數(shù)學分析中數(shù)學思想方法的教學研究【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　數(shù)學分析中數(shù)學思想方法的教學研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)

2、學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></

3、p><p>　　數(shù)學思想是對數(shù)學概念、方法和理論的本質(zhì)認識, 是建立數(shù)學理論和解決數(shù)學問題的指導思想. 任何數(shù)學知識的理解, 數(shù)學概念的掌握, 數(shù)學方法的應用, 數(shù)學理論的建立, 無一不是數(shù)學思想的體現(xiàn)和運用. 由于數(shù)學思想的深入研究, 人們對數(shù)學分析也有了更深的理解并發(fā)現(xiàn)數(shù)學分析中也隱含著豐富的數(shù)學思想方法. 本文將介紹數(shù)學思想方法的涵義和研究數(shù)學思想方法的意義, 再著重分析歸納數(shù)學分析中蘊含的主要的數(shù)學思想方法,

4、 即函數(shù)思想、極限思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及數(shù)學建模思想，并結(jié)合典型的例子來體現(xiàn)這些思想. </p><p>　　關鍵詞: 數(shù)學思想方法; 數(shù)學概念; 數(shù)學分析</p><p>　　Mathematical Thought in Mathematical Analysis</p><p><b>　　Abstract</b></p&

5、gt;<p>　　Mathematical thought is the natural understanding of mathematical concepts, methods and theory, it is the guiding thought to establish mathematical theory and solve mathematical problems. Any understandin

6、g of mathematical knowledge, mastery of mathematical concepts, the application of mathematical methods and establishment of mathematical theory is the embodiment and application of mathematical thought. As the in-depth s

7、tudy of mathematical thought, people had a deeper understanding of mathemati</p><p>　　Keywords: Mathematical thought; Mathematical concept; Mathematical analysis</p><p><b>　　目錄</b>&l

8、t;/p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 數(shù)學思想方法3</p><p>　　2.1數(shù)學思想方法的涵義3</p><p>　　2

9、.2研究數(shù)學思想方法的意義和目的3</p><p>　　3 數(shù)學分析中常見的數(shù)學思想方法5</p><p><b>　　3.1函數(shù)思想5</b></p><p><b>　　3.2極限思想6</b></p><p><b>　　3.3化歸思想8</b></p&g

10、t;<p>　　3.4數(shù)形結(jié)合思想10</p><p>　　3.5數(shù)學建模思想13</p><p><b>　　4 小結(jié)16</b></p><p><b>　　參考文獻17</b></p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p>&l

11、t;b>　　1 前言</b></p><p>　　數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂, 如果把數(shù)學的知識比喻為金子, 那么數(shù)學思想方法就是 “點金術(shù)”. 數(shù)學的知識可以記憶一時, 而數(shù)學的思想與方法卻永遠發(fā)揮作用, 可以終身受益, 它是數(shù)學的力量所在, 是數(shù)學教育的根本目的之所在. </p><p>　　長期以來, 由于人們過于注重記述數(shù)學研究成果, 而忽視交流和刊發(fā)取得成果的真實經(jīng)過

12、和思想方法. 因此, 數(shù)學思想方法的研究進展緩慢. 但是隨著社會和科技的發(fā)展, 人們越來越意識到數(shù)學思想方法的重要性. 從20世紀70年代開始我國著名數(shù)學家徐利治在研究數(shù)學思想方法方面做了很多工作, 并在1979年撰寫了《淺談數(shù)學方法論》, 這是中國學者在數(shù)學思想方法這一領域的第一部著作. 1983年, 他又在《數(shù)學方法論選講》中明確指出, 數(shù)學思想方法是數(shù)學方法論的主要研究對象. 在此期間, 由解恩澤和徐本順編寫的《數(shù)學思想方法》提出

13、了數(shù)學思想方法研究的對象和范圍. 自20世紀90年代開始, 涉及到數(shù)學思想方法的著作越來越多. </p><p>　　由于數(shù)學思想的深入研究, 人們對數(shù)學分析也有了更深的理解并發(fā)現(xiàn)數(shù)學分析中也隱含著豐富的數(shù)學思想方法. 近十多年來, 各類期刊雜志上也刊登了許多關于數(shù)學分析中的數(shù)學思想方法的文章. </p><p>　　1995年葛仁福發(fā)表了《略談數(shù)學分析中類比化歸思想》, 他認為類比化歸是

