畢業(yè)論文一類非線性粘彈性方程解的整體存在性

1、<p>　　學(xué)校代碼：11517</p><p>　　學(xué) 號(hào)：200911002104</p><p>　　HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING</p><p>　　______________________________________________________________________________<

2、;/p><p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 </p><p>　　學(xué)生姓名 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué)0941班 </p><

3、;p>　　學(xué) 號(hào) 200911002104 </p><p>　　系 （部） 理學(xué)院 </p><p>　　指導(dǎo)教師(職稱) （講師） </p><p>　　完成時(shí)間 2013年 5月20日

4、 </p><p>　　河南工程學(xué)院論文版權(quán)使用授權(quán)書</p><p>　　本人完全了解河南工程學(xué)院關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意如下各項(xiàng)內(nèi)容：按照學(xué)校要求提交論文的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存論文的印刷本和電子版，并采用影印、縮印、掃描、數(shù)字化或其它手段保存論文；學(xué)校有權(quán)提供目錄檢索以及提供本論文全文或者部分的閱覽服務(wù)；學(xué)校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國家有關(guān)部門或者機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件

5、和電子版；在不以贏利為目的的前提下，學(xué)校可以適當(dāng)復(fù)制論文的部分或全部內(nèi)容用于學(xué)術(shù)活動(dòng)。</p><p><b>　　論文作者簽名：</b></p><p>　　年 月 日 </p><p>　　河南工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)原創(chuàng)性聲明</p><p>　　本人鄭重聲明：所呈交的論文，是本人在指導(dǎo)教師指導(dǎo)下，進(jìn)行研

6、究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或者沒有公開發(fā)表的作品的內(nèi)容。對(duì)本論文所涉及的研究工作做出貢獻(xiàn)的其他個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。</p><p>　　論文作者簽名： </p><p>　　年 月 日</p><p><b>　

7、　河南工程學(xué)院</b></p><p>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書</p><p>　　題目 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 </p><p>　　專業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 學(xué)號(hào) 200911002104 姓名 </p><p>　　主要內(nèi)容：Cavalcanti M M,Domi

8、ngos Cavalcanti V N ,Ferrira J已經(jīng)研究過方程</p><p>　　， （1.1）</p><p><b>　　具有初邊值，.</b></p><p>　　他們得出松弛函數(shù)以指數(shù)形式衰減時(shí)，得到了能量的一致衰減。</p><p>　　Tater N,Messaoudi S A研

9、究過如下方程</p><p>　　, （1.2）</p><p>　　初邊值條件同（1.1），用改進(jìn)的位勢井方法得出了整體解的存在性且能量以指數(shù)形式衰減。</p><p><b>　　吳舜堂研究了方程</b></p><p>　　， （1.3）</p><p><b>

10、　　劉文俊研究了方程</b></p><p>　　， （1.4）</p><p>　　受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文擬研究如下方程</p><p><b>　?。?.5）</b></p><p><b>　　具有初邊值 </b></p><p>　　以Sobo

11、lev空間基礎(chǔ)知識(shí)為工具，利用衰減估計(jì)方法對(duì)非線性粘彈性方程解的存在性進(jìn)行了研究。</p><p>　　基本要求：扎實(shí)的英語和數(shù)學(xué)功底，非常熟悉數(shù)學(xué)分析的知識(shí)，熟練掌握word,maple 等數(shù)學(xué)工具。</p><p><b>　　主要參考資料：</b></p><p>　　[1]Cavalcanti M M,Domingos Cavalcan

12、ti V N ,Ferrira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoalastic equation with strong damping [M].2001 .</p><p>　　[2]Tater N,Messaoudi S A. Exponential and polynomial decay for a quasilinear visco

13、elastic equation[M]Nonlinear Analysis,2008(68)785-793</p><p>　　[3]韓小森，王明新，帶非線性阻尼的粘彈方程解的整體存在性和一致衰減性，[M].2009</p><p>　　[4]Shuntang Wu.General decay of solutions for a viscoelastic equation with &l

