畢業(yè)論文--函數(shù)一致連續(xù)性的判斷及應(yīng)用

1、<p>　　題 目：函數(shù)一致連續(xù)性的判斷及應(yīng)用 </p><p>　　姓 名：雷會娟 </p><p>　　學 號：201004010091 </p><p>　　學 院：數(shù)學與統(tǒng)計學院 &

2、lt;/p><p>　　專 業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 </p><p>　　年級班級：2010級1班 </p><p>　　指導教師：鄭遠平 </p><p>　　2014年 5月17日</p><p>　　畢業(yè)論文（設(shè)計）

3、作者聲明</p><p>　　本人鄭重聲明：所呈交的畢業(yè)論文是本人在導師的指導下獨立進行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。</p><p>　　本人完全了解有關(guān)保障、使用畢業(yè)論文的規(guī)定，同意學校保留并向有關(guān)畢業(yè)論文管理機構(gòu)送交論文的復印件和電子版。同意省級優(yōu)秀畢業(yè)論文評選機構(gòu)將本畢業(yè)論文通過影印、縮印、掃描等方式

4、進行保存、摘編或匯編；同意本論文被編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索和查閱。</p><p>　　本畢業(yè)論文內(nèi)容不涉及國家機密。</p><p>　　論文題目：函數(shù)一致連續(xù)性的判斷及應(yīng)用</p><p>　　作者單位：數(shù)學與統(tǒng)計學院</p><p><b>　　作者簽名：</b></p><p>　　2014

5、年 5月17日 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要1 </b></p><p><b>　　引言2</b></p><p>　　1. 函數(shù)連續(xù)與函數(shù)一致連續(xù)的關(guān)系3</p><p>　　1.1

6、函數(shù)連續(xù)性與函數(shù)一致連續(xù)性的區(qū)別3</p><p>　　1.2 函數(shù)連續(xù)性與函數(shù)一致連續(xù)性的聯(lián)系5</p><p>　　2. 一元函數(shù)一致連續(xù)的判斷和應(yīng)用6</p><p>　　2.1 一元函數(shù)在有限區(qū)間上的一致連續(xù)性6</p><p>　　2.2 一元函數(shù)在無限區(qū)間上的一致連續(xù)性8</p><p>　　

7、2.3 一元函數(shù)在任意區(qū)間上的一致連續(xù)性10</p><p>　　3. 二元函數(shù)一致連續(xù)性15</p><p>　　3.1 二元函數(shù)一致連續(xù)的概念15</p><p>　　3.2 二元函數(shù)的一致連續(xù)性的判斷及應(yīng)用15</p><p><b>　　結(jié)束語16</b></p><p>&l

8、t;b>　　參考文獻16</b></p><p><b>　　致謝18</b></p><p>　　函數(shù)一致連續(xù)性的判斷與應(yīng)用</p><p>　　摘 要：本文從函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的概念和關(guān)系出發(fā)，對函數(shù)的一致連續(xù)的定義進行了深入的分析，之后主要對一元函數(shù)在不同類型的區(qū)間進行了探討、總結(jié)和應(yīng)用，還將部分一元函數(shù)的一致連續(xù)

9、的判定方法推廣到二元函數(shù)，使大家對函數(shù)一致連續(xù)的內(nèi)涵有更全面的理解和認識. </p><p>　　關(guān)鍵詞：連續(xù)；一致連續(xù)；連續(xù)函數(shù) </p>&l

10、t;p>　　The judgment and Application of Uniformly Continuous Function</p><p>　　Abstract: This article from the concept of uniformly continuous function is continuous and relation. the definition of uniforml

11、y continuous of function carried on the thorough analysis, then we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function o

12、f two variables in different region. </p><p>　　Key words: Continuity; Uniformly Continuity; Continuity Function </p><p>　　引言

13、 </p><p>　　函數(shù)一致連續(xù)性是數(shù)學分析的一個重要概念，理解函數(shù)的一致連續(xù)性的概念和熟練掌握判斷函數(shù)一致連續(xù)的方法是學好這一理論的關(guān)鍵．函數(shù)一致連續(xù)不僅僅是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)黎曼可積的基礎(chǔ)，而且與以后的含參量積分、函數(shù)項積分等概念有著密切的聯(lián)系．所以，找出函數(shù)一致連續(xù)性的條件是數(shù)