14、一種重要的思想方法. 數(shù)學分析中許多概念都可通過類比化歸來揭示其本質(zhì), 甚至得到另外的新概念. 在進行級數(shù)理論教學時, 完全可以同數(shù)列的極限理論聯(lián)系起來. 此外, 數(shù)學分析中還有許多的內(nèi)容都滲透著類比化歸的思想. 2000年盧潔發(fā)表了《論函數(shù)級數(shù)展開的辯證數(shù)學思想》, 文章主要針對數(shù)學分析中函數(shù)級數(shù)展開這一重要內(nèi)容, 從三方面——級數(shù)展開的形式、展開的內(nèi)涵和展開的條件, 深入揭示它們所蘊含的豐富多彩的辯證數(shù)學思想. 2001年趙麗棉發(fā)表

15、了《試析數(shù)學分析的數(shù)學思想方法特點》, 在文章中她闡述了五種數(shù)學思想方法. 第一是極限思想方法. 第二是數(shù)學模型方法. 如導數(shù)與積分都是為解決求瞬時速度切線斜率最值求積等實際問題而產(chǎn)生的因而它們的形成過程無不體現(xiàn)了構(gòu)建數(shù)學模型的過程而這些基本概念的應用更是運用數(shù)學模型方法的具體體現(xiàn). 第三是關系映射反演方法, 簡稱為RMI法. 第四是數(shù)形結(jié)合思想方法. 第五是一般化與特殊化的方法. 2007年孔君香在《數(shù)學分析中體現(xiàn)的數(shù)學思想》這一論文

16、中對數(shù)學分析內(nèi)容中體現(xiàn)的函數(shù)思想、極限思想、連續(xù)</p><p>　　本文將綜合整理上述文章中的數(shù)學思想, 介紹幾種常見的數(shù)學思想, 如函數(shù)思想、極限思想、化歸思想等重要思想以及它們在數(shù)學分析中的體現(xiàn). 本文的第一部分主要介紹了數(shù)學思想方法的涵義以及研究數(shù)學思想方法的意義和目的. 在此基礎上, 第二部分闡述了數(shù)學的函數(shù)思想、極限思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及建模思想, 并且每種思想都通過若干典型的例子來說明它們

17、在數(shù)學分析中的應用. </p><p><b>　　2 數(shù)學思想方法</b></p><p>　　2.1數(shù)學思想方法的涵義</p><p>　　關于數(shù)學思想方法, 其作為數(shù)學教育的重要組成部分, 己經(jīng)越來越引起人們的關注. 那么, 什么是數(shù)學思想方法呢? 數(shù)學思想方法是不是就是數(shù)學思想加數(shù)學方法呢? 根據(jù)鄭毓信教授的觀點, 數(shù)學思想方法不能理解

18、為數(shù)學思想與數(shù)學方法的簡單合成問題. 結(jié)合多篇文章中關于數(shù)學思想方法的敘述, 我們可以這樣來理解這一概念. 一般來說, 數(shù)學思想是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反應到人的意識之中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果, 它是分析、處理和解決數(shù)學問題的根本想法, 屬于對數(shù)學規(guī)律的理性認識, 人們常用它代表某些內(nèi)容豐富、體系完整、具有深遠意義的數(shù)學成果. 它含有傳統(tǒng)數(shù)學的精髓和現(xiàn)代數(shù)學的基本觀點, 主要的數(shù)學思想有: 函數(shù)與方程思想、極限思想、數(shù)形結(jié)合思想

19、、化歸思想、整體與局部思想、分類討論思想等. 而數(shù)學方法則是用數(shù)學語言表述事物的狀態(tài)關系和過程, 并加以推導、分析和運算, 以形成對問題的解析、判斷和預言的方法. 換言之, 數(shù)學方法是人們解決數(shù)學問題的一種手段. 它在運用時具有過程性、層次性和可操作性的特點.</p><p>　　張奠宙教授認為: “同一數(shù)學成就, 當用它去解決別的問題時稱之為方法, 當評價它在數(shù)學體系中的自身價值和意義時就稱之為思想.” 數(shù)學思