14、t;/p><p>　　nonlinear damping and source terms [M].2011.</p><p>　　[5]Xiaosen Han,Mingxin Wang,General decay of energy for a viscoelastic equat ion with nonlinear damping [M].2009</p><p>

15、;　　[6]Wenjun Liu. Exponential or polynomial decay of solutions to a viscoelastic equation with nonlinear localized damping [M].2010.</p><p>　　[7]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，1979.</p><p>　　[8]張全德，非

16、線性波動(dòng)方程整體解的存在性與唯一性[J].陜西師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),20(1992)81—82.</p><p>　　[9]Messaoudi A,Berrimi S. Existence and decay of solutions of a viscoalastic equ ation with a nonlinear source[M].Nonlinear Analysis,2006,2314-2331&

17、lt;/p><p>　　[10]Tater N,Messaoudi S A. Global existence and uniform stability of solutions for a quasilinear viscoelastic problem. [M].</p><p>　　[11]苗長興 非線性波動(dòng)方程的現(xiàn)代方法[M].2005.</p><p>　　

18、[12]Lions J L,Strauss W A. Some nonlinear evolution equations[M]. 1965(01).</p><p>　　[13]Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differe ntial Equations [M].1983.</p><p&

19、gt;　　[14]谷超豪，李大潛，沈瑋熙，應(yīng)用偏微分方程[M].高等教育出版社，1993.</p><p>　　[15]陸啟韶，常微分方程的定性方法和分叉[M].北京航天大學(xué)出版社，1989.</p><p>　　[16]Tater N,Messaoudi S A.Global Existence and Asymptotic Behavior for a Nonlinear Visco

20、elastic Problem[M].</p><p>　　[17]張芷芬，丁同仁，黃文灶，董鎮(zhèn)喜，微分方程定性理論[M].科學(xué)出版社，1985.</p><p>　　完 成 期 限： </p><p>　　指導(dǎo)教師簽名： </p><p>　　專業(yè)負(fù)責(zé)人簽名：

21、 </p><p>　　年 月 日 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　中文摘要 …………………………………………………………I</p><p>　　英文摘要…………………………………………………………II</p>

22、<p>　　1 序論……………………………………………………………1</p><p>　　1.1引言……………………………………………………1</p><p>　　1.2 粘彈性方程的發(fā)展概述…………………………… 1</p><p>　　2 假設(shè)和主要結(jié)果………………………………………………4</p><p>　　2.1假設(shè) ……

23、……………………………………………4</p><p>　　2.2主要結(jié)果 ……………………………………………4</p><p>　　3 預(yù)備知識(shí)………………………………………………………5</p><p>　　3.1基本定義 ……………………………………………5</p><p>　　3.2一系列不等式 ………………………………………5<

24、/p><p>　　3.3引理 …………………………………………………6</p><p>　　4 主要結(jié)論的證明………………………………………………8</p><p>　　4.1解的整體存在性 ……………………………………8</p><p>　　4.2能量的一致衰減性…………………………………13</p><p>　　致謝

25、……………………………………………………………19</p><p>　　參考文獻(xiàn) ………………………………………………………20</p><p>　　一類非線性粘彈性方程解的整體存在性</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　在本文中，研究一類非線性粘彈性方程解的整體存在性和以指數(shù)形式的衰減性。&l

26、t;/p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　文章共分為四小節(jié)：</b></p><p>　　第一節(jié)，簡述研究一類非線性粘彈性方程的意義和近年來國際研究的現(xiàn)狀，且基于本文的假設(shè)條件上研究這個(gè)問題。</p><p>　　第二節(jié)，說明Sobolev嵌入定理和多個(gè)與本文有關(guān)的不等式方

27、程條件。</p><p>　　第三節(jié)，運(yùn)用Faedo-Galerkin方法證明方程的整體存在性。</p><p>　　第四節(jié)，我們采取下述的方法證明方程的衰減性。</p><p>　　在此中，為正常數(shù)，引入兩個(gè)泛函：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　廣義能量和泛函在特定

