蔡氏電路混沌現(xiàn)象的仿真

1、<p><b>　　目錄</b></p><p>　　引言…………………………………………………………………..1</p><p>　　1 混沌學概述…………………………………………………………2</p><p>　　1.1混沌與非線性科學………………………………………………2</p><p>　　1.2 混沌

2、的含義…………………………………………………….3</p><p>　　2 混沌理論…………………………………………………………..4</p><p>　　2.1混沌產(chǎn)生的數(shù)學模型…………………..……………………..4</p><p>　　2.2奇怪吸引子與分形......................................5</p>&

3、lt;p>　　2.3研究混沌的主要方法....................................7</p><p>　　2.4通向混沌的道路——分岔................................8</p><p>　　3蔡氏電路模型及MALAB仿真.................................9</p><p&g

4、t;　　3.1 電路模型..............................................9</p><p>　　3.2 蔡氏電路數(shù)學模型及其分析.............................12</p><p>　　3.3蔡氏電路仿真研究......................................13</p><p

5、>　　3.4 實驗結(jié)論.............................................18</p><p>　　結(jié)束語…………………………………………………………………19</p><p>　　致 謝…………………………………………………………………20</p><p>　　附錄A 英文文獻原文…………………………………………..

6、….21</p><p>　　附錄B 英文文獻翻譯……………………………………………….27</p><p>　　附錄C 仿真源代碼………………………………………………….30</p><p>　　蔡氏電路混沌現(xiàn)象的仿真</p><p>　　[摘要]本文從理論分析與Matlab仿真兩個角度分別研究非線性電路中的混沌現(xiàn)象。簡要介紹了混沌及其

7、特征，混沌產(chǎn)生的機理和條件，以及非線性電路分析仿真的算法。在分析與仿真蔡氏電路的基礎上，構(gòu)造一個變形蔡氏電路模型，對其電路的非線性元件利用分段線性化方法處理，用MATLAB編程語言對該非線性微分方程進行分析與仿真該變形蔡氏電路通向混沌的道路。結(jié)果表明該變形蔡氏電路也和蔡氏電路一樣，在不同的參數(shù)下存在有豐富的分岔和混沌現(xiàn)象，并在特定參數(shù)下存在所謂的“雙渦卷”混沌吸引子?；煦缋碚撨\用于各種學科，如通信的保密通信；利用分形研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)及性能；

8、經(jīng)濟混沌和經(jīng)濟波動的非線性動力學理論等。</p><p>　　[關鍵字]：混沌 ； MATLAB仿真分析；蔡氏電路模型；</p><p>　　Simulation of Chaos in Chua’s Curcuit</p><p>　　[Abstract]: The chaos phenomenon in nonlinear circuit is studied

9、by MATLAB simulation and theoretical analysis in the paper. This paper introduces simply chaos and its characteristic, the chaos output mechanism and condition, and the calculable method of analytic simulation of nonline

10、ar circuit. In the foundation of the analysis and simulation of Chua’s circuit, a modified Chua’s circuit model is constructed. Its nonlinear component is processed using the way of the segment lining. Then the lang</

11、p><p><b>　　引言</b></p><p>　　混沌研究最先起源于 Lorenz研究天氣預報時用到的三個動力學方程．后來的研究表明，無論是復雜系統(tǒng)，如氣象系統(tǒng)、太陽系，還是簡單系統(tǒng)，如鐘擺、滴水龍頭等，皆因存在著內(nèi)在隨機性而出現(xiàn)類似無軌，但實際是非周期有序運動，即混沌現(xiàn)象．現(xiàn)在混沌研究涉及的領域包括數(shù)學、物理學、生物學、化學、天文學、經(jīng)濟學及工程技術的眾多學科，

12、并對這些學科的發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響．隨著計算機和計算科學的快速發(fā)展，混沌現(xiàn)象及其應用研究已成為自然科學技術和社會科學研究領域的一個熱點。而非線性電路是混沌及混沌同步應用研究的重要途徑之一。其中一個最典型的電路是三階自治蔡氏電路，這個電路是由加州大學伯克利分校的蔡少棠首先發(fā)起研究的。在這個電路中觀察到了混沌吸引子。蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌行為最簡單的自治電路，所有應該從三階自治常微分方程描述的系統(tǒng)中得到的分岔和混沌現(xiàn)象都能夠在蔡氏電路中通過計算

13、機仿真和示波器觀察到。蔡氏電路雖然簡單，但其中蘊含著豐富和復雜的非線性現(xiàn)象。不須改變電路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，只調(diào)整控制參數(shù)R，就能獲得電路系統(tǒng)不同狀態(tài)的響應輸出信號[1]。該文對產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的蔡氏電路進行了研究,建立了數(shù)學模型,分析了產(chǎn)生混沌的原因,并根</p><p><b>　　+</b></p><p><b>　　1 混沌學概述</b></p

14、><p>　　1.1混沌與非線性科學</p><p>　　混沌學于上世紀六十年代初在美國興起。它是非線性系統(tǒng)中存在的一種普遍現(xiàn)象，也是非線性系統(tǒng)所特有的一種復雜狀態(tài)。所以我在論文中研究的蔡氏電路必然是一個非線性系統(tǒng)，確切地說是一個非線性動力系統(tǒng)。從函數(shù)構(gòu)造的角度來說，非線性系統(tǒng)要比“線性系統(tǒng)”更多、更普遍。“線性系統(tǒng)”與“非線性系統(tǒng)”的不同之處至少有兩個方面。第一：線性系統(tǒng)可以使用疊加原理，而