20、想是隱含的, 數(shù)學方法則是外顯的. 數(shù)學思想是對應方法的精神實質(zhì)和理論依據(jù), 數(shù)學方法則是實施相應思想的手段. 它們之間是相互滲透、相互促進和緊密聯(lián)系的, 而不是相互排斥和相互分離的. 數(shù)學問題的解決是以數(shù)學思想為指導, 并以數(shù)學方法為手段的. 因此, 人們常將兩者統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法. </p><p>　　作為一個應用極為廣泛的概念, 劉兼在《21世紀中國數(shù)學研究展望》中給出了如下定義: 數(shù)學思想方法是指在認識

21、或處理各種數(shù)學或者非數(shù)學現(xiàn)象的思維過程中, 所表現(xiàn)出來的種種數(shù)學觀念及思維形式. </p><p>　　2.2研究數(shù)學思想方法的意義和目的</p><p>　　數(shù)學上的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明主要是方法上的創(chuàng)新. 數(shù)學的發(fā)展絕不僅僅是知識的積累和增加, 它需要有新的思想方法的參與, 才會有創(chuàng)新, 發(fā)現(xiàn)和發(fā)明. 因此, 從宏觀意義上來說, 數(shù)學思想方法是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的關鍵和動力. 也就是說, 對于數(shù)學發(fā)展規(guī)律

22、的研究及明確的認識, 我們顯然可以幫助努力去創(chuàng)造有利于數(shù)學發(fā)展的良好環(huán)境. 華羅庚說: “新的數(shù)學方法和觀念, 常常比解決數(shù)學問題本身更重要. 因為他們有更普遍的作用與意義, 并能將數(shù)學引向深入發(fā)展. ” </p><p>　　從數(shù)學的教學工作而言, 數(shù)學思想方法事實上是對我們的數(shù)學教師提出了更高的要求, 即我們不僅應當注意具體的數(shù)學知識的傳授, 而且也應注意數(shù)學思想方法方面的訓練和培養(yǎng). 應當強調(diào)的是, 在這兩

23、者之間存在著相輔相成的辯證關系. 例如, 只有注意數(shù)學思想方法的分析, 我們才能把數(shù)學可講話、讀懂、講深. 所謂 “講話” 就是讓學生看到活生生的數(shù)學研究工作, 而不是死的數(shù)學知識; 所謂 “講懂” , 就是讓學生真正理解有關的數(shù)學內(nèi)容, 而不是囫圇吞棗、死記硬背; 所謂 “講深” , 則是指使學生不僅能掌握具體的數(shù)學知識, 而且也能領會內(nèi)在的思想方法. 另外, 從數(shù)學思想方法而言, 只有與具體的數(shù)學知識的數(shù)學密切相結(jié)合, 并真正滲透于

24、其中, 才不會成為借題發(fā)揮、夸夸其談、紙上談兵的空頭文章. 因此, 學習和研究數(shù)學思想方法將對提高數(shù)學教學質(zhì)量、提高教師的數(shù)學教學學術(shù)水平起到積極的作用. </p><p>　　從更為基本的意義上說, 數(shù)學學習不僅僅是指具體的數(shù)學知識的學習, 而且也是指數(shù)學思想方法的學習, 自覺地以數(shù)學思想方法來指導數(shù)學學習, 也可收到更好的學習效果. 即使大多數(shù)學習者將來必會用到任何超出中學水平的數(shù)學知識, 但是數(shù)學的思想方法

25、對他們?nèi)杂兄謴V泛的指導意義. 另外, 即使就未來的數(shù)學工作者而言, 重要的問題顯然也在于如何去作出新的創(chuàng)造, 而所學到的具體數(shù)學知識只是為這種創(chuàng)造性工作提供了一個必要的基礎. 因此,我們應充分肯定數(shù)學思想方法對于數(shù)學學習者的重要意義. </p><p>　　數(shù)學的思想方法是處理數(shù)學問題的指導思想和基本策略, 是數(shù)學的靈魂. 因此, 在數(shù)學知識的教學中逐步滲透數(shù)學思想方法, 是提高思維水平, 領會數(shù)學的價值,