28、意義下是等價(jià)的，為了得到的指數(shù)衰減，只需證明滿足指數(shù)衰減.</p><p>　　關(guān)鍵詞 非線性粘彈性方程，F(xiàn)aedo-Galerkin方法，存在性，唯一性。</p><p>　　EXISTENCE OF A CLASS OF NONLINEAR WAVE EQUATIONS</p><p><b>　　Abstact</b></p>

29、;<p>　　In this paper, we study a class of nonlinear viscoelastic equations the global existence and decay.</p><p><b>　　， </b></p><p>　　The article is divided into four section

30、s：</p><p>　　In the first section，we briefly study a class of nonlinear viscoelastic equations significance and the status of international research in recent years，It based on this assumption and study this

31、issue。</p><p>　　In the second section，explain embedding theorem of SobolevAnd a plurality of documents related to inequality equation conditions.</p><p>　　In the third section，we use Faedo-Galer

32、kin to prove the global existence of the equation。</p><p>　　In the fourth section，we show that the equation of attenuation。</p><p>　　In this,is a positive constant，and there is</p><p&

33、gt;　　Keywords Nonlinear viscoelastic equations，F(xiàn)aedo-Galerkin way，Existence，Unique。</p><p><b>　　1 緒論</b></p><p><b>　　1.1 引言</b></p><p>　　作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在18世紀(jì)最早的系

34、統(tǒng)的三個(gè)基本的數(shù)學(xué)物理偏微分方程分別為：波動(dòng)方程，熱傳導(dǎo)方程和調(diào)和方程，所運(yùn)用的方法是經(jīng)典分析。進(jìn)入了二十世紀(jì)以后，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和其他數(shù)學(xué)分支不斷發(fā)展的支撐下，對(duì)偏微分方程的研究已經(jīng)突破了經(jīng)典分析的局限，而在更一般的條件下討論問題成為可能且十分現(xiàn)實(shí)了。事實(shí)說明，物理學(xué)，生物學(xué)甚至金融學(xué)等眾多不同的領(lǐng)域中運(yùn)用的基本規(guī)律，都可以通過微分方程進(jìn)行研究和證明。這不但能夠了解現(xiàn)象的本質(zhì)，特性特征，同時(shí)可以在此基礎(chǔ)上作出新的預(yù)測。將它運(yùn)用到不同的

35、社會(huì)領(lǐng)域中，取得了巨大的科學(xué)成就和社會(huì)效益。</p><p>　　伴隨著科學(xué)技術(shù)水平的不斷發(fā)展，各式各樣的非線性問題引起人們?nèi)找嫔钋械年P(guān)注，源自于應(yīng)用數(shù)學(xué)，物理學(xué)，等各種應(yīng)用學(xué)科中的非線性偏微分方程初邊值問題，是目前最受關(guān)注的非線性偏微分方程。</p><p>　　固體力學(xué)有很多不同的研究分類，粘彈性理論就是其中之一。有多種類型的工程材料，如高聚合材料混凝土、某種生物組織以及在高速運(yùn)動(dòng)下發(fā)

36、生變形的金屬材料，不僅有彈性特質(zhì)，而且還擁有粘性特征，這種兼?zhèn)鋬烧卟煌攸c(diǎn)的材料稱為粘彈性體。運(yùn)用彈性力學(xué)的辦法來研究粘彈性體并不能確切的反映真實(shí)情況，這是因?yàn)樵谕饬ψ饔孟?，粘彈性體會(huì)隨著時(shí)間的變化而產(chǎn)生彈性變形，而且變形還會(huì)不斷的變化。彈性力學(xué)與粘彈性理論的主要區(qū)別在于應(yīng)變－應(yīng)力不同關(guān)系。所以，粘彈性理論的重點(diǎn)研究對(duì)象就是粘彈性體的應(yīng)變－應(yīng)力的關(guān)系。</p><p>　　近些年來，在理論（包括斷裂理論，本構(gòu)理論