15、非線性系統(tǒng)則不能。第二：（也就是最本質(zhì)的）非線性系統(tǒng)對初值極敏感，而線性系統(tǒng)則不然。</p><p>　　1.2 混沌的含義 </p><p>　　混沌到目前為止，還沒有一個統(tǒng)一的、有足夠數(shù)學定理支持的、普遍適用和完美的混沌理論，所以只能通過混沌系統(tǒng)所表現(xiàn)出的一些普遍現(xiàn)象總結(jié)歸納出其所謂的本質(zhì)。綜上所述，可以做出如下的理解：混沌是指確定的宏觀的非線性系統(tǒng)在一定條件下所呈現(xiàn)的不確定的或不可預

16、測的隨機現(xiàn)象；是確定性與不確定性或規(guī)則性與非規(guī)則性或有序性與無序性融為一體的現(xiàn)象；其不可確定性或無序隨機性不是來源于外部干擾，而是來源于內(nèi)部的“非線性交叉耦合作用機制”，這種“非線性交叉耦合作用”的數(shù)學表達式是動力學方程中的非線性項，正是由于這種“交叉”作用，非線性系統(tǒng)在一定的臨界性條件下才表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象，才導致其對初值的敏感性，才導致內(nèi)在的不穩(wěn)定性的綜合效果。所謂確定性系統(tǒng)是指所考慮的物理系統(tǒng)，它的物理量隨時間的變化是一個確定性質(zhì)的常

17、微分方程組或差分方程組所決定的。只要給定了初始條件，它的解（或稱為運動軌道）就是唯一確定的。在某些情況和給定的控制參數(shù)下，解會呈現(xiàn)出無序的混亂狀態(tài)，也就是上面所說的混沌狀態(tài)。這種確定性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象本質(zhì)上不同于不受確定性方程約束的所謂完全隨機的混亂狀態(tài)。混沌現(xiàn)象是"確定性系統(tǒng)"的一種"內(nèi)在的隨機性"，它是有別于可能</p><p><b>　　2 混沌理論 <

18、;/b></p><p>　　2.1混沌產(chǎn)生的數(shù)學模型 </p><p>　　科學中有一些簡單而并不平庸的典型問題，圍繞它們可以敘述和掌握相當廣泛的科學內(nèi)容。一個例子是二體問題，從經(jīng)典力學中的開普勒問題、相對論力學中的水星近日點運動，到量子力學中的氫原子和量子場論中的蘭姆譜線位移，貫穿了經(jīng)典和近代物理學的全部發(fā)展史。另一個例子是花粉顆粒在液體中的布朗運動，從愛因斯坦的直觀處理和朗之萬

19、方程、福克─普朗克方程、到漲落耗散定理的現(xiàn)代表述和隨機過程的連續(xù)積分表示，引出了整個物理學中的概率論描述體系。這兩個例子，一屬確定論，另一個則為概率論。恰好對于確定論系統(tǒng)中的隨機性，即混沌現(xiàn)象，也存在著這樣的代表性模型，這就是一維迭代過程。</p><p><b>　　2.1.1一維迭代</b></p><p>　　迭代是研究非線性方程演化過程的有力工具。為了研究一個

20、物理系統(tǒng)，可以把系統(tǒng)的狀態(tài)用一組變量x，y，z…描述，它們都是時間t的函數(shù)，同一個系統(tǒng)還受某些可以調(diào)節(jié)的“控制參量”a，b，c…的影響。最簡單的情景是固定一組參量，把時間變化限制成等間隔的t，t+1， t+2…，看下一個時刻的系統(tǒng)狀態(tài)如何依賴于當前狀態(tài)。在只有一個狀態(tài)變量x時，這個演化過程可以由一個非線性函數(shù)描述。更一般些，時間跳躍的間隔（或稱之為對系統(tǒng)進行觀測的采樣間隔）Δt可以不是整數(shù)，把各個時刻寫成相應狀態(tài)，于是演化方程成為迭代過

21、程（即：一階差分方程）。以上操作實質(zhì)上是在相空間中取一個截面或者做一種時序的對應操作，這是一種簡化非線性演化方程的重要方法，稱之為取龐加萊截面及龐加萊映象[5]。取龐加萊截面或做映象是研究復雜系統(tǒng)的重要簡化手段，微分方程的解對應于一定維數(shù)空間中的連續(xù)流，由于D維離散映象至少對應D+1維的流，因此在同樣維數(shù)下，離散系統(tǒng)的內(nèi)容總比連續(xù)系統(tǒng)更豐富。比如：一維流只能表達從"源"到"漏"，沒有其它花樣，而一

22、維映象（即：一維迭代）則可以表現(xiàn)出分岔與混沌等更復雜的行為。</p><p>　　2.1.2 二維非線性系統(tǒng) </p><p>　　一維非線性映射都是不可逆的，只對應于耗散系統(tǒng)，而二維映象在許多方面起著從一維到高維的銜接作用。二維系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，不僅會出現(xiàn)在耗散系統(tǒng)中，而且它也可能出現(xiàn)在保守系統(tǒng)中。對于保守系統(tǒng)來說，由于系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H＝常數(shù)，系統(tǒng)存在一個能量積分，所以一維保守系統(tǒng)不可能

23、出現(xiàn)混沌。二維哈密頓系統(tǒng)中研究較多的是所謂“標準映象”。它出現(xiàn)在許多自由度為2的非線性振子理論中，是帶電粒子在環(huán)行磁場中運動的一種模型。二維耗散系統(tǒng)中研究最多的一例是所謂埃農(nóng)（Hénon）映射，只要b≠0，變換就是可逆的，b＝1時，它保持相體積不變，是一種保守系統(tǒng)。b<1對應耗散系統(tǒng)，b＝0則回到一維映射。埃農(nóng)等人研究發(fā)現(xiàn)對于某些控制參數(shù)和初值，迭代結(jié)果迅速收斂到（x，y）平面上接近一維的“吸引子”上。這個吸引子很像是平

