線性方程組的求解方法及應用[畢業(yè)論文]

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設計）</p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　線性方程組的求解方法及應用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學 </p>

2、;<p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：方程的求解一直是數(shù)學研究的重要問題之一，而線性方程組的求解也是其中最簡單、最重要

3、的方面。線性方程解的研究之所以成為中心問題，是因為在實踐中直接或間接地提出了這類問題，同時線性方程組在數(shù)學的許多分支和領域內(nèi)都有廣泛的應用，因此熟悉其求解方法就顯得尤為重要。本文首先介紹了線性方程組的背景及研究意義，其次介紹了線性方程組、解、解的結(jié)構(gòu)的概念，同時介紹了線性方程組有解的五個定理，然后列舉了線性方程組的求解方法：初等變換、回代法、Gauss消元法以及克萊姆法則。最后從幾何方面、空間向量、矩陣、廣義逆矩陣、多項式理論等方面討論

4、了線性方程組理論的應用。</p><p>　　關鍵詞：線性方程組；解；解的結(jié)構(gòu)；矩陣</p><p>　　The solving method and applications of linear equations </p><p>　　Abstract：Solving equation is one of the important problems in th

5、eoretical mathematical research, and the simplest and most important topic is solving linear equations. The reason of solving the linear equations becomes the center problem in mathematical research is that it directly o

6、r indirectly puts forward this kind of problem in practice. Linear equations have wide range of application in many branches of mathematics, therefore, it is especially important to be familiar with solving Linear eq<

7、/p><p>　　Key words: linear equations; solution; structure of solution; matrix</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 緒 論1</b></p><p>　　1.1問題的背景及研究意義

8、1</p><p>　　2 線性方程組的解及解的結(jié)構(gòu)3</p><p>　　2.1 線性方程組的概念3</p><p>　　2.2 線性方程組解的概念.4</p><p>　　2.3 線性方程組解的結(jié)構(gòu)的概念.4</p><p>　　3 線性方程組的求解方法6</p><p>　　

9、3.1用初等變換法求解線性方程組6</p><p>　　3.2 用回代法求解線性方程組8</p><p>　　3.3用Gauss消元法求解線性方程組9</p><p>　　3.4 用克萊姆法則求解線性方程組13</p><p>　　4 線性方程組的應用.........................................

10、......................15</p><p>　　4.1 線性方程組在幾何方面的應用..............................................15</p><p>　　4.2線性方程組在空間向量中的應用............................................15</p><p>　

11、　4.3 線性方程組在矩陣中的應用................................................16</p><p>　　4.4線性方程組在廣義逆矩陣中的應用..........................................17</p><p>　　4.5線性方程組在多項式理論中的應用...........................

12、...............18</p><p>　　4.6線性方程組在處理矩陣秩問題中的應用......................................18</p><p>　　5 結(jié)論............................................................................21</p><

13、;p>　　致 謝............................................................................22</p><p><b>　　參考文獻23</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 問題的背景及

14、研究意義[1][2] </p><p>　　線性代數(shù)是代數(shù)學科的一個分支,代數(shù)學的起源早在中世紀。</p><p>　　在公元820年左右，被冠以 “代數(shù)學之父”的稱號的阿拉伯數(shù)學家花拉子米編著了《代數(shù)學》一書這就是Algebra一詞的最初來源，書中開始探討了數(shù)學問題的一般解法，嘗試用代數(shù)方法處理線性方程組，同時引進了移項、合并同類項等代數(shù)運算。18世紀，代數(shù)學的主題仍是代數(shù)方程，其中代數(shù)

15、學發(fā)展的一個方向就是方程組理論。首先是線性方程組與行列式理論，萊布尼茨的行列式及其在解線性方程組中的應用思想得到了發(fā)展，瑞士數(shù)學家克萊姆提出了著名的“克萊姆法則”，即由系數(shù)行列式來確定線性方程組解的表達式法則；接著范得蒙行列式、拉普拉斯展開等重要結(jié)果被相繼提出。而最古老的線性問題是線性方程組的解法，在中國古代的數(shù)學著作《九章算術(shù)》中已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實質(zhì)上相當于對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換、消去未知量的方法。在西

