jnxyj《數學分析》函數極限存在條件

1、生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因為在它內部蘊含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現的形式表現出來。－－泰戈爾３函數極限存在條件函數極限存在條件教學目的教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性。教學要求教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質以及證明的基本思路。教學重點教學重點：海涅定理及柯西準則。教學難點教學難點：海涅定理及柯西準則運用。教學方法教學方法：講授為主，輔以練習

2、加深理解，掌握運用。教學程序教學程序：?引言在討論數列極限存在條件時，我們曾向大家介紹過“單調有界定理”和“柯西收斂準則”。我們說數列是特殊的函數，那么對于函數是否也有類似的結果呢？或者說能否從函數值的變化趨勢來判斷其極限的存在性呢？這是本節(jié)的主要任務。本節(jié)的結論只對這種類型的函數極限進行論述，但其結論對其它類型的函數極限也是成立的。0xx?首先介紹一個很主要的結果——海涅(Heine)定理（歸結原則）。一、歸結原則一、歸結原則定理１定

3、理１（Heine定理定理）設在內有定義，存在對任何含于且以f00()Ux??0lim()xxfx??00()Ux??0x為極限的數列，極限都存在且相等。??nxlim()nnfx??注１注１是數列，是數列的極限。所以這個定理把函數的極限歸結為數列??()nfxlim()nnfx??()fx的極限問題來討論，所以稱之為“歸結原則”。由此，可由數列極限的性質來推斷函數極限性質。??()nfx注２注２從Heine定理可以得到一個說明不存在的方

4、法，即“若可找到一個數列，0lim()xxfx???nx，使得不存在；”或“找到兩個都以為極限的數列，使0limnnxx???lim()nnfx??0x????nnxx???都存在但不相等，則不存在。lim()lim()nnnnfxfx???????0lim()xxfx?例１例１證明不存在。01limsinxx?注３注３對于這四種類型的單側極限，相應的歸結原則可表示為更00xxxxxx??????????強的形式。如當時有：0xx??定

5、理２定理２設函數在的某空心鄰域內有定義，對任何以為極限的遞減f0x00()Ux?0lim()xxfxA????0x數列，有.??00()nxUx??lim()nnfxA???二、單調有界定理二、單調有界定理相應于數列極限的單調有界定理，關于上述四類單側極限也有相應的定理?，F以這種類型為例0xx??敘述如下:定理３定理３設為定義有上的單調有界函數，則右極限存在。f00()Ux?0lim()xxfx??注：定理３可更具體地敘述如下：為定義在

6、上的函數，若（１）在上遞增有下界，則存在，且f00()Ux?f00()Ux?0lim()xxfx??；（２）在上遞減有上界，則存在，且000()lim()inf()xxxUxfxfx?????f00()Ux?0lim()xxfx??.000()lim()sup()xxxUxfxfx?????三函數極限的函數極限的Cauchy收斂準則收斂準則定理４定理４（Cauchy準則準則）設函數在內有定義，存在任給，存在正數f00()Ux??0lim