24、滑曲線，但它具有寬度。如果取來吸引子的一小段不斷放大，可以看到越來越小的尺度上重復出現(xiàn)近似的自相似結(jié)構(gòu)。這是第一個實際觀察到的具有非整數(shù)維的“奇怪吸引子”。 二維映象中在某些方面表現(xiàn)出了與一維線段映象不同的性質(zhì)，比如：對b=1的埃農(nóng)映象的研究給出的結(jié)構(gòu)普適常數(shù)δ＝8．7210和標度因子α＝4．018均與一維單鋒映象</p><p>　　2.2奇怪吸引子與分形 </p><p>　　保守系統(tǒng)

25、由于相體積永遠不變，所以不存在吸引子，而耗散系統(tǒng)則不然，相體積在演化過程中不斷收縮，各種各樣的運動在演化中逐漸衰亡，最后只剩下少數(shù)自由度決定的長時間行為，即：耗散系統(tǒng)的運動最終趨向維數(shù)比原始相空間低的極限集合，這個極限集合稱為吸引子。</p><p>　　2.2.1 平庸吸引子 </p><p>　　通過常微分方程解的極限集合，即相空間某一區(qū)域的點都取作初值時，這些軌道的極限行為。極限集合

26、的一些平庸情況是熟知的：零維不動點、一維極限環(huán)和二維環(huán)面等。如果t→∞時，系統(tǒng)趨向一個與時間無關的定常態(tài)，即相空間中的一個特定的點，這就是不動點。不動點是零維的吸引子。一維以上的系統(tǒng)原則上就可能具有不動點。如果t→∞時，系統(tǒng)中剩下一個周期振動，這就是一維的吸引子──極限環(huán)。只有在二維以上的相空間中，才可能出現(xiàn)極限環(huán)。通常極限環(huán)是由不動點發(fā)展起來的。當某個不動點在參數(shù)變變化過程中由穩(wěn)定而失穩(wěn)，新的穩(wěn)定狀態(tài)往往是圍繞著原有不動點的周期運動，

27、這個過程稱為霍普夫分岔(hopf)[6]。</p><p>　　2.2.2 奇怪吸引子 </p><p>　　奇怪吸引子是耗散系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的另一個重要的特征。簡單地說奇怪吸引子就是相空間（對連續(xù)的動力學系統(tǒng)，至少是三維；對離散的動力學系統(tǒng)，至少是二維）的一個有限的區(qū)域內(nèi)，由無窮多個不穩(wěn)定點集組成的一個集合體。奇怪吸引子有兩個最重要的特征：(1) 對初始條件有敏感的依賴性。在初始時刻從這個奇

28、怪吸引子上任何兩個非常接近的點出發(fā)的兩條運動軌道，最終必會以指數(shù)的形式互相分離。由于混沌對初值極為敏感，它表現(xiàn)為局部不穩(wěn)定。但對耗散系統(tǒng)而言，則又具有相體積收縮的特性，因而造成軌道無窮多次折迭往返?；煦畿壍涝谙嗫臻g中"添滿"有限的區(qū)域，形成奇怪吸引子。實際上，它有內(nèi)外兩種趨向，一切吸引子之外的運動都向它靠攏，這是穩(wěn)定的方向；而一切到達吸引子內(nèi)的軌道都又相互排斥（指數(shù)式分離），對應為不穩(wěn)定方向。正是這種整體趨向穩(wěn)定而局

29、部又極為不穩(wěn)定的矛盾，導致了奇怪吸引子的另一個更奇怪的性質(zhì)：(2)它具有非常奇特的拓撲結(jié)構(gòu)和幾何形式。 奇怪吸引子是具有無窮多層次自相似結(jié)構(gòu)的、幾何維數(shù)為非整數(shù)的一個集合體。為了描述奇怪吸引子的這種奇特結(jié)構(gòu)，曼德爾布羅特(Mandelbrot)最早（1975年）引進了分形（既其維數(shù)是非整數(shù)的對象）</p><p>　　2.3研究混沌的主要方法 </p><p>　　2.3.1 李雅普諾夫（

30、Lyapunov）指數(shù)</p><p>　　Lyapunov指數(shù)可用來判斷蔡氏電路中是否能產(chǎn)生混沌。</p><p>　　對于非線性動力系統(tǒng)的完善的定性描述，由于可能出現(xiàn)的不規(guī)則運動而似乎是一個不可解決的問題。若附加地應用統(tǒng)計方法，那么情況會好一些。也就是說，考慮某些平均值的演化，而不是考慮由一個確定的初始條件出發(fā)的一跟軌跡，目前在表征混沌運動方面，顯示出重大意義的統(tǒng)計特征值之一是Lyap

31、unov指數(shù)。它是相空間中相近軌道的平均收斂性或平均發(fā)散性的一種度量。</p><p>　　混沌系統(tǒng)由像空間中的不規(guī)則軌道奇怪吸引子來描述。奇怪吸引子的一個明顯特征就是吸引子鄰近點的指數(shù)離析。因為相空間中的點表示整個物理系統(tǒng)，所以鄰近點的指數(shù)離析意味著初始狀態(tài)完全確定的系統(tǒng)，在長時間情況下會不可避免的發(fā)生變化。這種行為就是系統(tǒng)對初始條件具有敏感依賴性的反映。而引入的Lyapunov指數(shù)恰可定量表示奇怪吸引子的這種

32、運動狀態(tài)。</p><p>　　對于n維相空間中的連續(xù)動力學系統(tǒng)，考察一個無窮小n維球面的長時間演化。由于流的局部變形特性，球面將變?yōu)閚維橢球面。第i個Lyaounov指數(shù)按橢球主軸長度定義為：</p><p><b>　?。?. 1）</b></p><p>　　上式說明，Lyapunov指數(shù)的大小表明相空間中相近軌道的平均收斂或發(fā)散的指數(shù)