14、學分析中的一個重要內(nèi)容.因此，本文探討了函數(shù)一致連續(xù)性的判定方法，基本性質(zhì)及其應(yīng)用，并且對函數(shù)一致連續(xù)性的判定方法，基本性質(zhì)及各個應(yīng)用進行了深入研究，目的是使讀者能更好的掌握函數(shù)的一致連續(xù)性．使大家對函數(shù)一致連續(xù)的內(nèi)涵有更全面的理解和認識.</p><p>　　數(shù)學概念對數(shù)學的發(fā)展是不可估量的，函數(shù)的概念對于數(shù)學發(fā)展的影響，可以說是貫穿古今．函數(shù)概念的發(fā)展歷史，不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認識的清晰度，而

15、且能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學概念及數(shù)學的學習有很大幫助．17世紀中葉，笛卡爾引入變數(shù)的概念，制定了解析幾何學，從而打破了局限于方程的未知數(shù)的理解；19世紀中期，法國數(shù)學家黎曼吸收了萊布尼茨，達郎貝爾和歐拉的成果，第一次提出了函數(shù)的定義；隨后，牛頓，萊布尼茨分別獨立的建立了微分學說．這期間，隨著數(shù)學的發(fā)展，各種函數(shù)大量出現(xiàn)，但函數(shù)還沒有給出一個一般的定義．國內(nèi)的主要理論成書于十九世紀．它逐步形成一門邏輯嚴密，系統(tǒng)完整的學科，而且在各個方面獲得了十

16、分廣泛的應(yīng)用，成為處理有關(guān)連續(xù)量基礎(chǔ)的強有力的工具．</p><p>　　文獻1,2,5作為論文的基礎(chǔ)，主要是參考了函數(shù)一致連續(xù)的概念和幾個基本的判別方法。文獻3，4，6主要從例題的角度給出大量判斷函數(shù)一致連續(xù)和非一致連續(xù)的判別方法。文獻7討論了函數(shù)一致連續(xù)的幾個充分條件。文獻8就幾種特殊函數(shù)的一致連續(xù)性進行了詳細的探討，得到了滿足Lipchitz條件的函數(shù)，周期函數(shù)等一些特殊函數(shù)的一致連續(xù)性的判別方法。文獻9討

17、論了函數(shù)一致連續(xù)性的幾個判別方法，比如康拓定理以及定義在不同區(qū)間上的函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法。文獻10討論了二元函數(shù)的一致連續(xù)性的概念及一些判別方法。</p><p>　　函數(shù)連續(xù)與函數(shù)一致連續(xù)的關(guān)系 </p><p>　　1.1函數(shù)連續(xù)與函數(shù)一致連續(xù)的區(qū)別 </p><p>　　1.1.1函數(shù)連續(xù)的局部性

18、 </p><p>　　定義1 函數(shù)在某內(nèi)有定義，對于，，使得當時，有 ，那么稱函數(shù)在點處連續(xù). </p><p>　　這里不僅和有關(guān),而且還和點有關(guān),即對于不同的,一般來說是不同的.這樣是不是意味著 在點的鄰域內(nèi)連續(xù)呢?或者說它的圖象在此鄰域上連綿不斷呢？ 答

19、案是否定的，如函數(shù)只在連續(xù)；函數(shù)僅在兩點連續(xù)；又如函數(shù) </p><p>　　容易證明這個函數(shù)在任意點是連續(xù)的. </p><p>　　上面的例子表明“連續(xù)”僅僅是一個局部概念，而不能從字面意

20、思去理解 在點連續(xù).當且僅當 在的鄰域內(nèi)每一點都連續(xù)，才能說在的鄰域內(nèi)連續(xù).因此，函數(shù)在點處連續(xù)的定義不能完全反映“連續(xù)”二字的本意，這的確是個遺憾.但是，如果在連續(xù)點處函數(shù)值，那么上述例外情形就不會發(fā)生了.有如下定理： </p><p>　　定理1 設(shè)在連續(xù)，且，則一定存在的某個鄰

