非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法論文

1、<p>　　非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法</p><p>　　摘要：本文首先給出了升階法的定義，以及利用升階法求常微分方程的特解，然后給出幾個(gè)定理及其證明，運(yùn)用這些定理可以求解非齊常系數(shù)線性微分方程，此為一般的方法.最后將所有常見(jiàn)的幾種類(lèi)型的微分方程歸納為一類(lèi)，使得解方程的過(guò)程得到了有效的簡(jiǎn)化.</p><p>　　關(guān)鍵詞：非齊次；常系數(shù)；線性；解法</p>

2、<p><b>　　1.引 言</b></p><p>　　線性微分方程在常微分方程學(xué)中占有一定的地位，其中，研究非齊常系數(shù)線性微分方程的解法對(duì)進(jìn)一步研究其他更復(fù)雜的常微分方程具有指導(dǎo)意義.微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?貝努利、歐拉、法

3、國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問(wèn)題所需要的特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對(duì)某些參數(shù)的依賴(lài)情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對(duì)應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究</p><p>　　近幾年，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)非齊常系數(shù)線性微分方程的解法也有許多研究：</p><p>

4、;　　2005年11月，唐爍在安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)第二十三卷第六期發(fā)表的《常系數(shù)線性非齊次微分方程組的初等解法》中利用初等方法，直接得到兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程組的通解方式.</p><p>　　2007年4月，趙輝在安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)第六期發(fā)表的《二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的一種特殊解法》中對(duì)二階常系數(shù)非齊微分方程運(yùn)用了一種特殊的解法，使得求解此方程變的方便快捷.</p>

5、<p>　　2008年6月，陳新明、胡新姣在大學(xué)數(shù)學(xué)第二十四卷第三期發(fā)表的《常系數(shù)線性非齊次微分方程的簡(jiǎn)單解法》中得到的求n階常系數(shù)線性非齊次微分方程一般解更方便的方法，以及幾種特殊情形的表達(dá)式.</p><p>　　對(duì)于非齊次方程，我們的解法是通解加特解得方法，所謂通解，就是先解出非齊次方程組所對(duì)應(yīng)其次方程組的基礎(chǔ)解系，然后再隨便找一個(gè)特解滿足非齊次方程組即可，然后把它們相加組合起來(lái)，就是非其次方程

6、的解本文將給出非齊次常系數(shù)線性微分方程的一些解法，有助于以后更簡(jiǎn)便的求解這類(lèi)方程。</p><p><b>　　2.主要結(jié)果</b></p><p>　　2.1非齊次常系數(shù)線性微分方程的一般解法</p><p><b>　　2.1.1升階法</b></p><p>　　為了求解非齊常系數(shù)線性微分方程

7、，首先要求方程的特解，這里給出求特解的一種方法-升階法。</p><p>　　定義：當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)</p><p>　　此時(shí)，方程 （1）兩邊同時(shí)對(duì)求次，得</p><p>　　顯然方程（1）的解存在，且滿足上述各方程。最后一個(gè)方程的一個(gè)明顯解（不妨設(shè)時(shí)情況類(lèi)似）是：</p><p>　　此時(shí)。由與通過(guò)倒數(shù)第二各方程可得，依次往上推，一直

8、推到（1），即可得到方程（1）的一個(gè)特解。上面這種方法稱(chēng)為升階法。</p><p>　　2.1.2 解的結(jié)構(gòu)定理</p><p>　　定理1(解的疊加原理)：設(shè)分別是方程和的特解，則有是方程的特解。</p><p>　　證明：將代人方程的左端，</p><p><b>　　得證。</b></p><p

9、>　　定理2 設(shè)是方程的特解，則分別是方程和的特解。(其中是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式) </p><p><b>　　證明：把代人方程</b></p><p><b>　　有：</b></p><p><b>　　所以；</b></p><p>　　(方程的兩端實(shí)部、虛部相同) 得證

10、。</p><p>　　階常系數(shù)非齊次線性微分方程的定義</p><p>　　對(duì)階常系數(shù)非齊次線性微分方程 </p><p>　　， （1）</p><p><b>　　其中為常數(shù)．記 </b></p><p><b>　　， （2）</b></

11、p><p>　　稱(chēng)為方程(1)的特征函數(shù)，記，方程(1)可寫(xiě)成</p><p>　　又記次多項(xiàng)式 （3）</p><p><b>　　引理1</b></p><p><b>　　， （4）</b></p><p><b>　　其中</b><