33、率。</p><p>　　Lyapunov指數(shù)是很一般的特征數(shù)值，它對每種類型的吸引子都有定義。N維相空間有n個實指數(shù)，故也稱為譜，并按其大小排列，一般令。一般說來，具有正和零Lyapunov指數(shù)的方向，都對支撐起吸引子起作用，而負Lyapunov指數(shù)對應著收縮方向，這兩種因素對抗的結(jié)果就是伸縮與折疊操作，這就形成奇怪吸引子的空間幾何形狀。因此，對于奇怪吸引子而言，其最大Lyapunov指數(shù)為正的（另外也至少有一

34、個Lyapunov指數(shù)是負的），并且Lyapunov指數(shù)越大，系統(tǒng)的混沌性越強；反之亦然[9]。</p><p>　　2.3.2 其它方法 </p><p>　　對于混沌現(xiàn)象的客觀反映就需要更嚴謹?shù)臄?shù)學描述以及更直觀的物理現(xiàn)象。在實驗分析方面，對混沌系統(tǒng)施行功率譜分析已是研究混沌的最有效、最直觀的工具。 </p><p>　　描述混沌程度的方法有很多種，而且各有利弊

35、。其中較主要的還有如確定奇怪吸引子的各種維數(shù)、確定混沌系統(tǒng)的所謂柯爾莫哥洛夫熵、對周期驅(qū)動系統(tǒng)較易實現(xiàn)的分頻采樣法以及前面介紹的取龐加萊截面的方法等等。理論分析中則大量使用泛函分析，借用相變理論中的重正化群方法。</p><p>　　2.4通向混沌的道路——分岔 </p><p>　　了解如何通向混沌是很有意義的。有時候需要人為地制造混沌，如保密通訊，但一些時候，又不允許系統(tǒng)出現(xiàn)混沌。 目

36、前，公認的通向混沌的道路有三條：倍周期分岔，陣發(fā)混沌和準周期進入混沌。與之對應的是非線性方程中三種不同類型的分岔——倍周期分岔、切分岔和霍普夫分岔。</p><p>　　2.4.1 倍周期分岔通向混沌 </p><p>　　第一種是倍周期分岔（又稱Feigenbaum途徑）。這條途徑是一種規(guī)則的運動狀態(tài)（如某種定態(tài)解或周期解）可以通過周期不斷加倍的倍分岔方式逐步過度到混沌運動狀態(tài)。<

37、/p><p>　　Feigenbaum指出Logistic映射分岔點的參數(shù)值 (m=1，2，3…)形成無窮序列，并有一個極限值。同時Feinbaum還發(fā)現(xiàn)，Logistic映射系統(tǒng)伴隨倍周期分岔的產(chǎn)生還呈現(xiàn)別的復雜動力學行為。下面簡要敘述Logistic映射的情形：</p><p>　　1．混沌和奇怪吸引子；</p><p>　　2．逆瀑布（Inverse Cascad

38、e）(逆級聯(lián))；</p><p>　　3．周期窗口(Periodic Windows)；</p><p><b>　　4．U序列。</b></p><p>　　2.4.2 陣發(fā)性通向混沌</p><p>　　第二種是間隙（陣發(fā)）混沌模型，亦稱Pomeau-Manneville途徑，它是由Pomeau和Manneville

39、于1982年所提出的一種途徑，這條途徑是一種規(guī)則的運動狀態(tài)通過有時規(guī)則有時混沌的間隙（陣發(fā)）狀態(tài)轉(zhuǎn)變混沌運動狀態(tài)的。</p><p>　　陣發(fā)混沌是非平衡非線性系統(tǒng)進入混沌的又一條道路。這里的陣發(fā)指陣發(fā)性這一概念。它原指湍流理論中用來描述流暢中在層流背景上湍流隨機爆發(fā)的現(xiàn)象，表現(xiàn)為層流，湍流相交而使相應的空間隨機地交替。在混沌理論中主要是借助于陣發(fā)性概念來表示時間域中系統(tǒng)不規(guī)則行為和規(guī)則行為的隨機交替現(xiàn)象。具體來

40、說，陣發(fā)性混沌是指系統(tǒng)從有序向混沌轉(zhuǎn)化時，在非平衡非線性條件下，當某些參數(shù)的變化達到某一臨界閾值時，系統(tǒng)的時間行為忽而周期（有序），忽而混沌，在兩者之間振蕩。有關參數(shù)連續(xù)變化時，整個系統(tǒng)會由陣發(fā)性混沌發(fā)展成為混沌，在數(shù)學實驗和物理實驗中都已證實了間隙性的存在[10]。</p><p>　　2.4.3 Hopf分岔通向混沌</p><p>　　Hopf分岔途徑，亦稱Ruelle-Taken

41、s-Newhouse方案，也是一條通向混沌的道路。它是由Ruelle和Takens等人為了取代Landau和Hopf關于湍流的假設，針對Landau的 《論湍流問題》，于1971年合寫的《論湍流的本質(zhì)》這篇論文中提出的。1978年，Newhouse又對他們的結(jié)果做了進一步改進。</p><p>　　當系統(tǒng)內(nèi)有不同頻率的振蕩互相耦合時，系統(tǒng)就會產(chǎn)生一系列新的耦合頻率的運動。按照Landau和Hopf關于湍流發(fā)生機制