26、建立科學的數(shù)學觀念的必由之路. </p><p>　　數(shù)學作為一種科學語言及工具, 將同語言、宗教和藝術(shù)意義, 是人類文化影響全局的部分.尤其是數(shù)學在自然科學、社會科學、行為科學等方面的廣泛應用, 使得現(xiàn)代科學的任何部分幾乎都已帶上了抹不掉的數(shù)學印記. 而數(shù)學思想方法, 是在人們頭腦中起到長久作用的數(shù)學的觀念和文化, 數(shù)學的精神和態(tài)度, 它使人表達清楚、思維敏捷、工作有條理; 使人善于處世與做事, 使人實事求是,

27、 鍥而不舍; 使人得到文化方面的修養(yǎng), 從而更好地理解并改造社會.</p><p>　　3 數(shù)學分析中常見的數(shù)學思想方法</p><p>　　隨著數(shù)學思想方法理論的完善, 人們將數(shù)學思想方法應用于數(shù)學的各個領域, 而數(shù)學分析中所蘊含的數(shù)學思想方法也被逐漸挖掘. 它主要包括以下幾個方面, 即函數(shù)思想、極限思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及數(shù)學建模思想. 下面我們就來一一介紹以上幾種思想.&l

28、t;/p><p><b>　　3.1函數(shù)思想</b></p><p>　　17世紀以前, 人們對數(shù)學的需要還停留在常量數(shù)學的范圍內(nèi), 1692年萊布尼茲首次使用了 “function” 一詞. 函數(shù)思想的建立使常量數(shù)學進人了變量數(shù)學. 函數(shù)思想是用運動變化的觀點分析和研究具體問題中的數(shù)量關系, 建立函數(shù)關系解決問題的思想方法. 它是一種由研究狀態(tài)過渡到研究變化過程的思想.

29、 而變量之間的對應則是函數(shù)的本質(zhì)特征.</p><p>　　函數(shù)是數(shù)學分析的主要研究對象, 也是學習數(shù)學分析的基礎. 函數(shù)與方程有非常密切的關系, 方程的根可視為其相應函數(shù)在某種特定狀態(tài)下的值. 即在研究方程問題時, 特別是證明方程根的存在性及其個數(shù)時, 如果我們采用函數(shù)的思想, 問題也就迎刃而解. 因此, 在解題中如果充分合理地運用函數(shù)的思想方法, 有時會給解題帶來很大的方便. 正如偉大的數(shù)學家所說的: “一般

30、的教育者在數(shù)學課上應該學會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考, 函數(shù)的思想貫穿于數(shù)學理論和應用的每一場合.”</p><p>　　函數(shù)思想的運用使許多數(shù)學問題的處理達到了統(tǒng)一. 例如函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值以及拉格朗日中值定理證明中都要用到導函數(shù), 即通過函數(shù)的思想方法解決問題; 除了數(shù)學分析中的問題之外, 許多物理問題、現(xiàn)實問題的解決, 也都要把這些問題轉(zhuǎn)化為函數(shù), 而這些問題的解決無一不是通過對函數(shù)的研究.&l

31、t;/p><p>　　例3.1證明下列不等式:</p><p>　　證 設 則 故當時, , 嚴格遞增; 當時, 則當時, , 嚴格遞減. 又由于在處連續(xù), 則當時</p><p><b>　　從而證得</b></p><p>　　我們在證明不等式時, 可以將不等式問題化為函數(shù)問題, 為解決問題帶來方便.</p>

32、<p>　　例3.2 求數(shù)列的最大項.</p><p><b>　　解 把數(shù)列寫出來即</b></p><p>　　如果通過比較的方法來求解是不切實際的. 因此我們可以利用函數(shù)的方法進行運算. 在這里我們作函數(shù) 并在上展開來討論. 因為 </p><p>　　令得在處達到最大值. 因為只需比較和的大小即可. 由于</p&g