16、方，線性方程組的研究是在17世紀后期由萊布尼茲開創(chuàng)的。他曾研究含兩個未知量的三個線性方程組成的方程組，證明了當方程組的行列式等于零時方程有解，此研究無疑促成了行列式和矩陣理論的發(fā)展。大約在1729年，英國數(shù)學家馬克勞林開始用行列式的方法解含2到4個未知量的線性方程組，得到了克萊姆法則的結(jié)</p><p>　　眾所周知，在數(shù)學上要直接得出問題結(jié)果是相當不易的, 但是根據(jù)條件建立方程組來求得解就簡單得多。由此可見，線

17、性方程組對解決實際生活中的科學技術(shù)問題具有十分重要的意義。線性方程組是處理線性問題的思想方法。現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應用于工程技術(shù)中。它與向量組、矩陣、線性映射存在著密不可分的關系，與矩陣、向量組相關的許多重要結(jié)論都是線性方程組有關結(jié)論的應用和推廣。如：一個向量是否可以由一個向量組線性表示、表示形式是否唯一往往與非齊次線性方程組是否有解、有唯一解還是無窮多解是等價的；一個向量組是否線性相關與齊次線性方程組是否有非零解是等價的。從而可見，它由向量組

18、極大線性無關組引入，反映了向量組的線性相關程度，并推廣到了矩陣，乃至線性映射。矩陣的秩的典型應用就是討論線性方程組的基礎解系個數(shù)。至于矩陣乘法最早也是從線性方程組中發(fā)展而來，而矩陣運算這種運算方式的產(chǎn)生就是由于應用（線性方程組），更重要的是這種運算方式使得我們處理問題變得非常容易。至于伴隨矩陣，也是線性方程組研究的產(chǎn)物?？梢?，線性方程組帶我們走出了處理科學應用中所遇到的一些麻煩，為迅速得出正確的結(jié)論指明了前進的方向。</p>

19、<p>　　2 線性方程組的解及解的結(jié)構(gòu)</p><p>　　2.1 線性方程組的概念[3]</p><p>　　對于給定的方程組，其中是()階矩陣，則</p><p>　　(1)且為非奇異矩陣時此方程組稱為階線性方程組；</p><p>　　(2)時，此方程組稱為“超定方程組”；</p><p>　

20、　(3)時，此方程組稱為“欠定方程組”。</p><p>　　線性方程組即一次方程組。線性方程組有一般形式、矩陣形式、向量形式。含個方程，個未知量的線性方程組的一般形式為：</p><p>　　表示未知量，稱系數(shù)項，稱常數(shù)項。線性方程組可分為齊次線性方程組和非齊次線性方程組。當時，線性方程組為齊次線性方程組，即：</p><p>　?。?）而當時，線性方程組為非齊次

21、線性方程組，即：</p><p><b>　?。?） </b></p><p>　　線性方程組也可以用矩陣表示。型線性方程組可表示為，稱為線性方程組的系數(shù)矩陣；為線性方程組的未知量； 為線性方程組的增廣矩陣。 線性方程組也可以用向量表示。設矩陣是線性方程組的系數(shù)矩陣，用記的第列，即，則型線性方程組可表示為</p><p>　　2.2

22、 線性方程組解的概念</p><p>　　如果維列向量使含有個未知量的線性方程組組成恒等式，則就叫做的一個解。如果線性方程組有無窮多個解，且這些解可以通過自由未知量（簡化行階梯形矩陣中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其余的未知量取為自由未知量）表達主變量（即非自由未知量），則稱此解為該方程的通解(或一般解)，當通解中的各任意常數(shù)都取特定值時所得到的解,稱為方程的特解。就一般的齊次線性方程組而言, 解分為