42、的假設：湍流的發(fā)生是經(jīng)過無窮次準周期分岔。準周期分岔可以用環(huán)面分岔來描述，將不動點，極限環(huán)分別看做0環(huán)面、1環(huán)面，表示為，則上述通往混沌（相應于湍流）的轉(zhuǎn)變可以表示為混沌。并且每一次分岔可以看做是一次Hopf分岔，分岔出一個新的不可公約的頻率?；谶@一猜測，混沌（湍流）可視為無窮多個頻率耦合的振蕩現(xiàn)象[11]。</p><p>　　3蔡氏電路模型及MALAB仿真</p><p><b

43、>　　3.1 電路模型</b></p><p>　　蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌行為最簡單的自治電路，所有應該從三階自治常微分方程描述的系統(tǒng)中得到的分岔和混沌現(xiàn)象都能夠在蔡氏電路中通過計算機仿真和示波器觀察到。蔡氏電路雖然簡單，但其中蘊含著豐富和復雜的非線性現(xiàn)象。不須改變電路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，只調(diào)整控制參數(shù)R，就能獲得電路系統(tǒng)不同狀態(tài)的響應輸出信號。</p><p>　　自治動力系統(tǒng)產(chǎn)生

44、混沌現(xiàn)象需要以下條件：系統(tǒng)至少有三個狀態(tài)變量，并且存在一定的非線性環(huán)節(jié)。蔡氏電路使用三個儲能元件和一個分段線性電阻，電路如圖1所示。可以把電路分為線性部分和非線性部分。其中線性部分包括：電路R、電感L（含內(nèi)阻r）和兩個電容和；非線性部分只有一個分段線性電阻，其伏安特性如圖2所示，非線性電阻采用如圖3所示的電路進行線性化處理。</p><p>　　圖5．1 蔡氏電路圖</p><p>　　圖

45、5．2 非線性電阻等效電路</p><p>　　5．3 非線性電阻伏安特性</p><p>　　電路圖中選用的具體參數(shù)為： ，，，，，，，，，運放采用，二極管采用1N4148，為了調(diào)節(jié)混沌現(xiàn)象出現(xiàn)的條件，R采用可變電阻，調(diào)節(jié)范圍為0到3k。下面分析圖5．3中非線性電阻的伏安特性：</p><p>　　二極管和都截止時，A和B點的電壓為：</p><

46、;p><b>　　（3. 1）</b></p><p><b>　?。?. 2）</b></p><p>　　當時，其中為二極管導通電壓，為電容兩端的電壓。截止，導通：</p><p><b>　?。?. 3）</b></p><p><b>　　當時，截

47、止：</b></p><p><b>　?。?. 4）</b></p><p><b>　　當時，導通，截止：</b></p><p>　　這樣，電流i對于電壓的函數(shù)可以表示為：</p><p><b>　?。?．5）</b></p><p&g

48、t;　　式（1）也可以用下式表示：</p><p>　　這樣就可以得到如圖2所示的非線性電阻伏安特性?？梢酝ㄟ^調(diào)節(jié)電阻R的阻值來改變的大小，非線性電阻中的運放LM741工作在線性放大區(qū)域中，由它及和其相連的電阻組成線性負阻，運放本身并沒有產(chǎn)生非線性。</p><p>　　蔡氏電路（圖3．5）的電路模型為：</p><p><b>　　（3．6）</b

49、></p><p>　　其中為電容兩端的電壓，為通過電感L的電流。</p><p>　　3.2 蔡氏電路數(shù)學模型及其分析</p><p>　　式（5．2）中，取，，，，，，，，其中，為系統(tǒng)狀態(tài)變量，自變量為時間，可以得到蔡氏電路的數(shù)學模型：</p><p><b>　?。?．7）</b></p>&l

50、t;p><b>　　其中 </b></p><p><b>　?。?．8）</b></p><p>　　式中微分都是相對變量。</p><p>　　將（3．7）式可以化為：</p><p><b>　　（3．9）</b></p><p>　　令 考

51、慮平衡態(tài)，即：</p><p><b>　?。?．0）</b></p><p>　　根據(jù)的不同形式，在的三個子空間：</p><p>　　式中都有唯一的平衡點，分別是：</p><p>　　其中。在三個子空間中，式（3．9）為線性方程，令，（3．9）式可以改寫成：</p><p><b>

52、;　?。?．1）</b></p><p><b>　　其中，</b></p><p>　　在子空間中c=a，子空間和中c=b。參數(shù)α，β，a，b可以根據(jù)前面的電路參數(shù)求得，分別為10，15，-1．1，-0．7。當c=b時，即在和 區(qū)域內(nèi)，A具有實數(shù)特征值及一對共軛的復數(shù)特征值(相應的特征值實部變化曲線如圖5-4 所示) ． 當R 變化時， A由負定矩陣變?yōu)?/p>

53、不定的， 對應的平衡點由穩(wěn)定焦點變?yōu)榘包c。經(jīng)過計算，子空間和中平衡點處的特征值為-8．46，0．54±j4．21。子空間中平衡點處的特征值為4．08，-1．47±j3．21。</p><p>　?。╝）A的實特征值 (b)A的負特征值的實部</p><p>　　圖5．4 A的特征值曲線</p>

54、<p>　　由此得出三個子空間中的平衡點都是鞍點。到目前為止，還不知道系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，還需要進一步判斷。Lyapunov指數(shù)是判斷系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的最常見方法，它能夠定量地描述動力系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道的發(fā)散程度。若動力系統(tǒng)在一定區(qū)域內(nèi)的第一個Lyapunov指數(shù)λ1>0，則動力系統(tǒng)在這個區(qū)域上出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，并且對于初值是敏感的。</p><p>　　在平衡點處的局部區(qū)域內(nèi)計算以上蔡氏電路的第