21、域，使 在此鄰域內(nèi)連續(xù). </p><p>　　證明 因在點連續(xù)，即，都有 </p><p>　　現(xiàn)對，由上式顯

22、然有 </p><p>　　又，當充分小時，由局部保號性有 </p><p>　　>>0, </p><p>　　即，從而有 </p>&

23、lt;p>　　可見在連續(xù)，由的任意性，知在的鄰域內(nèi)連續(xù). </p><p>　　因此，函數(shù)的連續(xù)性是一種按點而言的連續(xù)性，它僅僅反映的是函數(shù)在區(qū)間上一點附近的局部性質(zhì)，而不能判斷在某一區(qū)間上的整體性質(zhì). </p><p>　　1.1.2函數(shù)一致連續(xù)的整體性

24、 </p><p>　　定義2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對，，，只要，就有 </p><p

25、>　　則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù). </p><p>　?、?定義中的“一致”指的是什么意思呢？與函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義進行比較，不難發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)連續(xù)定義中的，不僅僅依賴于，還依賴于點在區(qū)間中的位置，即.而在上一致連續(xù)是指，存在這樣的它只與有關(guān)而與在區(qū)間中的位置無關(guān)，即.可以說，如果函數(shù) 在區(qū)間上連續(xù)，即對于任意給定的

26、正數(shù)，對上的每一點，都能分別找到相應(yīng)的正數(shù)，使得對上的任意一點，只要，就有，其中；而對于函數(shù)的一致連續(xù)性來說，對于同一個而言，當在上變動時，的大小不變，即僅僅依賴于.可見，“一致”指的是存在在I上所有點的公共，與有關(guān)，與無關(guān). </p><p>　?、?函數(shù)一致連續(xù)的實質(zhì)是指當在這個區(qū)間的任意兩點

27、越靠近，它們對應(yīng)函數(shù)值差的絕對值就越小.更直觀的是說，可以任意小,即對于任意的 ,只要時,就有. </p><p>　　這里可能會產(chǎn)生這樣的疑問：既然對中每一個點都能找出相應(yīng)的，那么取這些的最小者或者是下確界作為正數(shù)，不就使其與點無關(guān)了嗎？事實上，這不一定能辦到.因為區(qū)間中有無窮多個點，從而也對應(yīng)著無窮多個正數(shù)，這無窮多個正數(shù)卻

28、未必有最小的正數(shù)或下確界. </p><p>　　所以，在區(qū)間上一致連續(xù)反映出在上各點的“連續(xù)”程度是否步調(diào)“一致”這樣一個整體的性質(zhì). </p><p>　　1.2 函數(shù)連續(xù)性與函數(shù)一致連續(xù)性的聯(lián)系

29、 </p><p>　　定理2 函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，則在上連續(xù). </p><p>　　這個定理顯然成立，只須將其中的一個點（或）固定即可，但是在上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間上卻不一致連續(xù). </p><p>　　例1 證明函數(shù)在內(nèi)不一

30、致連續(xù)（盡管它在內(nèi)每一點都連續(xù)）. </p><p>　　證明 取，對（充分小，不妨設(shè)），取， </p><p>　　則雖然有

31、 ， </p><p>　　但 </p><p>　　由函數(shù)一致連續(xù)的定義，函數(shù)在內(nèi)不一致連續(xù).

32、 </p><p>　　那么應(yīng)具有什么樣的條件，函數(shù)在上連續(xù)才能在上一致連續(xù)呢？ </p><p>　　定理3 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在上一致連續(xù).

33、 </p><p>　　這就是著名的G.康托（Con tor）定理.函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的這一性質(zhì)對于研究函數(shù)一致連續(xù)性是非常重要的，由它我們可以推出許多重要結(jié)論. </p><p>　　注1 對于函數(shù)的一致連續(xù)性的掌握應(yīng)該注意以下兩點：

34、 </p><p>　?。?）一致連續(xù)的函數(shù)必連續(xù)，連續(xù)函數(shù)不一定一致連續(xù).</p><p>　?。?）函數(shù)一致連續(xù)的否定敘述：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，使，，雖然有 </p><p>　　但有 ，