37、）和應(yīng)用上，非線性粘彈性的研究都取得了重大的進(jìn)展。人們借助于非線性模型來充分研究年彈性固體的行為，隨著研究廣度和研究深度的進(jìn)步，不少學(xué)者推導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)方程是偏微分-積分方程，用經(jīng)典的Galerkin方法可把它簡化為非線性積分-微分方程。在粘彈性力學(xué)方程的理論和應(yīng)用取得不斷進(jìn)展的情況下，粘彈性方程初邊植問題成為近些年來在數(shù)學(xué)領(lǐng)域討論的熱門課題。</p><p>　　這其中一個(gè)重點(diǎn)的研究方向就是含有記憶項(xiàng)的粘彈性方程。

38、</p><p>　　1.2 粘彈性方程的發(fā)展概述</p><p>　　事實(shí)上，Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J等人在文獻(xiàn)[1]已經(jīng)研究過帶強(qiáng)阻尼的相關(guān)方程</p><p><b>　?。?.1）</b></p><p>　　與本文研究的方程具有相同的初邊

39、值</p><p>　　他們運(yùn)用Galerkin逼近方法結(jié)合能量估計(jì)建立了解的存在性、唯一性等結(jié)果，假設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù).</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　為證明解的整體存在性時(shí)考慮，為得到能量的衰減速率時(shí)設(shè)定.在假定松弛函數(shù)以指數(shù)形式衰減時(shí)，得到了能量的一致衰減。</p><p>　　Tater

40、 N,Messaoudi S A在文獻(xiàn)[2]研究過如下問題方程</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　初邊值條件與（1.1）相同。用改進(jìn)的位勢井和全新泛函方法得出了整體解的存在性且能量以指數(shù)形式的一致衰減性。</p><p>　　將問題轉(zhuǎn)化到帶有非線性阻尼的情況下，韓小森和王明新在文獻(xiàn)[3]研究過</p>

41、;<p><b>　　(1.3)</b></p><p>　　在相同的初值條件下，設(shè)定</p><p>　　，，得到能量的一致衰減性.</p><p>　　吳舜堂等人在文獻(xiàn)[4]研究過方程</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　是在

42、初邊值與上述相同的情況下，將韓小森和王明新的論證延伸到含有的情況。</p><p>　　而當(dāng)以上的問題去掉色散項(xiàng)后，同樣引起了廣泛關(guān)注，相關(guān)的方程獲得研究，得出一批有關(guān)解的存在性、正則性、唯一性與穩(wěn)定性等結(jié)果。</p><p>　　例如韓小森和王明新在文獻(xiàn)[5]還研究過如下方程</p><p><b>　　(1.5)</b></p>

43、<p>　　在相同的初值條件下，設(shè)定</p><p><b>　　,</b></p><p>　　本文分別用Galerkin方法和擾動(dòng)能量方法證明此問題解的整體存在性和能量的一致衰減性.</p><p>　　劉文俊在文獻(xiàn)[6]研究了方程</p><p><b>　?。?.6）</b>&

44、lt;/p><p>　　其中在有界區(qū)域中，是具有光滑的邊界,,,是一個(gè)指數(shù)衰減記憶項(xiàng)的正函數(shù)。</p><p>　　存在正常數(shù)，在條件, ,可得出能量的指數(shù)衰減。</p><p>　　受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本課題擬研究如下方程</p><p>　　結(jié)合Young和Gronwall等多種不等式，使用Faedo-Galerkin方法，即在適當(dāng)?shù)腟ob

45、olev空間中選取適當(dāng)基函數(shù)，在由任意有限個(gè)基函數(shù)所張成的有限維空間中求解逼近問題，用常微分方程組的局部存在性定理得到逼近問題解的局部存在性。然后得到近似問題解的緊性估計(jì)，即可保證近似問題解的整體存在性。再選取近似問題解的一個(gè)子序列，使其收斂于原問題的解，即驗(yàn)證近似問題解子序列的極限滿足方程和初值條件。本課題與（1.6）題目的區(qū)別是將改為。其中的計(jì)算方法參考方程（1.1）-（1.5）.結(jié)合（1.6）的衰減估計(jì)得出（1.7）的衰減估計(jì)，預(yù)