33、t;<p>　　故當時, 數(shù)列取最大值</p><p>　　數(shù)列是定義域為正整數(shù)的一類特殊函數(shù). 從函數(shù)的觀點出發(fā), 將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)問題, 是解決數(shù)列問題的一種有效方法. 同理, 我們也可以將這種思想方法用在級數(shù)問題中. </p><p><b>　　3.2極限思想</b></p><p>　　所謂極限的思想是用有限描

34、述無限、由近似過渡到精確的一種思想方法, 它更是一種工具、一種過程, 特別是關于變化趨勢 “無窮小” 的過程. 如果讓你解決一個比較復雜的問題, 并且一下子又能加以解決, 這時你不妨將問題轉(zhuǎn)化為個按一定順序串聯(lián)起來的但比較容易解決的問題, 這些問題一個比一個更加逼近原來的問題. 隨著這些問題的順次解決, 你也就應用極限的方法得到了原來的答案. </p><p>　　極限思想是經(jīng)過一系列的階段而形成并完善的, 它主

35、要有四個時期. 第一個時期是極限思想的萌芽時期. 這就是莊周所描述的 “一尺之捶, 日取其半, 萬世不竭” . 第二個時期是極限思想的形成時期. 當時劉徽為了生產(chǎn)實際的需要, 如糧倉的建造、四季的確定, 就對作進一步的研究. 它在總結(jié)前人經(jīng)驗的基礎上創(chuàng)立了割圓術(shù), 從而開創(chuàng)了對研究的先河. 第三個時期是極限思想的發(fā)展時期. 隨著社會的發(fā)展, 生產(chǎn)實際的需要, 微積分的發(fā)展, 都需對極限的概念作進一步的研究, 牛頓與萊布尼茲等科學家對此作

36、了較大貢獻. 第四個時期是極限思想的嚴格化時期, 魏爾斯特拉斯、波爾察諾、柯西等科學家的研究, 使極限概念得到了嚴格化, 這也是微積分發(fā)展史上的一個重要標志. 通過上述時期, 極限思想逐步形成和發(fā)展并在現(xiàn)在的數(shù)學分析中獲得了廣泛的應用. 這種思想不但在現(xiàn)代分析中有廣泛的應用, 而且對人們認識世界、認識白然、認識人類社會都有不可估量的作用. </p><p>　　極限思想是近代數(shù)學的一種重要思想, 數(shù)學分析就是以極

37、限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究函數(shù)的一門學科. 有了極限的概念以后, 在此基礎上又建立了連續(xù)的概念、導數(shù)的概念、積分的概念以及級數(shù)的概念等等. 極限的思想方法的應用使許多初等數(shù)學無法解決的問題得以解決, 這也是數(shù)學分析區(qū)別于初等數(shù)學的主要方面. </p><p>　　例3.3 曲邊梯形由非負連續(xù)曲線以及軸、直線與所圍成, 求此曲邊梯形的面積. </p><p><b>　

38、　解題思路為:</b></p><p>　　(1) 將曲邊梯形分成個小曲邊梯形 (如圖3.1) .</p><p>　　(2) 當趨向于無窮, 且當所有的都很小時, 每個 (1) 中的曲邊梯形都可看成小矩形. 第個小曲邊梯形面積</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　

39、此時</b></p><p>　　(3) 當無限增大時, 即當</p><p><b>　　無限接近于0時, </b></p><p>　　也就無限趨近于這個曲邊梯形的面積S, 故</p><p>　　積分這個重要概念是從求曲邊梯形面積的實際問題中用極限思想方法升華而得到的. 也就是說, 積分都是建立在極限之

40、上的. 此外, 導數(shù)這個概念是從求瞬時速度的實際問題中總結(jié)出來的. 而數(shù)學分析中的連續(xù)問題、微分問題、級數(shù)問題也都是以極限為基礎的. 總之, 極限思想方法貫穿著整個數(shù)學分析課程. </p><p><b>　　3.3化歸思想</b></p><p>　　我們在解決數(shù)學問題時, 思考的重點就是把所需要解決的為題轉(zhuǎn)化為已知的問題. 也就是說, 在求解不易直接或正面找到解題