35、 </p><p>　　稱函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù). </p><p>　　因此，我們可以在某一點討論函數(shù)的連續(xù)性，卻不能在這一點討論函數(shù)的一致連續(xù)性.函數(shù)的連續(xù)性反映的是函數(shù)的局部性質(zhì)，而函數(shù)的一致

36、連續(xù)性則反映的是在整個區(qū)間上的整體性質(zhì)，它們是兩個不同的概念，既有聯(lián)系又有區(qū)別. </p><p>　　2. 一元函數(shù)一致連續(xù)的判斷和應(yīng)用 </p><p>　　2.1 一元函數(shù)在

37、有限區(qū)間上的一致連續(xù)性 </p><p>　　定理3 康托定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù). </p><p>　　這個定理的證明可應(yīng)用實數(shù)的連續(xù)性命題中的有限覆蓋定理或致密性定理來證明，下面用致密性定理來證明.

38、 </p><p>　　證明 若不然，即對,在區(qū)間 內(nèi)至少存在兩點 及 , 雖然 ,</p><p>　　但是 .</p><p>　　現(xiàn)取 ,那么在 內(nèi)存在兩點 及 . 雖然

39、 </p><p>　　,但是有 . </p><p>　　應(yīng)用致密性定理,在有界數(shù)列中存在一個收斂的子列 ,這里 ,再由于 , 所以 </p><

40、p>　　, </p><p><b>　　亦即 .</b></p><p>　　因為 ,所以 ,

41、 </p><p>　　并且 對一切 成立；另一方面,由于 在 連續(xù),亦即 </p><p>　　由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,有.所以 </p><p&

42、gt;　　. </p><p>　　這同 對一切 成立相矛盾.故假設(shè)不成立.從而原命題成立. </p><p>　　注2 G.康托定理對于開區(qū)

43、間不成立，如例1中所示. </p><p>　　由G.康托定理可知，函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)在上連續(xù)，所以在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必定一致連續(xù)，而對于有限開區(qū)間和無限區(qū)間，則結(jié)論不一定成立.這就需要在有限開區(qū)間的端點或無窮遠點處加上一定的條件，一致連續(xù)性才能成立，這就有下面的定理.

44、 </p><p>　　定理4 函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)在連續(xù)，且與都存在. </p><p>　　證明［充分性］令

45、 </p><p>　　則 在上連續(xù),從而在上一致連續(xù)，所以在內(nèi)一致連續(xù). </p><p>　?。郾匾裕?因為在 內(nèi)一致連續(xù)，所以在 內(nèi)連續(xù)，即對于 ,當時, 有

46、 </p><p>　　于是當 時，有 </p><p>　　根據(jù)柯西收斂準則,極限 存在.同理可證 也存在.

47、 </p><p>　　根據(jù)定理4，可以得到結(jié)論：</p><p>　　推論1 若在區(qū)間（或）上連續(xù)，且（或）存在且有限函數(shù)在（或）上一致連續(xù). </p><p>　　在有限區(qū)間上有一個重要的性質(zhì)：函數(shù)在上一致連續(xù),又在上一致連續(xù), .則在上一致連續(xù).

48、 </p><p>　　2.2 一元函數(shù)在無限區(qū)間上的一致連續(xù)性 </p><p>　　定理5 在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且都存在.

49、 </p><p>　　證明　 ,當 時,有 </p><p>　　從而若 時, 有 </p><p><b>　　所以在上一致連續(xù).</b>

50、;</p><p>　　同理可證：由知，，當 時,有 </p><p>　　, </p><p>　　即知 在 上一致連續(xù).