23、零解和非零解。其實,非零解還可以再行分類:如果非零解的每個分量都不等于零,則稱之為完全非零解,否則稱為含零非零解。如果完全非零解的每個分量都大于零則稱之為正解；如果含零非零解的每個非零分量都大于零則稱之為半正解。非齊次線性方程組的解都是非零解。</p><p>　　2.2 線性方程組解的結(jié)構(gòu)的概念</p><p>　　2.2.1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)[4][5][6]</p&g

24、t;<p>　　若，,則全體向量構(gòu)成 的一個子空間，它可以由個線性無關的解向量生成，叫做這個方程組的解空間。時，解空間為零空間。而線性子空間的一個向量組稱為該子空間的一個基。如果齊次線性方程組的基礎解系只含有一個解向量,則稱之為極小齊次線性方程組,簡稱為極小方程組。此時,必要且只要秩,是的列數(shù)。設，上元齊次線性方程組 ： </p><p>　?。?） 有非零解時，它的解空間的一個基（4）稱為齊

25、次方程組（3）的一個基礎解系。若向量組（4）線性無關，方程組（3）的任一解向量均可由（4）線性表示。其中表示數(shù)域上的秩為的矩陣。</p><p>　　2.2.2 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)</p><p>　　設,,稱齊次線性方程組為非齊次線性方程組的導出組。非齊次線性方程組的兩個解的差是它的導出組的一個解；非齊次線性方程組的全部解等于它的一個特解與其導出組的全部解的和。</p>

26、;<p>　　2.2.3 線性方程組有解的五個基本定理[7][8]</p><p>　　設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的列向量為,則它可寫成向量形式 （5）</p><p>　　取它的部分項作為齊次線性方程組</p><p><b>　?。?）</b&

27、gt;</p><p>　?。?）稱之為（5）的減列方程組。</p><p>　　定理 1：線性方程組有解的充要條件是。當時, 有唯一解；時,有無窮多解。</p><p>　　定理2：齊次線性方程組有非零解的充要條件是。</p><p>　　推論1：當時，齊次線性方程組一定有非零解。</p><p>　　推論2：含有個

28、未知量個方程的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)行列式等于零。</p><p>　　定理3：齊次線性方程組有正解的充要條件是這個方程組存在若干個減列方程組,它們都是有正解的極小方程組,并且這些極小方程組全部列向量的并集的秩等于的秩。</p><p>　　定理 4：當非齊次線性方程組有解時，解唯一的充要條件是對應的齊次線性方程組只有零解。 </p><p&

29、gt;　　定理 5：齊次線性方程組有非零解是解無窮多的充要條件，但反之當非齊次線性方程組的導出組僅有零解和有非零解時，不一定原方程組有唯一解或無窮解，即此時方程組不一定有解。</p><p>　　3 線性方程組的求解方法</p><p>　　本文我們所研究的方法都是用來求解階線性方程組的。求解線性方程組的方法很多，但大體上可以分成兩大類：直接法與迭代法。所謂直接法，指的是如果所有計算都是

30、精確進行的，那么經(jīng)過有限步算術(shù)運算就可以求出方程組準確解的方法。但是，在實際計算過程中由于舍入誤差的存在與影響，直接法一般只能求得方程組的近似解。所謂迭代法，是用某種極限過程去逐步逼近方程組的準確解。關于迭代法本文將不做討論，本文主要討論直接法中的初等變換法、Gauss消元法、克萊姆法則等。</p><p>　　3.1 用初等變換法求解線性方程組[9]</p><p>　　初等變換包括：

31、線性方程組的初等變換、行列式的初等變換和矩陣的初等變換。線性方程組的初等變換是對方程組進行換法變換、倍法變換、消元變換。</p><p>　　換法變換：交換兩個方程的位置。</p><p>　　倍法變換：用一個非零數(shù)乘某一個方程。</p><p>　　消法變換：把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上。</p><p>　　因此，在矩陣形式下，對增廣