12、;/p><p>　　證明： 先證明， （5）</p><p>　　用數(shù)學(xué)歸納法．由求導(dǎo)法則得．假設(shè)(5)式對(duì)的情形成立，則</p><p><b>　　，</b></p><p>　　即(5)式成立．由的定義得(4)式．</p><p><b>　　記</b></

13、p><p>　　引理2 若由(3)式給出，且，則</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　證明： 引理1中取，得。在上式中將換為次多項(xiàng)式，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由此有</b><

14、/p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，以及，</b></p><p><b>　　所以有，由此得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　?。?）式成立。<

15、;/b></p><p>　　定理3 記。對(duì)階常系數(shù)非齊線性微分方程</p><p>　　，其中為常數(shù)，可以是復(fù)常數(shù)。若為的重根，則方程（7）的特解為</p><p>　　， （8）</p><p><b>　　其中由</b></p><p><

16、b>　　（9）</b></p><p><b>　　確定</b></p><p>　　證明： 設(shè)方程（）的一個(gè)解為。由引理1，。因?yàn)闉榈拇味囗?xiàng)式，所以當(dāng)時(shí)，。將在處利用公式展開(kāi)，得</p><p><b>　　。</b></p><p>　　因?yàn)闉榈闹馗?，注意，方程?）化

17、為</p><p>　　。 （10）</p><p>　　而為次多項(xiàng)式，以及為常數(shù)，所以當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，也是次多項(xiàng)式。記，由（10）式知（9）式成立。因?yàn)?，所以。方程?）的特解為 。</p><p>　　當(dāng)為的與重根時(shí)，不需經(jīng)（9）式確定待定系數(shù)而直接得到方程（7）的通解。</p><p>　　定理4 若為的重根，則方

18、程（7）的通解為</p><p><b>　?。?（11）</b></p><p>　　若為的重根，則方程（7）的通解為</p><p><b>　?。?2）</b></p><p>　　證明：若為的重根，由定理1，方程（7）的特解為，此時(shí)（9）式為，所以。對(duì)積分次再乘以得（11）式。<

19、/p><p>　　若為的重根，為了得到通解，用證明定理1的方法證明（12）式。設(shè)方程（7）的通解為，與定理1一樣證明，知由（10）式確定。又因?yàn)椋藭r(shí)（10）式為，其中，解得。由定理2得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　注意，兩邊積分次得再乘以得（12）式。</p><p>　　當(dāng)時(shí)，不需經(jīng)（9）

20、式確定待定系數(shù)而直接得到（7）的特解。</p><p>　　推論1 對(duì)階微分方程，若為的重根，則特解為。 （13）</p><p>　　證明： 當(dāng)時(shí)，由定理1得，這里由（9）式確定；當(dāng)時(shí)，，所以（9）式為。由此解出后積分次，再乘以得到（13）式。</p><p>　　當(dāng)，自由項(xiàng)還含或，且為的根時(shí)，也不需經(jīng)（9）式確定系數(shù)而直接得到方程（7）的通解

21、。</p><p>　　定理5 記為虛數(shù)單位。對(duì)二階微分方程</p><p><b>　　或，</b></p><p><b>　　若為的根，則通解為</b></p><p><b>　　或，這里</b></p><p>　　。

22、 （14）</p><p>　　證明： 若為的根，則，所以。定理2中的。由定理2的（12）式取得的特解為（14）式，由此得結(jié)論。</p><p>　　2.2 非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法</p><p>　　證 由萊布尼茨求導(dǎo)公式知當(dāng)時(shí)， 。于是當(dāng)時(shí)，將代入方程（1）便得</p><p><b>　　。</b>

23、;</p><p><b>　　兩端消去可得</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　但（3）中的系數(shù)為</b></p><p><b>　　而當(dāng)?shù)碾A導(dǎo)數(shù)為</b></p><p><b

24、>　　于是。</b></p><p>　　最后我們便得到（1）再的變換下的形式</p><p>　　命題的建立說(shuō)明要求解方程</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　的一個(gè)特解，只需求解方程（注意到）</p><p>　　的特解，從而得到（4）的特解。&l

25、t;/p><p><b>　　至于方程</b></p><p><b>　?。ɑ颍?，（5）</b></p><p>　　可由歐拉公式化為求解方程</p><p><b>　　（6）</b></p><p>　　的特解的實(shí)部（或虛部），而此時(shí)（6）式命題可化為