41、途徑的問題時, 我們往往轉(zhuǎn)化問題的形式, 從側(cè)面或反面尋找突破口, 直到最終把它轉(zhuǎn)化成一個或若干個已知的或簡單的問題. 這就是數(shù)學思維中一種重要的思想——化歸思想.</p><p>　　匈牙利著名的數(shù)學家露莎曾說過, “對于數(shù)學家的思維過程來說是很典型的, 他們往往不對問題進行正面的進攻, 而不是不斷地把它變形, 直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題. ”</p><p>　　化歸的基本目的是

42、: 化難為易, 化繁為簡, 化暗為明. 化歸的基本思想是: 我們在解決數(shù)學問題的時候, 經(jīng)常將需要解決的問題, 通過化歸途徑轉(zhuǎn)化為另一個問題, 而問題是相對簡單的問題. 問題的解答是通過對問題的解決而得到. 化歸思想主要包括三部分, 即化歸對象, 化歸目標與化歸途徑. 其用框圖可直觀表示為圖3.2.</p><p>　　在數(shù)學中, 化歸就伴隨著所有的問題解決, 將未知化歸為已知, 將復雜問題化歸為簡單問題, 將整

43、體問題分割為部分問題去研究等等, 都是化歸思維的具體體現(xiàn). 例如在數(shù)學分析中我們經(jīng)常會將函數(shù)的極值、單調(diào)性以及凹凸性的問題化歸為導數(shù)的問題; 將復合函數(shù)求導的問題化歸為基本初等函數(shù)的運算問題; 將曲邊梯形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積分別化歸為定積分和重積分的問題.</p><p><b>　　例3.4求極限</b></p><p>　　解 因為函數(shù)在時的泰勒展開式為:<

44、/p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　當時, </b></p><p><b>　　所以原極限為:</b></p><p>　　此極限為錯項級數(shù)的前項和. 并且我們知道的泰勒展開式與這個式子比較接近, 可以用該級數(shù)解決此問題. 即將極限轉(zhuǎn)化為級數(shù)來求解

45、. </p><p><b>　　例3.5求</b></p><p><b>　　解 設</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　利用定積分定義, 得:</p><p><b>　　所以原極限為:</b>

46、</p><p>　　此題為求有限和的極限, 通過恒等變形, 可以轉(zhuǎn)化為定積分的一般求解過程. 即將極限轉(zhuǎn)化為定積分的問題來求解. </p><p><b>　　3.4數(shù)形結(jié)合思想</b></p><p>　　所謂數(shù)形結(jié)合, 就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系, 通過數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想. 華羅庚教授說過: “數(shù)缺形時少直觀, 形少數(shù)時

47、難入微”. 數(shù)與形式客觀事物的不可分離的兩個數(shù)學表象, 它們各自有特定的含義, 但它們之間又相互滲透, 相輔相成, 在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化. </p><p>　　在數(shù)學分析中科學合理地運用數(shù)形結(jié)合思想分析并解決問題時能讓許多問題直觀形象. 例如我們在學習函數(shù)的極限時, 就可以借助圖形來描述當時, 函數(shù)的變化趨勢.這樣就能把抽象的問題直觀化、生動化, 能夠變抽象思維為形象思維, 有助于我們把握數(shù)學問題的本

48、質(zhì). </p><p>　　數(shù)學分析中幾乎所有的概念、定理都有相應地幾何圖形, 而這些幾何圖形能加深我們對數(shù)學概念的認識與理解. 例如一元函數(shù)在點可微的幾何意義是曲線在點處存在不垂直于軸的切線. 二元函數(shù)在點可微的幾何意義是曲面在點處存在切平面. 第一個函數(shù)為我們研究可微的問題提供了直觀的幾何模型, 第二個問題則為全微分的研究提供了幾何模型. 如折線在頂點處不存在切線（如圖3.3）, 所以一元函數(shù)在處不可微;

49、 錐面在頂點處不存在切平面（如圖3.4）因此二元函數(shù)在點處不可微. </p><p>　　例3.6（拉格朗日中值定理的證明）若函數(shù)滿足如下條件: 在閉區(qū)間上連續(xù); 在開區(qū)間內(nèi)可導, 則在內(nèi)至少存在一點, 使得</p><p>　　. （1）</p><p><b>　　證 作輔助函數(shù)</