51、 </p><p>　　又 在上連續(xù)，則在上一致連續(xù),當 時，有 </p><p>　　, </p><p>　　故 在 上一致連續(xù).取 ,當 時便有

52、 </p><p>　　即 在上一致連續(xù). </p><p>　　根據(jù)定理5還可以得到以下結(jié)論：</p><p>　　推論2 函數(shù)在上一致

53、連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且存在.</p><p>　　推論3 函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且與都存在.</p><p>　　推論4 函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且存在.</p><p>　　推論5 函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且與都存在.</p><p>　　對于周期函數(shù)我們有以下定理：</p>

54、<p>　　定理6 設(shè)是定義在上的以為周期的周期函數(shù)，則在上一致連續(xù)的充要條件是在上連續(xù).</p><p>　　證明 必要性顯然.下證充分性.</p><p>　　因為在上連續(xù)，所以在上也連續(xù)，因而一致連續(xù). </p><p>　　因此對，使得對，且，有

55、 </p><p>　　. </p><p>　　，且，不妨假設(shè)且，即 </p><p>　　. </p><p>　　若，則

56、 </p><p>　　， </p><p>　　有. </p><p><b>　　若，則有</b></p><p>　　， </p><p>　　且 ，故有

57、 . </p><p>　　綜上所述，函數(shù)在上一致連續(xù).</p><p>　　注3 運用定理6，可知三角函數(shù)等周期函數(shù)在上是一致連續(xù)的.</p><p>　　還可以運用其他方法來判定.</p><p>　?、?利用漸近線）函數(shù)在連續(xù),且有斜漸近線,即有數(shù) 與 ,使 ,則在一致連續(xù).</p>

58、<p>　?、迫艉瘮?shù)在可導,且（常數(shù)或）,則在 一致連續(xù)的充要條件是為常數(shù).</p><p>　　例2 證明：在上一致連續(xù).</p><p>　　證明 由于，故在該區(qū)間有漸近線，所以 在上一致連續(xù).</p><p>　　2.3 一元函數(shù)在任意區(qū)間上的一致連續(xù)性</p><p>　　定理7 若函數(shù) 在區(qū)間上滿足Lipchitz條件,

59、即存在常數(shù) ,使對任何 ,都有 ,則函數(shù) 在區(qū)間 上一致連續(xù).</p><p><b>　　依定義可立即得證.</b></p><p>　　該定理常常與中值定理結(jié)合在一起運用.</p><p>　　定理7僅僅是函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的充分非必要條件，如下例：</p><p>　　例3 證明在上一致連續(xù)但不滿足Lipchi

60、tz條件.</p><p>　　證明 在上連續(xù)，由Contort定理知在上一致連續(xù).</p><p>　　取 顯然，且有 ， </p><p>　　， </p><p>　　從而，對任意充分大的正整數(shù)，總存在使得</p><p>　　，

61、</p><p>　　即 . </p><p>　　故在上一致連續(xù)，但在上不滿足Lipchitz條件.</p><p>　　由Lipchitz條件啟發(fā)，還可以得到：</p><p>　　推論6 設(shè)存在，使對任意，都有 <

62、/p><p>　　成立，且在區(qū)間上一致連續(xù)，則在區(qū)間上一致連續(xù).</p><p>　　定理8 函數(shù) 在上一致連續(xù)對區(qū)間上任意兩個數(shù)列,當時,有</p><p>　　證明［必要性］因為在 上一致連續(xù),所以,</p><p><b>　　當時有 .</b></p><p>　　任取上的兩數(shù)列 與 并且滿足

63、 .</p><p>　　則對＞0 ,當時有 </p><p><b>　　于是,即 </b></p><p>　　[充分性]假設(shè)在上不一致連續(xù)，則 ,但 </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　特別

64、,取 ,則,但</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　這與已知條件矛盾.所以原命題成立.</p><p>　　注4這個定理主要來判斷函數(shù)的非一致連續(xù)性.</p><p>　　注5 利用定義證明函數(shù)在上的非一致連續(xù)的關(guān)鍵是確定，并且找出使得.而要做到這一點，對于某些函數(shù)來說是比較困

65、難的，但是根據(jù)前面判定函數(shù)一致連續(xù)的充要條件容易得到函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)的兩個比較簡單的充分條件：</p><p>　?。?）連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)非一致連續(xù)的充分條件是和至少有一個不存在.</p><p>　?。?）連續(xù)函數(shù)在區(qū)間非一致連續(xù)的充分條件是在區(qū)間上存在兩個數(shù)列，，使得，但 . </p><