32、矩陣作初等變換不改變方程組的解。如矩陣和是行初等變換下等價的矩陣，即存在可逆矩陣，使，則線性方程組是等價的線性方程組。</p><p>　　用初等變換法求齊次線性方程組的基礎解系步驟如下：</p><p>　　第一步：把方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換化為簡化行階梯矩陣。</p><p>　　第二步：根據(jù)簡化行階梯矩陣寫出方程組的一般解；</p><

33、;p>　　第三步：在方程組的一般解中，每一次讓一個自由未知量取值為零，求出方程組的一個解，這樣得到的個解就構(gòu)成方程組的一個基礎解系，其中是齊次線性方程組的秩。</p><p>　　例：用初等變換求解齊次線性方程組（用基礎解系求解）</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　解：把方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換化為簡化

34、行階梯矩陣：</p><p>　　于是方程組的一般解為:</p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　其中是自由未知量。讓分別取，，，得出方程組的三個解： </p><p>　　是方程組（8）的一個基礎解系。</p><p>　　求解非齊次線性方程組的通解與求解齊次

35、線性方程組的通解不同，非齊次線性方程組的全部解等于它的一個特解與其導出組的全部解的和。</p><p>　　例：用初等變換求解非齊次線性方程組（用基礎解系表示通解）</p><p>　　分析：用這種方法求齊次線性方程組的基礎解系,或求非齊次線性方程組的通解只需施行矩陣的初等行變換,省掉了寫矩陣對應的方程組,以及設自由未知量等繁雜過程,簡單而實用,且易于掌握，并且迅速得出方程解。</p

36、><p>　　解：由上述所給方程，先對矩陣作初等行變換得</p><p>　　所以方程組的一個基礎解系為,。方程組的一個特解為，所以方程組的通解為，其中為任意常數(shù)。</p><p>　　馬小霞[10]的討論線性方程組全非零解存在性的例子就是先采用初等行變換，再根據(jù)判定定理得出是否存在非零解，以此解決下面類型的線性方程組。</p><p><

37、b>　　例：求解，其中</b></p><p>　　分析：對于求解這種非零解存在性的線性方程組，首先要對系數(shù)矩陣進行初等行變換，再將它的系數(shù)矩陣的秩與階數(shù)比較，如果得到系數(shù)矩陣的秩小于階數(shù)，則觀察系數(shù)矩陣中是否存在至少為一個以上的不等于零的階子式，如果存在，即可求得解。</p><p>　　解：從上述所給方程，對作行初等變換得</p><p>　　

38、即可知, 的最簡方程組為</p><p>　　根據(jù)判定定理知,當時,方程組有全非零解。</p><p>　　3.2 用回代法求解線性方程組</p><p>　　回代法是首先將給定一個個方程個未知量的線性方程組盡可能轉(zhuǎn)化為等價的嚴格三角形方程組。然后從第個方程組解的，將其代入第個方程解得，將和的值代入到第個方程解得，以此類推得到方程組的解。</p>&

39、lt;p>　　用以下三種運算得到一個等價的方程組：</p><p>　　（i)交換任意兩個方程的順序。</p><p>　　(ii)任一方程兩邊同乘一個非零的實數(shù)。</p><p>　　(iii)任一方程的倍數(shù)加到另一方程上。</p><p>　　將線性方程組用上述運算得到了一個容易求解的等價方程組。若的方程組僅有一個解，則利用上面的運

40、算(i)和運算(iii)可得到一個等價的“嚴格三角形方程組”。然后依照往回依次代入得到從到的值。</p><p>　　例：用回代法求解線性方程組 </p><p>　　解：上述方程可從第4個方程得到，將其代入第3個方程解得，將和的值代入到第2個方程解得，以此類推得到。因此，方程組的解為。</p><p>　　3.3 用Gauss消元法求解線性

