線(xiàn)性方程組的求解方法及應(yīng)用[畢業(yè)論文]

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　線(xiàn)性方程組的求解方法及應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué) </p>

2、;<p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱(chēng) </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：方程的求解一直是數(shù)學(xué)研究的重要問(wèn)題之一，而線(xiàn)性方程組的求解也是其中最簡(jiǎn)單、最重要

3、的方面。線(xiàn)性方程解的研究之所以成為中心問(wèn)題，是因?yàn)樵趯?shí)踐中直接或間接地提出了這類(lèi)問(wèn)題，同時(shí)線(xiàn)性方程組在數(shù)學(xué)的許多分支和領(lǐng)域內(nèi)都有廣泛的應(yīng)用，因此熟悉其求解方法就顯得尤為重要。本文首先介紹了線(xiàn)性方程組的背景及研究意義，其次介紹了線(xiàn)性方程組、解、解的結(jié)構(gòu)的概念，同時(shí)介紹了線(xiàn)性方程組有解的五個(gè)定理，然后列舉了線(xiàn)性方程組的求解方法：初等變換、回代法、Gauss消元法以及克萊姆法則。最后從幾何方面、空間向量、矩陣、廣義逆矩陣、多項(xiàng)式理論等方面討論

4、了線(xiàn)性方程組理論的應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：線(xiàn)性方程組；解；解的結(jié)構(gòu)；矩陣</p><p>　　The solving method and applications of linear equations </p><p>　　Abstract：Solving equation is one of the important problems in th

5、eoretical mathematical research, and the simplest and most important topic is solving linear equations. The reason of solving the linear equations becomes the center problem in mathematical research is that it directly o

6、r indirectly puts forward this kind of problem in practice. Linear equations have wide range of application in many branches of mathematics, therefore, it is especially important to be familiar with solving Linear eq<

7、/p><p>　　Key words: linear equations; solution; structure of solution; matrix</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 緒 論1</b></p><p>　　1.1問(wèn)題的背景及研究意義

8、1</p><p>　　2 線(xiàn)性方程組的解及解的結(jié)構(gòu)3</p><p>　　2.1 線(xiàn)性方程組的概念3</p><p>　　2.2 線(xiàn)性方程組解的概念.4</p><p>　　2.3 線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)的概念.4</p><p>　　3 線(xiàn)性方程組的求解方法6</p><p>　　

9、3.1用初等變換法求解線(xiàn)性方程組6</p><p>　　3.2 用回代法求解線(xiàn)性方程組8</p><p>　　3.3用Gauss消元法求解線(xiàn)性方程組9</p><p>　　3.4 用克萊姆法則求解線(xiàn)性方程組13</p><p>　　4 線(xiàn)性方程組的應(yīng)用.........................................

10、......................15</p><p>　　4.1 線(xiàn)性方程組在幾何方面的應(yīng)用..............................................15</p><p>　　4.2線(xiàn)性方程組在空間向量中的應(yīng)用............................................15</p><p>　

11、　4.3 線(xiàn)性方程組在矩陣中的應(yīng)用................................................16</p><p>　　4.4線(xiàn)性方程組在廣義逆矩陣中的應(yīng)用..........................................17</p><p>　　4.5線(xiàn)性方程組在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用...........................

12、...............18</p><p>　　4.6線(xiàn)性方程組在處理矩陣秩問(wèn)題中的應(yīng)用......................................18</p><p>　　5 結(jié)論............................................................................21</p><

13、;p>　　致 謝............................................................................22</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)23</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 問(wèn)題的背景及

14、研究意義[1][2] </p><p>　　線(xiàn)性代數(shù)是代數(shù)學(xué)科的一個(gè)分支,代數(shù)學(xué)的起源早在中世紀(jì)。</p><p>　　在公元820年左右，被冠以 “代數(shù)學(xué)之父”的稱(chēng)號(hào)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米編著了《代數(shù)學(xué)》一書(shū)這就是Algebra一詞的最初來(lái)源，書(shū)中開(kāi)始探討了數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般解法，嘗試用代數(shù)方法處理線(xiàn)性方程組，同時(shí)引進(jìn)了移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等代數(shù)運(yùn)算。18世紀(jì)，代數(shù)學(xué)的主題仍是代數(shù)方程，其中代數(shù)