55、一個Lyapunov指數(shù)，可以得到: =0．283，可見>0，蔡氏電路的運動處于混沌狀態(tài)。</p><p>　　3.3蔡氏電路仿真研究</p><p>　　3.3.1 蔡氏電路仿真算法</p><p>　　方程(3．7)是非線性微分方程組，需要用數(shù)值方法求解。一般地，四階龍格-庫塔算法是求解這類方程的基本算法，其算法思想如下：</p><p

56、>　　基于Taylor級數(shù)展開的方法，利用f在某些點處函數(shù)值的線性組合構(gòu)造差分方程，從而避免高階導數(shù)的計算。</p><p><b>　　由微分中值定理：</b></p><p><b>　?。?. 1）</b></p><p>　　利用微分方程，得到這里的</p><p>　　稱作區(qū)間上的

57、平均斜率，記作K*，即 。因此只要對平均斜率提供一種算法，由式（5.8）便可以得到一個微分方程的數(shù)值計算公式。如果在上多預置幾個點的斜率值，然后將它們的加權平均作為的近似值，則就可以構(gòu)造出高精度的數(shù)值計算公式。四階龍格-庫塔算法的計算公式就是按照這一思路推導出來的，它有多種形式，其標準的數(shù)學描述如下：</p><p><b>　　(4. 2)</b></p><p>

58、;<b>　　(4. 3)</b></p><p>　　(4. 4) (4. 5)</p><p>　　其中h為根據(jù)要求選擇的合適步長。四階龍格-庫塔算法的公式每一步計算需四次調(diào)用f的函數(shù)值，計算量較大，但其局部截斷誤差可達,精確度較高。</p>

59、;<p>　　根據(jù)上述蔡氏電路的正規(guī)化方程（2）和四階龍格-庫塔算法，用MATLAB語言進行仿真。仿真實現(xiàn)的程序一共要編寫4個M文件，其中文件chua_map.m用來實現(xiàn)分段線性化函數(shù)，chua_initial.m和chua.m調(diào)用文件chua_map.m，前者實現(xiàn)龍格-庫塔算法，后者用龍格-庫塔算法解常微分方程組，chua_demo.m調(diào)用chua_initial.m和chua.m，給定初值并輸出仿真結(jié)果。</p&

60、gt;<p>　　各M文件中函數(shù)的調(diào)用關系如圖：</p><p>　　仿真中固定以下參數(shù)：</p><p>　　=10nF ， =100nF， L=20mH，</p><p>　　E=1V， = -0．628mS ， = -0．4mS</p><p>　　改變參數(shù)R范圍0～3kΩ。采用MATLAB對方程(5．3)進行求解，積分步

61、長取h=0.01，采用long型數(shù)據(jù)。</p><p>　　綜合所得的結(jié)果，可歸納出電路的四種狀態(tài)(各態(tài)間存在過渡態(tài))。</p><p><b>　　3.3.2 穩(wěn)定態(tài)</b></p><p>　　當R>2016.1Ω時，M的特征值實部均為負，即M是負定矩陣，方程(5．3)的解趨近于初始值所在的子空間的平衡點。對應于電路中，電路初始經(jīng)歷一

62、段阻尼振蕩，最終停在一個穩(wěn)定態(tài)。此時電路等效電容為零。在相圖上，軌線趨近于一穩(wěn)定焦點如圖5．5所示。</p><p><b>　　圖5．5 穩(wěn)定態(tài)</b></p><p><b>　　3.3.3周期態(tài)</b></p><p>　　當1933Ω<R<2016．1Ω時，M的共軛復特征值的實部變?yōu)榉秦摰?如圖5所示，

63、當R=2016．1Ω此值為零，出現(xiàn)Hopf分岔)。方程(5．3)的解趨近于維數(shù)大于零的吸引子中。對應于電路中，經(jīng)過一段暫態(tài)后，電路進行周期和概周期振蕩，R的極小變化就會使周期發(fā)散為概周期。在相空間中，軌線趨近于一個穩(wěn)定的空間極限環(huán)或穩(wěn)定環(huán)面(分別對應于周期振蕩和概周期振蕩)，如圖給出了單周期振蕩的相圖。</p><p><b>　　3.3.4 混沌態(tài)</b></p><p

64、>　　當1685Ω<R<1930Ω時，電路進入了混沌振蕩態(tài)。在相空間中，軌線趨近于一個混沌吸引子。這就是蔡氏雙渦卷(如圖5-7a，5-7b)。</p><p>　　圖5．7a 雙渦卷吸引子</p><p><b>　　圖5．7b 混沌態(tài)</b></p><p>　　3.3.5負阻尼振蕩態(tài)</p><p>

65、;　　當R<1685Ω時，變阻器阻值過小，其能量耗散不足以抵消蔡氏二極管提供的能量。能量在電路中積累起來，使電路的振幅越來越大，最終崩潰?？蓪㈦娙莺喜橐粋€。在相空間中，原點區(qū)域構(gòu)成一個不穩(wěn)定焦點，所有軌線由這里出發(fā)走向無窮遠處。</p><p><b>　　圖5．8 負阻尼態(tài)</b></p><p>　　由以上四個狀態(tài)的相圖可以看出，前三個狀態(tài)是穩(wěn)定的，在原點

66、附近存在一個穩(wěn)定的吸引子。且狀態(tài)一和狀態(tài)二屬平庸吸引子，狀態(tài)三是混沌吸引子。而狀態(tài)四則是原點不穩(wěn)定的。吸引子由低維到高維，由穩(wěn)定到失穩(wěn)，正是由于R的減小。R決定了能量的耗散，電路系統(tǒng)由蔡氏二極管提供能量并在R上耗散能量，電路系統(tǒng)行為正是這兩種作用統(tǒng)一的結(jié)果。耗散系統(tǒng)的長期行為是要穩(wěn)定于相空間的一個低維點集上， 即吸引子上。而吸引子的維數(shù)隨著R 的減小而增大。</p><p><b>　　3.4 實驗結(jié)論