66、p>　　利用上面兩個判定方法可以證明以下幾個題目：</p><p>　?。?） 函數(shù)在上非一致連續(xù)；</p><p>　?。?） 函數(shù)在上非一致連續(xù)；</p><p>　　（3） 函數(shù)在R上非一致連續(xù)；</p><p>　?。?） 函數(shù)在上非一致連續(xù)（提示：可以取，）.</p><p>　　定理9 函數(shù)在區(qū)間上

67、一致連續(xù)時有 . </p><p>　　該定理根據(jù)定義可以很容易的證明.</p><p>　　例4 討論函數(shù)在上一致連續(xù)性.</p><p><b>　　解 在上連續(xù).設(shè)</b></p><p><b>　　當時，設(shè)，則</b></p><

68、p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　且 . </p><p><b>　　所以在上一致連續(xù).</b></p><p>　　當時，

69、 ， </p><p>　　且 .

70、 </p><p><b>　　所以在上一致連續(xù).</b></p><p>　　由（1）（2）可得在上是一致連續(xù)的.</p><p>　　例5 證明= 在 上非一致連續(xù).</p><p><b>　　證明</b></p><p><b>　　方法1　 <

71、;/b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以=在上非一致連續(xù).</p><p>　　根據(jù)一直連續(xù)性定義證得.</p><p><b>　　方法2　取 , 且</b></p&

72、gt;<p><b>　　.</b></p><p><b>　　但 .</b></p><p>　　所以= 在 上非一致連續(xù).</p><p>　　綜上所述，一元函數(shù)主要是運用函數(shù)的定義或所滿足條件的定義區(qū)間來證明或判斷的，上述給出了幾種判定方法，但并不全面，我們還可以進行深入的討論和研究.下面再給出幾種

73、判別方法，由于篇幅有限，僅給出判定定理，自己證明.</p><p>　?、?利用導數(shù))若在區(qū)間上存在有界導函數(shù),即,有，則在上一致連續(xù).</p><p>　　⑵（利用擬可導）定義3(凸函數(shù)) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,若,有(或).</p><p>　　則稱為定義在區(qū)間上的上凸(或下凸)函數(shù),上、下凸函數(shù)統(tǒng)稱為凸函數(shù).</p><p>　　定義4

74、(擬可導函數(shù))　若函數(shù)在有定義,且極限</p><p><b>　　存在,</b></p><p>　　則稱函數(shù)在擬可導,記為. </p><p>　　引理　凸函數(shù)在任意開區(qū)間（有限或無窮）上連續(xù).</p><p>　　定理10　若在開區(qū)間（有限或無窮）上單調(diào)，且在內(nèi)處處存在有界，則在上一致連續(xù).</p>

75、<p>　　推論7　若是開區(qū)間（有限或無窮）上的凸函數(shù)，且擬導數(shù)存在，有界，則在上一致連續(xù).</p><p>　　推論8　若在開區(qū)間（有限或無窮）上滿足條件：</p><p>　?、伲?； </p><p>　?、?，和都存在；

76、 </p><p>　　③在上處處擬可導，且擬導數(shù)有界， 則在上一致連續(xù).</p><p><b>　　二元函數(shù)一致連續(xù)性</b></p><p>　　3.1 二元函數(shù)一致連續(xù)的概念</p><p>

77、;　　定義5 設(shè)為定義在區(qū)域上的二元函數(shù)，（它或者是的聚點或者是的孤立點）若，即對，使得當 時，有 ， </p><p>　　則稱函數(shù) 關(guān)于區(qū)域在點連續(xù).</p><p>　　若二元函數(shù)在區(qū)域上任意一點都連續(xù)，則稱在區(qū)域上連續(xù).</p><p>　　定義6 函數(shù)在區(qū)域上，如果對，（僅與有關(guān)），當且時，有 ，

78、 </p><p>　　則稱函數(shù)在上一致連續(xù).</p><p>　　3.2 二元函數(shù)的一致連續(xù)性的判斷及應(yīng)用 </p><p>　　下面我們將一元函數(shù)的一致連續(xù)的一些結(jié)論推廣到二元函數(shù)中去.</p><p>　　定理11（柯西收斂準則）平面點列收斂使得當時，對，都有. </p><p>　　定理12（歸