46、期結(jié)果是能量以指數(shù)形式衰減.</p><p><b>　　2 假設(shè)和主要結(jié)果</b></p><p><b>　　2.1 假設(shè)</b></p><p>　　當(dāng)且假設(shè)滿足，如果時(shí)，. 　　</p><p>　　對(duì)于核函數(shù)，假設(shè)它滿足：</p><p><b>　　是

47、正函數(shù)且滿足</b></p><p>　　存在正常數(shù)使得： </p><p><b>　　2.2 主要結(jié)果</b></p><p>　　在以上假設(shè)的前提下，即設(shè)，假設(shè)（X1），（X2）成立，則問題必有唯一的弱解，滿足</p><p><b>　　(2.1)</b

48、></p><p>　　并且來說，假設(shè)是有界且為正的，那么對(duì)于任意的，存在和且二者都為正常數(shù)，使得能量泛函數(shù)滿足衰減估計(jì)</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p><b>　　3 預(yù)備知識(shí)</b></p><p><b>　　3.1 基本定義</b>

49、</p><p>　　, (3.1)</p><p>　　, (3.2)</p><p>　　當(dāng)時(shí)，，為在上的本質(zhì)上界，記為，定義：</p><p>　　.

50、 (3.3)</p><p>　　3.2 重要的不等式</p><p>　　Minkowski不等式：如果則；</p><p>　　Hlder不等式：設(shè)若則且有 ；</p><p>　　Young不等式1：設(shè)且滿足．若 ，則有在上幾乎處處存在，且；</p><p>　　Young不等式2：，則有；<

51、;/p><p>　　帶 的Young不等式：，則．特別地，當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)椋◣У腃auchy不等式）</p><p>　　Gronwall不等式（積分形式）</p><p>　　設(shè)是[0,T]上的非負(fù)可積函數(shù)，,</p><p><b>　　對(duì)某個(gè)成立，則；</b></p><p>　?。?）如果，，則

52、. </p><p>　　Gronwall不等式（微分形式）</p><p>　　是非負(fù)的，且為絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，在的區(qū)間上，且對(duì)任意情況下的滿足不等式 ，</p><p>　　在此和是非負(fù)的，且為可積函數(shù)，在的區(qū)間上，則</p><p>　　特殊情況下，在的區(qū)間上符合條件</p><p&g

53、t;　　，則恒有. </p><p><b>　　3.3 引理</b></p><p>　　引理1（Sobolev嵌入定理）設(shè)為中的有界區(qū)域，其邊界是光滑的，如果，那么</p><p>　　（i） </p>

54、<p>　　并有 ，</p><p><b>　　其中為常數(shù)．</b></p><p>　?。╥i） ，</p><p>　　并有 ，</p><p>&

55、lt;b>　　其中為常數(shù)．</b></p><p>　　引理2（Aubin引理）設(shè)是三個(gè)Banach空間，其中是自反的，且有連續(xù)的嵌入關(guān)系，到的嵌入映射是緊的．記</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　則緊嵌入.</b></p><p>　　引理3　設(shè)

56、是Hilbert空間或Banach空間，是的對(duì)偶空間，.如果</p><p><b>　　內(nèi)，</b></p><p><b>　　內(nèi)，</b></p><p><b>　　則在中．</b></p><p>　　引理４（Ｇreen公式）</p><p>

57、<b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　4 主要結(jié)論的證明</b></p><p>　　4.1 解的整體存在性</p><p>　　令為的一個(gè)完備正交基，且是一個(gè)特征函數(shù)，其具備負(fù)Laplace含有帶齊次Dirichlet邊界條件，即：</p><p><b>　　,,<

