數(shù)學分析中的極限問題-應用數(shù)學畢業(yè)論文終稿

1、<p><b>　　信陽師范學院</b></p><p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　年 級 </p>

2、;<p>　　姓 名 </p><p>　　論文題目 數(shù)學分析中的極限問題 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　**** 年 *月 * 日</

3、p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要1</b></p><p><b>　　關鍵詞1</b></p><p>　　Abstract1</p><p>　　Key words.1</p>&l

4、t;p><b>　　引言1</b></p><p><b>　　1.綜述2</b></p><p>　　1.1極限的產(chǎn)生與發(fā)展2</p><p>　　1.2極限問題的類型3</p><p>　　2.常見的極限求解方法3</p><p>　　2.1簡單求極限的方

5、法3</p><p>　　2.2利用兩個重要極限公式求極限4</p><p>　　2.3利用洛必達法則求極限5</p><p>　　2.4利用極限的四則運算法則求極限6</p><p>　　2.5利用等價無窮小替換求極限6</p><p>　　2.6利用定積分求極限7</p><p>

6、;　　2.7利用泰勒公式求極限8</p><p>　　2.8兩邊夾法則求極限9</p><p>　　2.9利用單側極限求極限10</p><p>　　2. 10利用中值定理求極限11</p><p><b>　　小結12</b></p><p><b>　　參考文獻13<

7、;/b></p><p>　　數(shù)學分析中的極限問題</p><p>　　學生姓名：** 學號：*********</p><p>　　數(shù)學與計算機科學系 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)</p><p>　　指導教師：** 職稱：**</p><p>　　摘 要：極限是數(shù)學分析這門學科的基礎，通過極限思想、

8、借助極限工具使數(shù)學分析內(nèi)容更加嚴謹，貫穿整個數(shù)學分析的始末. 本文主要是對數(shù)學分析中的極限的產(chǎn)生與發(fā)展，以及常見極限的若干常規(guī)解法進行了討論和研究. 本文的重點在第二章，具體介紹了運用四則運算法則、兩個重要極限、兩邊夾法則、等價無窮小替換等方法求解極限.</p><p>　　關鍵詞：四則運算法則；洛比達法則；泰勒公式；兩邊夾法則.</p><p>　　Abstract: Limit is

9、the basis of mathematical analysis of the subject, through the of though with the tools of limit, make the content more rigorous mathematical analysis, through the mathematical analysis of events. This article is mainly

10、to limit the emergence and development of mathematical analysis, as well as the common limit of conventional method are disscussed and studied. In the second chapther, the focus of this article, using the laws of arthmet

11、ic are analysised in detail, two importan</p><p>　　Key words: four arithmetic operations; the derivation rule; Taylor formula; both sides grip rule.</p><p><b>　　引言</b></p><

12、;p>　　極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無限過程中的變化趨勢的重要概念，是從近似認識精確，從有限認識無限，從量變認識質變的一種數(shù)學方法，能夠通過舊事物的量的變化規(guī)律，去計算新事物的量. 因此，極限具有由此達彼的重大創(chuàng)新作用. 同時，極限是研究微積分的理論基礎和基本手段，它一直貫穿于該學科的始終. 極限的思想方法不僅在整個分析學的建立和發(fā)展中起著基本作用，而且還廣泛應用于其他數(shù)學分支和自然科學. 同時，考研數(shù)學中也少不了有關于極限的題目.&

13、lt;/p><p>　　極限的思想方法作為人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題并解決數(shù)學問題的一種重要手段，隨著科學技術的不斷發(fā)展，社會生產(chǎn)力的不斷提高，在數(shù)學的發(fā)展史上將發(fā)揮越來越重要的作用. 因此，探討如何求極限、怎樣使求極限變得容易，是一個非常具有現(xiàn)實意義的重要問題. 求極限不僅要準確理解極限的概念、性質和極限存在的條件，而且還要清楚認識各種極限的類型，并熟練應用多種求極限的基本方法.眾所周之，求極限的方法繁多且變化靈活，不易掌握