79、結(jié)原則） 設(shè)二元函數(shù)在有定義.存在對任何含于且以為極限的點列，極限都存在且相等.</p><p>　　定理13 若函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在上一致連續(xù).</p><p>　　定理14函數(shù)在有界開區(qū)域上一致連續(xù)的充要條件是在上連續(xù)，且存在.（記為的邊界）</p><p>　　定理15函數(shù)在上連續(xù)，且存在，其，則在上一致連續(xù).</p><p>

80、　　定理16函數(shù)在區(qū)域上滿足：，都有</p><p><b>　　（為正常數(shù)），</b></p><p><b>　　則在上一致連續(xù).</b></p><p>　　定理17函數(shù)在凸區(qū)域內(nèi)存在有界偏導數(shù)，則在上一致連續(xù).</p><p>　　定理18函數(shù)在區(qū)域上一致連續(xù)對，</p>&l

81、t;p><b>　　，恒有.</b></p><p>　　定理19函數(shù)在有界區(qū)域上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)將中的柯西列變成中的柯西列.</p><p>　　總之，一元函數(shù)的一致連續(xù)性大多可以推廣到二元函數(shù)上去，但形式上要注意區(qū)別，例如定理18中的條件要求為凸區(qū)域.</p><p><b>　　結(jié)束語</b></

82、p><p>　　文章比較全面的總結(jié)了一元函數(shù)判斷的一致連續(xù)性的方法，并結(jié)合實例對這些方法加以應(yīng)用，同時將一元函數(shù)的一致連續(xù)性推廣到二元函數(shù)上去，這些都具有一定的意義．然而必須指出：關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性的判斷，是由函數(shù)所滿足的條件及所定義的范圍決定的，本文還不能解決所有的判斷函數(shù)一致連續(xù)性的問題，還可以進行更加深入的討論和研究.</p><p><b>　　參考文獻</b>&

83、lt;/p><p>　　[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析上冊(第四版) [M].北京：高等教育出版社.2010.7.81-86</p><p>　　[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析下冊(第四版) [M].北京：高等教育出版社.2010.6.111-</p><p><b>　　113</b></p><p>　　[3]裴

84、禮文.數(shù)學分析中的典型問題及方法[M].北京.高等教育出版社.2001.93-103,106-108</p><p>　　[4]錢吉林. 數(shù)學分析題解精粹[M].武漢.崇文書局.2003.122-124.</p><p>　　[5]傅沛仁.劉玉璉.數(shù)學分析講義（第二版）[M].北京：高等教育出版社,.2003:135-144.</p><p>　　[6]周家云.劉一

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86、幾種方法[J].常州工學院學報，2004；8：49-50</p><p>　　[10]瞿明清.淺談二元函數(shù)的一致連續(xù)性[J].滁州學院學報，2004；9：98-99</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　時光匆匆如流水，轉(zhuǎn)眼便是大學畢業(yè)時節(jié)，春夢秋云，聚散真容易.離校日期已日益漸進，畢業(yè)論文的完成也隨之進入尾聲，這也意味

87、著我在周口師范學院四年的學習生活即將結(jié)束?；厥准韧?，自己一生的青春歲月能夠在這樣的校園之中，能夠在才華橫溢老師的熏陶下度過，實在是很榮幸！我在學習上和思想上的受益匪淺，除了自身的努力之外還與各位老師、同學、朋友的關(guān)心、支持和鼓勵是分不開的！讓我在一個充滿溫馨的環(huán)境中度過四年的大學生活，感恩之情難以用言語量度，謹以最樸實的話語致以最崇高的敬意！</p><p>　　本論文是在鄭老師的悉心指導下完成的.鄭老師淵博的專

88、業(yè)知識、嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、精益求精的工作作風、誨人不倦的高尚師德、嚴于律己、寬以待人的崇高風范，樸實無法、平易近人的人格魅力對我影響深遠.不僅使我樹立了遠大的學習目標，掌握了基本的研究方法，還使我明白了許多為人處事的道理.本次論文從選題到完成，每一步都是在導師的悉心指導下完成的，傾注了鄭老師大量的心血.在此，謹向鄭老師表示崇高的敬意和衷心的感謝！ </p><p>　　最后要感謝的是我的父母，他們不僅培養(yǎng)了我對中國