58、/b></p><p>　　經(jīng)過規(guī)范化后，存在，假設(shè)m是任意正整數(shù)，,</p><p>　　并且記表示對(duì)t求一階導(dǎo),表示對(duì)t求二階導(dǎo).</p><p>　　再由（1.1）兩邊同時(shí)乘以，知滿足：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　且存在有：，<

59、;/b></p><p><b>　　則以上化簡成：</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中， .</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，在中，

60、. </p><p>　　因?yàn)榧僭O(shè)中是一個(gè)有意義的非線性項(xiàng).</p><p>　　根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程理論，我們可知存在唯一的解在區(qū)間上，其中大于零.則求解方程，并由第一估計(jì)得，對(duì)，這個(gè)近似解可以延拓到上.</p><p><b>　　現(xiàn)在驗(yàn)證估計(jì)一.</b></p><p>　　方程兩邊分別乘以，并且關(guān)于求和，得到

61、：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　可化為：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　繼而得：</b></p><p><b>　　.</b&g

62、t;</p><p><b>　　通過計(jì)算得：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　記作符號(hào)：,</b></p><p>　　則聯(lián)系上面的計(jì)算可得：</p><p><b>　　.</b>&l

63、t;/p><p>　　在（0，t)區(qū)間上積分，并且運(yùn)用假設(shè)條件，該式可化為：</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　又由,</b&

64、gt;</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，是與及有關(guān)的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計(jì)：</p><p><b>　　,</b></p><p>　　在此，是與，及L有關(guān)的正常數(shù).</p><p>　　從而有下列結(jié)果： </p&g

65、t;<p><b>　　現(xiàn)在驗(yàn)證估計(jì)二.</b></p><p>　　方程兩邊分別乘以，并且關(guān)于k求和，得到：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　可化為：</b></p><p><b>　　.</b><

66、;/p><p><b>　　通過計(jì)算可得：</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b>

67、</p><p><b>　　計(jì)算得：</b></p><p>　　在（0，t)區(qū)間上積分，并且運(yùn)用假設(shè)條件，該式可化為：</p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此，是及有關(guān)聯(lián)的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計(jì)：</p><p><b>　　

68、,</b></p><p>　　在此，是與，及有關(guān)聯(lián)的正常數(shù).</p><p><b>　　.</b></p><p>　　綜上所述，根據(jù)以上方程解得，存在子列，使得：</p><p><b>　　下面處理非線性項(xiàng).</b></p><p><b>　　

69、意味著．</b></p><p>　　而（3) 進(jìn)一步而有：．</p><p>　　利用Aubin引理得：</p><p><b>　　相當(dāng)于</b></p><p><b>　　，這意味著</b></p><p><b>　　下面驗(yàn)證初值

70、，已知</b></p><p><b>　　在中，，中，</b></p><p><b>　　且在中，</b></p><p>　　其中表示與的對(duì)偶積．注意到，上式可寫為</p><p>　　因此可知又，故對(duì)任意有．

71、 </p><p><b>　　因此在中，．</b></p><p>　　4.2 能量的一致衰減性</p><p>　　在本文中，我們將證明此方程的解以指數(shù)形式衰減的定理.</p><p><b>　　設(shè)是方程的解，</b></p><p>　　由此可定義

72、廣義能量方程滿足，</p><p><b>　　其中為：</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中.</b></p><p><b>　　并由此可知，</b></p><p><b>

73、;　　.</b></p><p><b>　　引入兩個(gè)泛函數(shù)，</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　并且設(shè)：</b></p><p><

74、;b>　　.</b></p><p>　　其中和是未知的正整數(shù).</p><p>　　本文先證明下述引理，由此說明泛函數(shù)和廣義能量在下述問題的意義中是等價(jià)的.</p><p>　　引理：設(shè)是上述方程得到的解，則存在兩個(gè)正的常數(shù)項(xiàng)，使得其滿足下述不等式： .</p><p><b>　　證 由的定義</b>