41、方程組[11]</p><p>　　Gauss消元法是目前求解中小規(guī)模線性方程組(即階數(shù)不要太高，不超過1000)最常用的方法，它一般用于系數(shù)矩陣稠密(即矩陣的絕大多數(shù)元素都是非零的)而又沒有任何特殊結(jié)構(gòu)的線性方程組。這個方法的指導思想是用一個統(tǒng)一的方法來消去未知量，使最終獲得的是一個我們會解的三角形方程組。</p><p>　　Gauss變換就是通過一系列的初等變換，逐步將矩陣約化為一個

42、上三角陣，而又能保證這些變換的乘積是一個下三角矩陣。這可歸結(jié)為：對于一個任意給定的向量，找一個盡可能簡單的下三角矩陣，使經(jīng)這一矩陣作用之后的第到第個分量均為零。能夠完成這一任務的最簡單的下三角矩陣便是如下形式的初等下三角陣，</p><p>　　這種類型的初等下三角矩陣稱作Gauss變換，而稱向量以為Gauss向量。</p><p>　　對于一個給定的向量，</p><

43、p><b>　　我們有，</b></p><p>　　由此立即可知，只要取，便有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中這里要求。</b></p><p>　　對于一般的階矩陣，在一定的條件下，我們也可以計算個Gauss變換，使得為上三角

44、矩陣，這就是Gauss消元法的基本原理。</p><p><b>　　對于線性方程組</b></p><p><b>　　(9)</b></p><p>　　通過消去計算，即通過矩陣的初等變換，將方程組變換成如下所示的等價方程</p><p><b>　　組：</b></

45、p><p>　　(10) </p><p>　　式中的系數(shù)矩陣稱為上三角陣，此時方程組的解要通過回代來求取，即將上三角陣化為單位陣。</p><p>　　一般地，Gauss消去法的具體計算過程如下：</p><p>　　若令方程組(9)的增廣矩陣為：</p><p>　　第一步：消去第一列中以

46、下的其他元素，得到</p><p>　　第二步，消去第二列中位于以下的其他元素，得到</p><p>　　對于其他各行元素進行以下操作：將每行的第2列元素除以，再乘上第2行的各元素，所得乘積的負值加到該行的相應元素上。</p><p>　　重復上述過程，經(jīng)過步消元，得到：</p><p>　　這樣就完成了消去過程。由此可以看出，用Gauss消

47、去法得到方程組的根時，需要進行自下而上的回代。</p><p>　　求解方程組的絕大多數(shù)的工作量，出現(xiàn)在將化簡為嚴格的三角形式時。假設求解方程組后，我們知道了第一個方程組得到的三角形矩陣，因此希望求解新的方程組可以不必再次使用整個消元過程。即可使用分解，得到乘子為第步中從第行減去第行的倍數(shù)，將會看到這些乘子為什么可用來求解，用矩陣乘法的觀點來理解消元過程將很有幫助。徐曉飛、曹祥玉、姚旭、陳盼[12]指出在現(xiàn)實生活

48、中處理實際問題時，我們通常將系數(shù)矩陣分解為兩個三角矩陣，是單位下三角矩陣，是上三角矩陣。即先對系數(shù)矩陣進行消元，再將化為為三角形式，確定分解，可通過下述兩步求解：</p><p>　　第1步:前代。方程可寫為形如 ，令，可得。因此，可以通過求解下三角方程組求得</p><p>　?。?</p><p>　　由第一個方程可得。這

49、個值可用于從第二個方程中求解,和的值又可用于從第三個方程求解，依此類推，求得下三角方程組的解。</p><p>　　第2步：回代。一旦確定。僅需求解上三角方程組，就可求解得到方程組的解。</p><p>　　例：用 Gauss消元法求解線性方程組</p><p>　　解：先對系數(shù)矩陣進行消元，再將其化為為三角形式，確定分解。 </p&

50、gt;<p>　　由上述方程先得到系數(shù)矩陣 </p><p>　　再對系數(shù)矩陣進行兩步消元得到 </p><p>　　第一步的乘子為,第二步的乘子為。</p><p>　　令 及</p><p>　　一旦化簡為三角形式，分解即為確定，方程組就可以通過解得方程組的解為。</p><p&g

