology大連理工大學(xué)博士學(xué)位論文摘要矩陣變jI=二次函數(shù)極小化問(wèn)題，特別是其中一類困難的秩約束非凸問(wèn)題，近年來(lái)受到了越來(lái)越廣泛的關(guān)注。其在計(jì)量經(jīng)濟(jì)、統(tǒng)計(jì)、機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本文主要對(duì)矩陣變量是對(duì)稱半正定矩陣和非對(duì)稱矩陣的秩約束二次函數(shù)極小化問(wèn)題的數(shù)值算法進(jìn)行研究。主要內(nèi)容可

3、以歸納如下：1論文的第3和第4章主要討論變量是對(duì)稱半正定矩陣的秩約束二次極小化問(wèn)題。首先利用秩約束等價(jià)于兩個(gè)矩陣范數(shù)之差，轉(zhuǎn)化原二次極小化問(wèn)題為一個(gè)DC約束問(wèn)題。該問(wèn)題的約束規(guī)范的不成立導(dǎo)致理論上的障礙——經(jīng)典序列凸近似(SCA)方法的收斂性無(wú)法保證。為克服轉(zhuǎn)化問(wèn)題的困難，在第3章引入松弛變量E，構(gòu)造了∈松弛方法，并在理論上證明了該方法收斂，數(shù)值實(shí)驗(yàn)則驗(yàn)證了該方法是一個(gè)有效的數(shù)值方法。第4章中提出了另一種基于序列凸近似的非光滑方程的方法

4、。該方法直接考慮與DC約束問(wèn)題的最優(yōu)性條件等價(jià)的三個(gè)非光滑方程。算法的基本思想是：首先固定一個(gè)變量，用兩個(gè)方程迭代剩余的變量，然后在適當(dāng)?shù)臈l件下利用第三個(gè)方程更新原來(lái)固定的變量，并如此交替進(jìn)行。該算法在論文中被證明是收斂的。需要指出，該算法可以推廣到更復(fù)雜的帶有日權(quán)重的問(wèn)題。大f||=的數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明該方法非常高效。2論文的第5章從秩函數(shù)替換的角度考慮問(wèn)題。本章給出了矩陣秩函數(shù)的一種非光滑近似，并探討了其微分性質(zhì)。注意該函數(shù)可以從最初定義

5、的對(duì)稱矩陣?yán)脤?duì)稱化方法推廣到非對(duì)稱矩陣上。為了驗(yàn)證其有效性，將其分別應(yīng)用到相關(guān)系數(shù)矩陣校正問(wèn)題和矩陣補(bǔ)全問(wèn)題中。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其可行性。3論文的第6章通過(guò)對(duì)其La目a119e對(duì)偶理論的討論來(lái)研究非對(duì)稱低秩二次極小化問(wèn)題。對(duì)該非凸問(wèn)題，本章給出了其凸的Lagrallge對(duì)偶問(wèn)題的具體簡(jiǎn)潔的形式，并證明了其弱對(duì)偶性成立。進(jìn)一步，還證明了在略強(qiáng)的條件下，強(qiáng)對(duì)偶性也成立。即在適當(dāng)假設(shè)下，通過(guò)求解凸對(duì)偶問(wèn)題，可以求解非凸的秩約束二次極小化問(wèn)題。