14、. 本文在總結各種常用的求極限方法的同時，更重要的是，也會提出一些創(chuàng)新的極限求解方法，希望能夠開拓思路，起到拋磚引玉的作用. </p><p><b>　　1.綜述</b></p><p>　　1.1極限的產(chǎn)生與發(fā)展</p><p>　　早在兩千多年前，我國的惠施就在莊子的《天下篇》中有一句著名的話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，惠施提出了

15、無限變小的過程，這是我國古代極限思想的萌芽.</p><p>　　我國三國時期的大數(shù)學家劉徽（約225年～295年）的割圓術，通過不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來逼近圓周，劉徽計算了圓內(nèi)接正3072邊形的面積和周長，從而推得.在國外一千多年以后歐洲人安托尼茲才算到同樣精確度的小數(shù).這扇窗口閃爍著我國古代數(shù)學家的數(shù)學水平和才能的光輝.劉徽的割圓術不僅僅是先導，而且是一面旗幟，為研究復雜的逼近數(shù)列打開了先河.</

16、p><p>　　16世紀前后，歐洲資本主義的萌芽和文藝復興運動促進了生產(chǎn)力和自然科學的發(fā)展. 17世紀，牛頓和萊布尼茲在總結前人經(jīng)驗的基礎上，創(chuàng)立了微積分. 隨著微積分應用的更加廣泛和深入，遇到的數(shù)量關系也日益復雜，例如研究天體運行的軌道等問題已超出直觀范圍.在這種情況下，微積分的薄弱之處也越來越暴露出來，嚴格的極限定義就顯得十分迫切需要. 經(jīng)過近百年的爭論，直到19世紀上半葉人們通過對無窮級數(shù)的研究和總結，明確的認

17、識了極限的概念. </p><p>　　德國著名數(shù)學家維爾斯特拉斯通過靜態(tài)刻板的定義，描述了無限的過程，刻畫了極限，對于數(shù)列如果找到一個實數(shù)，無論預先指定多么小的正數(shù)，都能夠在數(shù)列中找到一項，使得這一項后面的所有項與的差的絕對值都小于，就把這個實數(shù)叫做數(shù)列的極限.</p><p>　　1.2極限問題的類型</p><p>　　數(shù)列極限定義 設為實數(shù)數(shù)列，為定

18、數(shù)，任意，總存在正整數(shù),使得當時，有，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限.</p><p>　　不等式刻畫了與的無限接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正數(shù)可以任意地小，說明與可以接近到任何程度. 然而，盡管有其任意性，但一經(jīng)給出正整數(shù)就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出，又既是任意小的正數(shù)，那么, 的平方等等同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義中不定式中的可用, 的平方等來代替. 同時，正由于是任意小正數(shù)，我們可限定小

19、于一個確定的正數(shù).</p><p>　　函數(shù)極限定義 設函數(shù)在點的某一去心鄰域有定義，如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，當x滿足不等式時，對應的函數(shù)值都滿足不等式，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當時的極限，記作.</p><p>　　2.常見的極限求解方法</p><p>　　數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過歸納和總結，本章將介紹幾種常見的極限求解方法，這些

20、方法均有各自的特點，因為這些常見的方法是研究極限求解的基礎，需要我們?nèi)ド羁痰睦斫獠⒃鷮嵉恼莆?我們羅列出一些常用的求法.</p><p>　　2.1簡單求極限的方法</p><p>　　我們知道，在同一趨近過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量；有界量乘以無窮小量等于無窮小量；有限個（相同類型）無窮小量之和 、差、積仍為無窮小量，以及利用函數(shù)的連續(xù)性可以求出某些函數(shù)的極限.</p>

21、<p><b>　　例1 求極限.</b></p><p>　　解 當時，分母的極限為0，而分子的極限不為0，可以先求出所給函數(shù)的倒數(shù)的極限</p><p><b>　　,</b></p><p>　　利用無窮小量的倒數(shù)是無窮大量，故 .</p><p><b>　　例2