51、t;　　3.4 用克萊姆法則求解線性方程組[2][11]</p><p>　　克萊姆法則定義：含個方程，個未知量的線性方程組的一般形式為：</p><p>　　當其系數(shù)行列式 時，有唯一解：</p><p>　　其中 </p><p>　　克萊姆法則原理：線性方程組的系數(shù)行列式的時候，根據(jù)克萊姆法則，它的解,是中

52、的即第列依次換成所得的行列式。若系數(shù)行列式時，則方程組有唯一的解（其解均為零）；若方程組有非零解，則系數(shù)行列式必為零。 </p><p>　　例：取何值時，線性方程組</p><p>　　有惟一解、無解、無窮多解?在有無窮多解時，求通解。</p><p>　　分析：這是方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的含參數(shù)線性方程組，如果采用初等行變換將增廣矩陣化為階梯形矩陣，然后根據(jù)是

53、否成立討論參數(shù)取何值時線性方程組有解，何時無解。采用上述方法將會有很大的計算量，而采用克萊姆法則解線性方程組將會便捷很多?？死▌t定義了當系數(shù)行列式，方程組有惟一解，且可用克拉默法則求出惟一解(當方程的階數(shù)不大時)；而對于使得的方程組，分別列出增廣矩陣用消元法求解。</p><p>　　解：方程組的系數(shù)行列式為</p><p>　　于是(1)當且時，方程組有唯一解：；</p>

54、<p>　　(2)當時，增廣矩陣</p><p><b>　　，，方程組無解；</b></p><p>　　(3)當時，增廣矩陣</p><p><b>　　，，方程組無解；</b></p><p>　　(4)當時，增廣矩陣</p><p>　　，方程組有無窮多

55、解。</p><p><b>　　同解方程組為，</b></p><p><b>　　通解為</b></p><p><b>　?。槿我獬?shù)）。</b></p><p>　　4 線性方程組的應用</p><p>　　線性方程組理論是一個比較重要的研究

56、工具。我們在研究一些問題時,只要恰當?shù)剡\用線性方程組理論, 就可以使比較復雜的研究過程簡單化。本文將從幾何方面、空間向量、矩陣、廣義逆矩陣等方面的應用來討論線性方程組理論的應用。</p><p>　　4.1 線性方程組在幾何方面中的應用</p><p>　　線性方程可應用于求一些點到面的平面方程。</p><p>　　例如楊桂元[13]的求過點且與平面垂直的平面方

57、程就體現(xiàn)出了線性方程組解決幾何方面的問題有著舉足輕重的地位。</p><p>　　從上述例子，可以得到所求平面的一般式</p><p><b>　　（11）</b></p><p>　　再由面與面垂直的性質(zhì)可得方程</p><p><b>　?。?2）</b></p><p>

58、;　　接著判斷是否全為零，接著判斷(11),(12)構(gòu)成的方程組是否有非零解。</p><p>　　顯然均滿足要求，則對應的矩陣為零，即所求平面方程： </p><p>　　齊次線性方程組廣泛應用于其他數(shù)學運算中，對于求一些涉及非零解存在性的實例，要了解非零解的概念，存在非零解滿足的條件，即方程組的系數(shù)行列式必須為零。</p><p

59、>　　4.2 線性方程組在空間向量中的應用</p><p>　　而侯秋果[4]涉及的向量組線性相關性的求解問題，就涉及了向量組線性相關性的內(nèi)容，抽象矩陣的秩及較為復雜的線性方程組解的判定。通過此應用，加強了我們對齊次線性方程組無解的判定等方面的知識。</p><p>　　例：已知向量組(1) ；（2）；（3）。如果各向量組的秩分別為: 秩(1)=秩(2)=3,秩(3)=4,證明:向