67、</b></p><p>　　狀態(tài)四不穩(wěn)定，最終會將電路擊穿或燒壞。狀態(tài)一雖然穩(wěn)定，但其平衡點的標值很大，即穩(wěn)態(tài)的電流電壓值很大，同樣會損壞電路。因而，所取R 的值應在1．690～2．050kΩ之間，這樣才能確保電路不致燒壞。</p><p>　　本文根據(jù)數(shù)值模擬的結(jié)果半定量估計了變阻器的取值范圍。由于實際電子元件標稱值不連續(xù)，此結(jié)論與硬件實驗會有差異，實驗時應根據(jù)元件參數(shù)進行

68、取舍。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　本文在介紹了混沌理論及常用分析方法的基礎上，對產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的最簡單三階自治電路——蔡氏電路進行了研究，建立了數(shù)學模型,分析了產(chǎn)生混沌的原因，并從理論分析和仿真實驗兩個角度分別研究了三階蔡氏電路的不同運行狀態(tài)。研究中以變阻器阻值為控制參數(shù)，通過Matlab數(shù)值計算，模擬電路的運行狀態(tài)。</p&

69、gt;<p>　　1.仿真結(jié)果表明，在一定的條件下該電路能夠出現(xiàn)混沌雙渦卷吸引子和穩(wěn)定周期軌道。蔡氏電路的狀態(tài)具體可歸納為：</p><p>　　2.穩(wěn)定態(tài)，對應于電路中，電路初始經(jīng)歷一段阻尼振蕩，最終停在一個穩(wěn)定態(tài)。此時電路等效電容為零。</p><p>　　3.周期態(tài)，對應于電路中，經(jīng)過一段暫態(tài)后，電路進行周期和概周期振蕩，R的極小變化就會使周期發(fā)散為概周期。</p

70、><p>　　4.混沌態(tài)，當1685Ω<R<1930Ω時，電路進入了混沌振蕩態(tài)。在相空間中，軌線趨近于一個混沌吸引子。這就是蔡氏雙渦卷。</p><p>　　負阻尼振蕩態(tài)，變阻器阻值過小，其能量耗散不足以抵消蔡氏二極管提供的能量。能量在電路中積累起來，使電路的振幅越來越大，最終崩潰?？蓪㈦娙莺喜橐粋€。</p><p>　　根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果得出可變電阻的安全

71、閾值以及電壓的安全閾值,為硬件實驗提供參考。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本文是在導師冉啟武指導下完成的，在整個研究過程中，從課題的選定、方案的設計，到軟件設計都給了我推導性的意見和建議。在這里我想冉老師致以最誠摯的感謝和崇高的敬禮！</p><p>　　在課題的進行過程當中，我還得到其他老師及同組人侯銳

72、等人的關心和支持，在兩個月的論文撰寫期間，在此也對他們的督促與幫助表示感謝，感謝他們對我的關注與栽培！</p><p>　　在課題當中，還有同專業(yè)同學給予的幫助與支持，在此也表示感謝！</p><p>　　還有，對在百忙中抽出時間評閱本論文的老師表示衷心的感謝，并謹請?zhí)岢鰧氋F的意見!</p><p>　　最后，對四年來在學習和生活上幫助過我的老師和同學致以誠摯的謝意

73、！</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]韓利竹．MATLAB電子仿真與應用（第2版）．北京：國防工業(yè)出版社． 2003．8．P25-33</p><p>　　[2]苗東升．混沌學縱橫論．北京：中國人民大學出社．1993．2．P100-102</p><p>　　[3]曹建福．非線性系統(tǒng)

74、理論及應用．西安：西安交通大學出版社．2001．P50-51</p><p>　　[4]王興元．復雜非線性系統(tǒng)中的混沌．北京：電子工業(yè)出版社．2003．6．P80-82</p><p>　　[5] 陸君安．偏微分方程的MATLAB解法．武漢：武漢大學出版社．2001．8．P50-52</p><p>　　[6] 高金峰．非線性電路與混沌．北京：科學出版社．2005．

75、4．P70-72</p><p>　　[7] 尚達川．線性與非線性電路．北京：科學出版社．1992．3．P90-95</p><p>　　[8] 薛定宇．基于MATLAB的系統(tǒng)仿真技術與應用．北京：清華大學出版社．2002．4．P90-95</p><p>　　[9] 魏克新． MATLAB語言與自動控制系統(tǒng)設計．北京：機械工業(yè)出版社．2002．8．P78-80&l

76、t;/p><p>　　[10]盛昭瀚．非線性動力系統(tǒng)分析引論．北京：科學出版社．2001．5． P100-102</p><p>　　[11]胡崗．混沌控制．上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?000．P50-51 </p><p>　　[12]姜玉憲．控制系統(tǒng)仿真．北京：北京航空航天大學出版社．2002．7．P45-46</p><p>　　[13]J

77、．C．Sprott．Complex Behavior of Simple System [C] International Conference on complex Systems．2000．8．P5-7</p><p>　　[14]MT.Yassen．Adaptive control and synchronization of a modified Chua’s circuit system[J] ．A

78、ppliedMathematicsanComputation．2001．1</p><p>　　[15] TzuyinWu.Chaos control of modified-Chua’ circuit system[J] Physics． 2002． P1-6</p><p>　　附錄A 英文文獻原文</p><p>　　出處：http://trixie.eec

79、s.berkeley.edu/chaos/chaos.html</p><p>　　Stimulation with hardware of Chua’s circuit</p><p>　　Introduction </p><p>　　Chaos is a fascinating nonlinear phenomenon. Dr. Leon Chua inven

80、ted Chua's circuit (circa 1983), a simple nonlinear circuit capable of producing strange attractors. Before you can get started on Chua's circuit, it would be instructive to understand the basic concept of nonlin

81、ear circuits: the DP (or driving-point) plot. This term was coined in the classic book "Linear and Nonlinear Circuits" by Chua, Leon O., Desoer, Charles A. and Kuh, Ernest S. 1987. McGraw-Hill. ISBN 0070108986.