75、;</p><p>　　運(yùn)用Young不等式，得到：</p><p><b>　　由的定義，</b></p><p>　　運(yùn)用Young不等式，易得：</p><p>　　運(yùn)用上述的公式，將選取適當(dāng)大的數(shù)，將選取適當(dāng)小的數(shù)，則一定會(huì)存在符合方程兩邊要求的和.</p><p>　　我們?yōu)榱俗C明的衰減

76、性，只需要將證明出其滿足指數(shù)衰減。</p><p>　　因此，我們先計(jì)算的導(dǎo)數(shù).</p><p><b>　　.</b></p><p>　　上式右端的第三項(xiàng)可計(jì)算得：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　我們可以根據(jù)Young不等式，得到：</

77、p><p><b>　　.</b></p><p>　　繼續(xù)根據(jù)Young不等式，可得式子最后一項(xiàng)：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　綜上所述，</b></p><p><b>　　.</b><

78、/p><p><b>　　將，可得：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　下面我們來根據(jù)的定義，直接估計(jì)可得：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，首先估計(jì)式子右端第一項(xiàng)：</p>

79、<p><b>　　.</b></p><p><b>　　估計(jì)第二項(xiàng)：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　估計(jì)第三項(xiàng)：</b></p><p><b>　　.</b></p&

80、gt;<p><b>　　估計(jì)第四項(xiàng)：</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中，</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　綜上所述，</b>&

81、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　估計(jì)第五項(xiàng)：</b></p><p>　　通過Sovolev嵌入定理,且，可以得出：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　繼而得：</b&

82、gt;</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　估計(jì)第六項(xiàng)：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　綜上所述，</b></p><p><b>　　且使得：

83、</b></p><p>　　整理以上，我們可得：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　在此，我們讓,，則存在足夠小的，使得：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　同理：</b><

84、/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　而對(duì)于任意存在的和，我們可以找出足夠大的，使其滿足.</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，在假設(shè)的條件下，對(duì)于些，</p&g

85、t;<p><b>　　可得：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由上述可知，存在正常數(shù)，可得， ，</p><p>　　利用定理可推知， .</p><p>　　最后將上述不等式積分，</p><p><b>　　得

86、到：</b></p><p><b>　　，.</b></p><p>　　因此也就證明了衰減性。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　首先我把這篇論文獻(xiàn)給我親愛的的父母親，感謝他們給了我生命，給了我一個(gè)完整的家庭，給了我深造的機(jī)會(huì)，他們教會(huì)我踏實(shí)做人本分做

87、事一步一個(gè)腳印，也感謝他們給予我無保留的的愛和奉獻(xiàn)的精神，事實(shí)證明，這足以受用終生。我要感謝我大學(xué)四年來的所有的老師，他們的兢兢業(yè)業(yè)的教誨共同鑄就了這篇論文，沒有他們孜孜矻矻的教化，難以想象這一切是如何開始又如何結(jié)尾的，尤其感謝我們的 老師，在我寫論文之伊始，李老師就傾注了大量心血，指點(diǎn)我如何選材，如何查詢必要的資料，如何深入淺出地分析案例，李老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、誨人不倦的精神、淵博的知識(shí)對(duì)我產(chǎn)生了無法估量的影響，在這里我要祝

88、福李老師，身體健康，萬事通達(dá)。本文是對(duì)我大學(xué)四年的學(xué)習(xí)成果的總結(jié)，大家的閱讀是我至上的榮耀，如果大家能提出一些意見和建議，我更是求之不得，感激不盡。時(shí)光飛逝，在這四年里我經(jīng)歷了許許多多難以忘懷的時(shí)刻，在這生命最美麗的四年里和將近四年的學(xué)習(xí)生活中，我要感謝我的一些同學(xué)和朋友們，你們的支持是我前進(jìn)的動(dòng)力，你們的幫助更是對(duì)我的激勵(lì)，感謝在最美麗的年華遇到所有的你們。 最后，感謝自己，曾經(jīng)的努力，造就一個(gè)更加自信，更加完美的自己，告訴自己，路&

89、lt;/p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoalastic equation with strong damping [M].2001 .&l

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