60、量組的秩為4。</p><p>　　首先從向量的線性關系可從（2）和（3）得出兩個線性方程組，再由已知的向量組的秩 之間的關系，可以得出（2）得出的線性方程組有解，（3）得出的線性方程組無解?？梢耘袛喑鏊C明的方程無解。再根據(jù)線性方程組無解的充分必要條件：秩=秩，所以可得出向量組的秩為4。</p><p>　　例：設是實數(shù)域上所有實函數(shù)構(gòu)成的線性空間, 討論中函數(shù)組的線性相關性。<

61、/p><p>　　解：設實數(shù) 使得　　　　　　　　　　　　　　　?。?3）</p><p>　　對求1 階和2 階導數(shù), 并與原式聯(lián)立得</p><p>　　該齊次線性方程組的系數(shù)行列式為</p><p>　　恒不為零。故齊次線性方程組只有零解, 從而線性無關。</p><p>　　4.3 線性方程組在矩陣中的應用<

62、;/p><p>　　楊成[14]運用齊次線性方程組理論證明了矩陣秩的有關結(jié)論。</p><p><b>　　例：證明．</b></p><p>　　證：　設,考慮齊次線性方程組:</p><p><b>　?。?4）</b></p><p>　　與　　　　　　　　　　　　　　　　

63、　　　 （15） 顯然（15）的解為（14）的解，因此，即，同</p><p>　　理，即結(jié)論成立, 得證。</p><p>　　例： 設為實矩陣, 為任意復數(shù), 則設可逆的充分必要條件是可逆。</p><p>　　證： 可以只證充分性。設 , 上式兩邊左乘有，</p><p>　　由于 ,

64、 有。即，因此。</p><p>　　例：設為 實矩陣, 證明。</p><p><b>　　證： 先證明。因</b></p><p><b>　　即 。</b></p><p>　　以上證得 與 同解。從而它們的基礎解系所含向量個數(shù)彼此相等。所以有。類似有, 故得證。</p><

65、;p>　　由此我們可以得到在證明一些矩陣秩的問題上,可以通過建立與矩陣對應的齊次線性方程組, 再依據(jù)齊次線性方程組理論得出關于解向量的式子, 從而證明矩陣秩的問題。對于矩陣秩問題的證明，齊次線性方程組理論是一個有力的手段。</p><p>　　4.4 線性方程組在廣義逆矩陣中的應用[3]</p><p>　　這里先給出廣義逆矩陣的一個定義。</p><p>

66、　　設為矩陣, 如果矩陣滿足: , 則稱為的一個廣義逆矩陣。</p><p>　　下面再引人一個重要的定理及其推論</p><p>　　定理：為 矩陣, 為任意給定的廣義逆, 則齊次線性方程組 的全部解為,這里 取遍任意維列向量。</p><p>　　推論：設是的一個廣義逆, 有解, 則其全部解為.</p><p>　　由此我們可以知道對于，

67、矩陣的解, 也是須求全部從而得出 的全部解為。</p><p>　　徐德余[15]的線性方程組在廣義逆矩陣中的例子就說明線性方程組理論是研究高等數(shù)學的強有力的工具。</p><p><b>　　例：設,求解</b></p><p>　　由題知, 其中分別為可逆陣, 且</p><p><b>　　所以</

68、b></p><p><b>　　故有即的解為。 </b></p><p><b>　　因此的解為。</b></p><p>　　由此可知, 對于求解類的方程, 不僅限于求解當為方陣時的情況, 我們可以通過引人廣義逆矩陣來求解當不是方陣的情況, 從而拓寬了求解 的限制條件。</p><p>　

69、　4.5 線性方程組在多項式理論中的應用[16]</p><p>　　徐德余[16]就提及線性方程組在多項式整除討論中的應用。</p><p><b>　　例：若，</b></p><p>　　這里的為實系數(shù)多項式，求證，其中。</p><p>　　證明：設的5個根為，其中，互不相同，記。由假設可得</p>