26、</p><p><b>　　的形式。</b></p><p><b>　　應(yīng)用舉例</b></p><p>　　3.1 非齊次常系數(shù)線性微分方程一般解法的應(yīng)用</p><p>　　例1 求的一個(gè)特解。</p><p>　　解： 將方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得：</p>

27、<p>　　令，則。代入原方程得：。</p><p>　　所以是原方程的一個(gè)特解。</p><p>　　例2 求的一個(gè)特解。 ，</p><p>　　解：將方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)兩次，得： （4）</p><p><b>　　，</b></p><p>　　令，代

28、入方程（4），得：再將代人原方程得：積分，得：因?yàn)榍笤匠痰囊粋€(gè)特解，故取，所以是原方程的一個(gè)特解。</p><p><b>　　例3 求一個(gè)特解</b></p><p>　　解法(1)：特征方程： 特征根：</p><p>　　因?yàn)槭翘卣鞲蕴亟?lt;/p><p><b>　　代入原方程得：</b&

29、gt;</p><p><b>　　得： </b></p><p>　　所以原方程的一個(gè)特解為：</p><p>　　分析：該解法主要分兩步走，先確定特解的表達(dá)形式，然后用待定系數(shù)法確定。這是我們常用的方法，也是眾多教科書(shū)上的方法。</p><p>　　解法(2)：作輔助方程：</p><p>　

30、　因?yàn)槭翘卣鞲栽撦o助方程特解</p><p>　　代入輔助方程得：，得</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以原方程的一個(gè)特解為（取虛部）</p><p>　　分析：該解法主要是避免第一種解法中特解代人

31、方程時(shí)的煩瑣，能較快的得出特解。主要用到的原理是上述定理2和歐拉公式，若方程的右端是含有的形式，可以通過(guò)輔助方程特解的取實(shí)部來(lái)得到一個(gè)特解。一般對(duì)于方程：(1)或(2)作輔助方程，求特解，取實(shí)部或虛部，就能得到原非齊次方程的特解。用該方法求解時(shí)，可先分別求出方程(1)和(2)的特解，再用解的疊加原理即可得到特解 。</p><p>　　解法(3)：由于在確定方程中的特解時(shí)，上述解法是用待定系數(shù)法來(lái)確定的，這種方法

32、一般比較煩瑣。下面不妨用微分算子法來(lái)確定Y ，這種方法一般比較簡(jiǎn)單 。 因?yàn)槭堑奶摬浚韵惹?，再取其虛部?lt;/p><p><b>　　因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　所以： (取虛部)</b></p><p>　　分析：該

33、解法用微分算子法簡(jiǎn)化了求解過(guò)程，結(jié)合了算子法和歐拉公式及上述定理2，是一個(gè)較快解決問(wèn)題的方法。不過(guò)用的過(guò)程中要記住的一些性質(zhì) ，這樣才會(huì)得心應(yīng)手。</p><p>　　解法(4)：原方程可化為：</p><p>　　因?yàn)槭翘卣鞲?所以的特解為，</p><p><b>　　代入方程有：</b></p><p><

34、b>　　得：，即</b></p><p>　　由于與成共軛，所以與。成共軛函數(shù)的必為方程的特解，則</p><p><b>　　所以原方程的特解為</b></p><p>　　分析：該解法主要運(yùn)用了歐拉公式和解的疊加原理及共軛函數(shù)的一些特性。該方法主要特點(diǎn)是它</p><p>　　通過(guò)改變形式，簡(jiǎn)化了特

35、解代入方程時(shí)的煩瑣。</p><p>　　例4 對(duì)二階微分方程或，證明</p><p><b>　　若為的根，則通解為</b></p><p>　　或； （15）</p><p>　　若不是的根，則特解為</p><p>　　或 （16）</p>

36、<p>　　證明： 定理3的（14）式中取，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由此得（15）式。</b></p><p>　　對(duì)二階微分方程，若不是的根，由定理1的（8）式，取，特解為分別取實(shí)部與虛部得（16）式。</p><p><b>　

37、　求解下列微分方程</b></p><p><b>　??； ； </b></p><p>　　解: 是的單根，由定理2的（12）式，通解為</p><p>　　特征方程是的重根。由定理2的（11）式，通解為</p><p><b>　　。</b></p><p&g

38、t;　　。是的重根。由定理3的特解為，其中</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　所以通解為。</b></p><p>　　3.2非齊次線性微分方程特殊解法的應(yīng)用</p><p><b>　　例1 </b></p><p>