22、 求極限.</b></p><p>　　解 運用極限運算的四則運算法則，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　當時，為無窮小量，為有界

23、量，所以</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.2利用兩個重要極限公式求極限</p><p>　　我們所熟悉的兩個重要極限是</p>

24、<p><b>　　(i)則,</b></p><p><b>　　(ii)則,</b></p><p>　　其中，第一個重要極限是“”型；第二個重要極限是“”型.</p><p>　　利用重要極限求函數(shù)極限時，關鍵在于把要求的函數(shù)極限化成重要極限的標準型或者它們的變形，這就要抓住重要極限公式的特征，并且能夠根據(jù)

25、它們的特征，辨認它們的變形，有時會利用到歸結原則.</p><p><b>　　例3 求極限</b></p><p><b>　　解 .</b></p><p><b>　　例4 求極限.</b></p><p><b>　　解 ，當時，有</b>

26、;</p><p><b>　　,</b></p><p>　　而由歸結原則（?。┯?lt;/p><p><b>　　,</b></p><p>　　于是，由數(shù)列極限的迫斂性得</p><p><b>　　.</b></p><p>

27、　　2.3利用洛必達法則求極限</p><p>　　定理1 若函數(shù)與滿足</p><p><b>　　(i) </b></p><p>　　(ii) 在點的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導，且；</p><p>　　(iii) （可為實數(shù)，也可為或）,則 </p><p><b>　　.<

28、/b></p><p><b>　　例5 求極限.</b></p><p><b>　　解 利用,得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　應用洛必達法則計算待定型極限需要注意的問題</p><p>　　(1)

29、審查計算的極限是不是待定型，如果不是待定型就不能運用洛必達法則，因為它不滿足洛必達法則的條件.</p><p>　　(2)除計算“”或者“”兩種待定型外，計算其它五種待定型都要用對數(shù)或代數(shù)運算將它們化為待定型“”或者“”,然后再應用洛比達法則.</p><p>　　(3)在求極限的過程中，有可約的因子或者極限不是零的因子，可以先約去或從極限符號內(nèi)取出.</p><p&g

30、t;　　(4)要特別注意，一般來說，應用洛必達法則計算待定型極限都比較簡單.但是對少數(shù)的待定型極限應用洛比達法則，并不簡單.</p><p>　　2.4利用極限的四則運算法則求極限</p><p>　　定理2（極限的四則運算法則） 若，，則</p><p><b>　　(i) ，</b></p><p><b&

31、gt;　　(ii)，</b></p><p><b>　　(iii)若，則</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　綜上所述，函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商.</p><p><b>　　例6 求極限.</b>&

32、lt;/p><p><b>　　解 =.</b></p><p>　　2.5利用等價無窮小替換求極限</p><p>　　以下是當時常用的等價無窮小關系</p><p>　　等價無窮小代換法 設 都是同一極限過程中的無窮小量，且有 存在，則 也存在，且有</p><p><b>　　.&

33、lt;/b></p><p><b>　　例7 求極限.</b></p><p><b>　　解 因為 ，故 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例8 求極限</b></p><p

34、>　　解 有等價無窮小關系 </p><p>　　2.6利用定積分求極限</p><p>　　由于定積分是積分和的極限，因此，某些和式問題可以化為定積分的計算，使運算得以完成.</p><p><b>　　例9 求極限.</b></p><p><b>　　解 </b></p>

35、;<p><b>　　.</b></p><p>　　可取函數(shù)，上述和式恰好是,在上等分的積分和，所以</p><p>　　2.7利用泰勒公式求極限</p><p><b>　　常用泰勒公式展開</b></p><p><b>　　例10 求極限.</b><

36、;/p><p>　　解 利用泰勒公式，當時,，于是</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例11 求極限.</b></p><p>　　解 應用泰勒公式，將函數(shù)，，展開到項，有</p><p>　　將它們代入上式，整理，得</p>