70、<p><b>　?。?6）</b></p><p>　　由范德蒙行列式可知（2）的系數(shù)行列式不等于零，再由推論2得，其中。</p><p>　　4.6 線性方程組在處理矩陣秩問題中的應用[14]</p><p>　　線性方程組的理論與矩陣的秩有很密切的關系，但一般我們討論如何用矩陣的秩來解決線性方程組的問題，對如何用線性方程組

71、來討論矩陣的秩涉及的不多.而事實上很多矩陣秩的問題，如果用線性方程組來討論的話是很容易解決的。本文通過實例介紹了線性方程組處理矩陣秩問題中的應用。</p><p>　　這里首先給出處理矩陣秩問題中的三個基本定理。</p><p>　　定理1：線性方程組有解，這里分別是線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣。</p><p>　　定理2：若是矩陣，是齊次線性方程組的解空間，則

72、。</p><p>　　定理3：若齊次線性方程組和的系數(shù)矩陣和分別是與矩陣，則（1）若的解都是的解，那么；</p><p>　?。?）若與同解，那么；</p><p>　?。?）若的解都是的解，且，那么與 同解。</p><p>　　例：設和分別是與矩陣，且，則。</p><p>　　證明：設的列向量為，</p&

73、gt;<p><b>　　則，</b></p><p><b>　　于是，即為的解。</b></p><p>　　令是齊次線性方程組的解空間，則，</p><p>　　因此的秩，即列向量組的秩不大于的維數(shù)，即，故。</p><p>　　例：設和分別是與矩陣，且，則對任意矩陣，</

74、p><p><b>　　都有。</b></p><p>　　證明：由及的解都是的解，可知與 同解。設是的任一解，則，于是是方程組的解，從而是的解，因此，即是的解。另一方面，的解顯然是的解。</p><p><b>　　所以，與同解，故。</b></p><p><b>　　5 結(jié)論</

75、b></p><p>　　隨著科學技術(shù)的發(fā)展，科學計算中的很多問題最終都轉(zhuǎn)化為一個求解線性方程組的問題，那么如何快速、有效的求解線性方程組就成為研究的核心問題。</p><p>　　本文首先介紹了線性方程組的背景及研究意義，其次介紹了線性方程組的定義，三種</p><p>　　表示形式以及解、解的結(jié)構(gòu)的概念，同時介紹了線性方程組有解的五個定理，然后列舉了線性方

76、程組的直接法中的初等變換法、回代法、Gauss消元法及克萊姆法則。Gauss消元法是一種計算量小而精度高的方法，對于中小型稠密矩陣是一種很有效的方法，Gauss消元法在對系數(shù)矩陣消元后，大多使用LU分解。徐曉飛、曹祥玉、姚旭、陳盼[13]指出LU分解在求解方程組時，把對系數(shù)矩陣的計算和對自由項的計算分開了，這就使計算系數(shù)矩陣相同而自由項不同的一系列方程組變得特別方便，使線性方程組解題不再迂回復雜。而回代法是盡可能將所求線性方程組化成容易

77、求解的等價方程組，然后依據(jù)上述運算得到一個等價的“嚴格三角形方程組”，再依次從下往上回代，此法簡單易懂，讓我們處理問題比較格式化。克萊姆法則給出了線性方程組有解的一個充分條件，并且給出了解的表達形式，它處理方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的線性方程組更加簡單，快捷。</p><p>　　最后本文從幾何方面、空間向量、矩陣、廣義逆矩陣、多項式理論等方面來討論線性方程組理論在高等數(shù)學上的應用。此些問題欲要快速便捷的求得答案，

78、均需要建立線性方程組，再根據(jù)條件選擇恰當?shù)姆椒ǖ玫絾栴}的解。因此，可以看出線性方程組對于解決科學工程問題有著舉足輕重的地位。在科學技術(shù)高速發(fā)展的今天，雖然我們已經(jīng)有足夠的理論和方法去解決實際問題，但隨著科技的進步，許多新的問題不斷的涌現(xiàn)出來，所以我們必須掌握已有的理論，發(fā)展新的理論來迎接未來的挑戰(zhàn)。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[

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