82、 unfortunely t</p><p>　　Experiment aim:</p><p>　　(1)．To learn some concepts of chaos</p><p>　　(2)．Mearsure V-A charicteristc of nonlinear resistor of source</p><p>　　(3

83、)．To learn about chaos and how it produces throngh a simple nonlinear circuit.2. Working with Chaos: Simulating Chua's Circuit</p><p>　　First we need to simulate Chua's circuit. The simulation tool

84、we use is MultiSim. Two points: First, this version of the circuit uses the LMC6482 which is more robust and easier to obtain than the JFET Dynamics used in Michael Peter Kennedy's paper. A more subtle point is the s

85、eries resistance of the inductor. You have to take this into account while building Chua’s Circuit. </p><p>　　3. Datasheets Here I provide links and datasheets to the two most important items in the circuit

86、: the dual op-amp and inductor. </p><p>　　LMC6482AIN, Datasheet. Cost: $2.29. </p><p>　　T1105 - Toko 8 mH Variable inductor, Datasheet. Cost: $4.74. Note: This part is pretty difficult to get. &

87、lt;/p><p>　　The rest of the components in the circuit are standard: a 2k pot, a 100 nF capacitor, a 4.7 nF capacitor and 22k x 2, 220 ohm x 2, 2.2k and 3.3k resistors. You can find these at a local Radioshack.

88、Hence, the total cost of the circuit is around $10! </p><p>　　4. Working with Chaos: Building the circuit The hardest part in building the circuit is getting the correct value of the inductance（電感）. I used

89、a simple RL filter to tune the inductance. I used a known R and applied a sinusoid at the input. Since I know the frequency and amplitude of the sinusoid, I can use the frequency response of the circuit to obtain the val

90、ue of the inductance I want. In order to measure the series resistance of the inductor, use a simple ohm-meter. I even used an ohm-mete</p><p>　　5. Other possible component values for Chua's circuit <

91、/p><p>　　The list below shows some other possible component values for Chua's circuit. Please note that the nonlinear resistor (Chua Diode) is the same as shown in the schematic from the Simulation section.

92、 You can refer to the schematic shown at the banner on top of the page. </p><p>　　L=8mH, C2=47nF, C1=3nF, R=1.85k </p><p>　　L=18mH, C2=50nF, C1=4.7nF, R=2.1k </p><p>　　6. Applicatio

93、ns of Chaos Believe it or not, there are tons of applications for Chaos. Here are a few: The stock market (finance) ,Power systems (electrical engineering) ,Population Dynamics (biology) ,Communication Systems (electric

94、al engineering) There are also very interesting chaotic processes in the human brain. Here are two excellent papers by French scientists on this topic (pubmed links to both articles): </p><p>　　出處：Control Th

95、eory & Applications Vol.20No.5</p><p>　　Stabilization of unstable equilibria of chaotic systems</p><p>　　and its applications to Chua’s circuit</p><p>　　Abstract: Based on the

96、ergodicity of chaos and the state PI regulator approach, a new method was proposed for stabilizing unstable equilibria and for tracking set point targets for a class of chaotic systems with nonlinearities satisfying a sp

97、ecific condition. A criterion was derived for designing the controller gains, in which control parameters could be selected by solving a Lyapunov matrix inequality. In particular, for piecewise linear chaotic systems, su

98、ch as Chua’s circuit, the control par</p><p>　　Key words: Chua’s circuit; unstable equilibrium point; stabilization; PI regulator</p><p>　　1.Introduction</p><p>　　In the past decade

99、, much attention has been paid to chaos control, and many methods have been proposed for suppressing chaos[1,2]. For instance, the delayed feedback control (DFC) method[3]is based on the difference between the current sy

100、stem output and the time_delayed output signals, which does not require any knowledge of the target points.</p><p>　　However, this approach in general cannot specify the target setting point and is subject t

101、o the so_called odd number eigenvalue limitation[4~6]. On the other hand, the OGY method[7],which is a local control scheme, and the methods[8,9]that are based on precise state feedback control usually fail with system p

102、arameters variation and are inconvenient for practical engineering systems. In this paper, based on the ergodicity of chaos and state PIregulator approach[10], a feedback control design meth</p><p>　　2　Stabi

103、lizing unstable equilibria of a class of chaotic systems </p><p>　　Consider a controlled chaotic system of the form</p><p>　　Ax+g(x)+u (1) </p><p>　　Where is the state vector,

104、is the control input to be designed, A∈×a constant matrix, and g(x) is a continuous nonlinear function satisfying the following condition[11]:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　where i

105、s a bounded matrix that depends on both and .</p><p>　　Remark1　Many chaotic systems can be described by (1) and (2), such as the classic Chua’s circuit[12],the modified Chua’s circuit with a sine function,

106、the modified Chua’s circuit with nonlinear quadratic function x | x |[13],and the MLC circuit.</p><p>　　Let be an unstable equilibrium of (1) when u =0,</p><p><b>　　that is,</b><

107、/p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　The objective is to design a controller u such that the states of system (1) are stabilized to , which is a constant vector independent of time. Later, the

108、objective will also be extended to tracking a constant set point. According to the state PI regulator theory, a controller is constructed as follows:</p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　Whe

109、re B∈is a constant gain matrix, K∈is the proportional state feedback gain vector, k∈R s the integral gain, y = is the output with a constant matrix C∈, is the observation of the target equilibrium ,andWhere denotes the