37、<p><b>　　.</b></p><p>　　2.8兩邊夾法則求極限</p><p>　　當極限不易求出時，可考慮將所求極限變量，做適當?shù)姆糯蠡蚩s小，是放大或縮小的新變量，易于求極限，且二者的極限值相等，則原極限存在，切等于此公共值.</p><p><b>　　例11 求極限.</b></p&g

38、t;<p>　　解 因為是對取整，則</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　當時，, </b></p><p><b>　　當時，, 故</b></p><p><b>　　.</b></p>&

39、lt;p><b>　　例12 設求極限</b></p><p><b>　　解 當分子時，有</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此，當時，, 所以</p><p><b>　　.</b></p>

40、<p>　　2.9利用單側極限求極限</p><p>　　可以用單側極限求解的問題類型如下 </p><p>　　(1) 求含的函數(shù)趨向無窮的極限，或求含的函數(shù)趨于0的極限;</p><p>　　(2) 求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;</p><p>　　(3) 分段函數(shù)在分段點處的極限;</p><p>　　(4

41、) 含偶次方根的函數(shù)以及的函數(shù)，趨向無窮的極限.</p><p>　　這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點處的極限，首先必須考慮分段點的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點處的極限存在，否則極限不存在.</p><p>　　例13 設函數(shù) ,求在的極限.</p><p><b>　　解 由于</b></p>

42、<p><b>　　,,</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　.</b></p><

43、;p>　　2. 10利用中值定理求極限</p><p>　　拉格朗日(Lagrange）中值定理 若函數(shù)滿足如下條件</p><p>　　(i) 在閉區(qū)間上連續(xù) ；</p><p>　　(ii) 在開區(qū)間內(nèi)可導，</p><p>　　則在內(nèi)至少存在一點，使得</p><p><b>　　.</b

44、></p><p>　　例14 求函數(shù)極限 . </p><p><b>　　解 因為 </b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　積分中值定理 若在上連續(xù)，則至

45、少存在一點，使得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例15 求極限 為某實數(shù).</p><p>　　解 由積分中值定理，得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為為介于與之間的某值，則</p><p&

46、gt;<b>　　或 ，</b></p><p>　　而，由無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量及迫斂性得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理（推廣的積分第一中值定理） 若函數(shù)與在上連續(xù)，且在上不變號，則至少有一點，使得 </p><p><b>　　.<

47、;/b></p><p>　　例16 求函數(shù)極限.</p><p>　　解 由題 均在上連續(xù)，且不變號，由推廣的積分第一中值定理</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　小結</b></p><p>　　以上所求極限的方法各有條件、各具

48、特色,因此各種類型所采用的技巧方法都不盡相同,我們必須根據(jù)其條件來判斷極限的類型,進而根據(jù)類型來找到解決問題的方法.當然,有些題目有可能可以用多種方法來解決,此時,我們不可以死搬硬套,要從繁瑣中找復雜,在復雜中找簡單,而關于如何做到這一點,就必須在做題中不斷總結、摸索、領悟各種方法的精髓,才能熟練而有靈活的掌握與運用各種求極限的方法.</p><p><b>　　參考文獻</b></p

49、><p>　　[1] 林源渠，方企勤. 數(shù)學分析解題指南.[M].北京：北京大學出版社，2003.</p><p>　　[2] 郝涌，李學志，陶有德. 數(shù)學分析選講.[M].北京：國防工業(yè)出版社，2010.</p><p>　　[3] 同濟大學應用數(shù)學系. 高等數(shù)學.[M].北京：高等教育出版社，1996.</p><p>　　[4] 劉玉璉，楊

50、奎元，劉偉，呂風. 數(shù)學分析講義學習輔導書.[M].北京：高等教</p><p>　　育出版社，2003.</p><p>　　[5] 孫清華，孫昊． 數(shù)學分析內(nèi)容、方法與技巧.[M]．華中科技大學出版社， 2003.</p><p>　　[6] 華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析上冊第三版.[M].高等教育出版社，2001.</p><p>