50、b></p><p>　　顯然, , 且在上滿足羅爾定理的另兩個條件. 故存在, 使</p><p><b>　　,</b></p><p>　　移向后即得到所要證明的（1）式. 拉格朗日中值定理的幾何意義是: 在滿足定理條件的曲線上至少存在一點, 該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線, 我們在證明中引入的輔助函數(shù), 正是曲線與直線

51、AB</p><p>　　之差（如圖3.5）. </p><p>　　因此, 所構(gòu)造的輔助函數(shù)一經(jīng)作出, 定理的證明就是輕而易舉的事了, 由此我們可看到幾何圖形在此定理的證明中起到至關重要的作用.</p><p>　　例3.7 計算二重積分, 其中為由直線, 及所圍成的三角形區(qū)域 (如圖3.6) . </p><p>　　解 當把看作型區(qū)域時

52、, 相應的</p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　在重積分或曲面積分的題中, 我們一旦作出了函數(shù)的圖像, 也就把握了計算的方向或是證明的思路. </p>&

53、lt;p><b>　　3.5數(shù)學建模思想</b></p><p>　　數(shù)學建模是關于部分現(xiàn)實世界的為一定目的而作的抽象、簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu), 它用數(shù)學符號、公式、圖標等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律. 數(shù)學模型是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)表達式, 是對所研究對象的數(shù)學模擬, 是一種理想化合和抽象化的方法, 是科學研究中的一種重要方法. </p><p>　　數(shù)學建

54、模是由對實際問題進行抽象、簡化、建立數(shù)學模型, 求解數(shù)學模型, 解釋驗證步驟組成的過程, 可以說有數(shù)學應用的地方就有數(shù)學建模. 數(shù)學建模的一般步驟為: </p><p>　　(1) 閱讀、審題: 要做到簡縮問題, 刪掉次要語句, 深入理解關鍵字句; 為便于數(shù)據(jù)處理, 最好運用表格（或圖形）處理數(shù)據(jù), 便于尋找數(shù)量關系. </p><p>　　(2) 建模: 將問題簡單化、符號化, 盡量借鑒

55、標準形式, 建立數(shù)學關系式. </p><p>　　(3) 合理求解純數(shù)學問題. </p><p>　　(4) 解釋并回答實際問題. </p><p>　　用框圖可直觀表示為圖3.7</p><p>　　數(shù)學教育的一個重要理念就是培養(yǎng)學生的實際應用能力, 因而加強數(shù)學與實際應用的聯(lián)系已逐漸成為人們關注的熱點. 近年來, 數(shù)學分析教育為了切合社

56、會發(fā)展的實際, 也逐漸與自然科學、社會科學、人文科學等學科逐步接軌, 并在工商管理、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)療衛(wèi)生與計算機技術(shù)等領域發(fā)揮著重要的作用. 在數(shù)學分析中涉及到數(shù)學建模的實際問題還有很多, 例如利用導數(shù)求運動物體的瞬時速度, 以及我們上文的例子中提到過的求曲邊梯形的面積的問題都是從實際問題中抽象出來的. 此外, 還有利用定積分求不規(guī)則平面圖形的面積和不規(guī)則空間圖形的體積, 利用重積分確定物體的質(zhì)量、物體的重心問題等等. </p&g

57、t;<p>　　例3.8 設有一吊橋, 其鐵鏈成拋物線型, 兩端系于相距高度相同的支柱上, 鐵鏈之最低點在懸點下處, 求鐵鏈與支柱所成之角.</p><p>　　解 建立坐標系,則懸點坐標為 (見圖3.8) 鐵鏈方程為 因為</p><p>　　所以鐵鏈在處的切線傾角 鐵鏈在處與支柱的夾角為</p><p>　　在這道題中, 可將鐵鏈與支柱所成之角抽象

58、成求傾斜角的問題, 也可以看成曲線上某點的切線問題, 也就是導數(shù)的模型.</p><p>　　例3.9半徑為的球體沉入水中, 其比重與水相同, 試問將球體從水中撈出需作多少功? </p><p>　　解 如圖3.9所示建立坐標系. 由于球體的密度與水的密度相同, 故將位于的球體抬到水面時不作功, 作功只是從離開水面時才開始, 且面的圓的方程為</p><p><

59、;b>　　.</b></p><p>　　故將的球體提升到位置時所作的微功為（為水的密度）</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故所作的功為</b></p><p>　　這道題是研究變力所作的功的問題, 此外, 研究水壓力、引力等物理問題時都需運動數(shù)

60、學建模的思想, 也就是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題, 在這里就是轉(zhuǎn)化成積分的模型來求解. </p><p><b>　　4 小結(jié)</b></p><p>　　國內(nèi)研究數(shù)學思想方法的教授張奠宙指出: “每一門數(shù)學學科都有其特有的數(shù)學思想, 賴以進行研究 (或?qū)W習) 的導向, 以便掌握其精神實質(zhì). 只有把數(shù)學思想掌握了, 計算才能發(fā)生作用, 形式演繹體系才有靈魂. ” 可見,

61、 思想方法是支撐數(shù)學發(fā)展的靈魂. 進行數(shù)學思想方法教學研究有助于我們推動數(shù)學研究, 對數(shù)學的進一步發(fā)展具有重要意義.</p><p>　　本文首先介紹了數(shù)學思想方法的涵義、研究數(shù)學思想方法的目的和意義, 以便我們更好地了解和掌握數(shù)學分析中的數(shù)學思想方法. 其次敘述了數(shù)學分析中的函數(shù)思想、極限思想以及化歸思想等, 并且每種思想方法都有詳細的例子加以說明. 在研究數(shù)學思想方法的應用時, 本文一共列舉了9個例子來進行說

62、明. </p><p>　　此外, 數(shù)學分析中還蘊含著諸多數(shù)學思想, 如類比思想、整體思想以及分類討論思想等等.這些思想方法既是聯(lián)系各類數(shù)學知識的紐帶又為人們提供了學習和運用數(shù)學知識的思維與策略. 因此在中小學數(shù)學教學中注重數(shù)學思想方法的教學可以幫助學生形成較好的知識結(jié)構(gòu), 發(fā)展學生的創(chuàng)造思維, 培養(yǎng)學生的學習興趣. 因此, 數(shù)學分析中數(shù)學思想方法的教學研究將對中小學的教育教學產(chǎn)生深遠的影響. </p>

63、;<p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　葛仁福. 略談數(shù)學分析中類比化歸思想 [J]. 連云港教育學院學報, 1995, 1: 39~42.</p><p>　　盧潔. 函數(shù)級數(shù)展開的辯證數(shù)學思想 [J]. 廣東職業(yè)技術(shù)師范學院學報, 2000, 22(5): 22~26. </p><p>　　趙麗棉. 試析

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65、數(shù)學系. 數(shù)學分析(上冊) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　葉立軍, 數(shù)學方法論 [M]. 杭州: 浙江大學出版社, 2008</p><p>　　徐利治. 淺談數(shù)學方法論 [M]. 沈陽: 遼寧出版社, 1980.</p><p>　　徐利治. 數(shù)學方法論選講 [M]. 武漢: 華中理工大學出版社, 1983.</p>

66、;<p>　　解恩澤, 徐本順. 數(shù)學思想方法 [M] . 濟南 : 山東教育出版社, 1989.</p><p>　　劉兼, 21世紀中國數(shù)學教育研究展望 [M] . 北京: 北京師范大學出版社, 1995.</p><p>　　于艷紅. 數(shù)學思想方法及其在微積分教學中的運用研究 [D]. 大連: 遼寧師范大學, 2010.</p><p>　　李榮

67、玲. 師范?？茖W?！督馕鰩缀巍返臄?shù)學思想方法教學實驗研究 [D]. 昆明: 云南師范大學, 2007.</p><p>　　J. Jurgen. Limits and Continuity of Functions [M]. Springer Berlin Heidelberg, 2006.</p><p>　　Samuel S. McNeary. Introduction to comp