15、學(xué)發(fā)展的一個(gè)方向就是方程組理論。首先是線(xiàn)性方程組與行列式理論，萊布尼茨的行列式及其在解線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用思想得到了發(fā)展，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆提出了著名的“克萊姆法則”，即由系數(shù)行列式來(lái)確定線(xiàn)性方程組解的表達(dá)式法則；接著范得蒙行列式、拉普拉斯展開(kāi)等重要結(jié)果被相繼提出。而最古老的線(xiàn)性問(wèn)題是線(xiàn)性方程組的解法，在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于對(duì)方程組的增廣矩陣的行施行初等變換、消去未知量的方法。在西

16、方，線(xiàn)性方程組的研究是在17世紀(jì)后期由萊布尼茲開(kāi)創(chuàng)的。他曾研究含兩個(gè)未知量的三個(gè)線(xiàn)性方程組成的方程組，證明了當(dāng)方程組的行列式等于零時(shí)方程有解，此研究無(wú)疑促成了行列式和矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展。大約在1729年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬克勞林開(kāi)始用行列式的方法解含2到4個(gè)未知量的線(xiàn)性方程組，得到了克萊姆法則的結(jié)</p><p>　　眾所周知，在數(shù)學(xué)上要直接得出問(wèn)題結(jié)果是相當(dāng)不易的, 但是根據(jù)條件建立方程組來(lái)求得解就簡(jiǎn)單得多。由此可見(jiàn)，線(xiàn)

17、性方程組對(duì)解決實(shí)際生活中的科學(xué)技術(shù)問(wèn)題具有十分重要的意義。線(xiàn)性方程組是處理線(xiàn)性問(wèn)題的思想方法?，F(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)中。它與向量組、矩陣、線(xiàn)性映射存在著密不可分的關(guān)系，與矩陣、向量組相關(guān)的許多重要結(jié)論都是線(xiàn)性方程組有關(guān)結(jié)論的應(yīng)用和推廣。如：一個(gè)向量是否可以由一個(gè)向量組線(xiàn)性表示、表示形式是否唯一往往與非齊次線(xiàn)性方程組是否有解、有唯一解還是無(wú)窮多解是等價(jià)的；一個(gè)向量組是否線(xiàn)性相關(guān)與齊次線(xiàn)性方程組是否有非零解是等價(jià)的。從而可見(jiàn)，它由向量組

18、極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組引入，反映了向量組的線(xiàn)性相關(guān)程度，并推廣到了矩陣，乃至線(xiàn)性映射。矩陣的秩的典型應(yīng)用就是討論線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)。至于矩陣乘法最早也是從線(xiàn)性方程組中發(fā)展而來(lái)，而矩陣運(yùn)算這種運(yùn)算方式的產(chǎn)生就是由于應(yīng)用（線(xiàn)性方程組），更重要的是這種運(yùn)算方式使得我們處理問(wèn)題變得非常容易。至于伴隨矩陣，也是線(xiàn)性方程組研究的產(chǎn)物?？梢?jiàn)，線(xiàn)性方程組帶我們走出了處理科學(xué)應(yīng)用中所遇到的一些麻煩，為迅速得出正確的結(jié)論指明了前進(jìn)的方向。</p>

19、<p>　　2 線(xiàn)性方程組的解及解的結(jié)構(gòu)</p><p>　　2.1 線(xiàn)性方程組的概念[3]</p><p>　　對(duì)于給定的方程組，其中是()階矩陣，則</p><p>　　(1)且為非奇異矩陣時(shí)此方程組稱(chēng)為階線(xiàn)性方程組；</p><p>　　(2)時(shí)，此方程組稱(chēng)為“超定方程組”；</p><p>　

20、　(3)時(shí)，此方程組稱(chēng)為“欠定方程組”。</p><p>　　線(xiàn)性方程組即一次方程組。線(xiàn)性方程組有一般形式、矩陣形式、向量形式。含個(gè)方程，個(gè)未知量的線(xiàn)性方程組的一般形式為：</p><p>　　表示未知量，稱(chēng)系數(shù)項(xiàng)，稱(chēng)常數(shù)項(xiàng)。線(xiàn)性方程組可分為齊次線(xiàn)性方程組和非齊次線(xiàn)性方程組。當(dāng)時(shí)，線(xiàn)性方程組為齊次線(xiàn)性方程組，即：</p><p>　　（1）而當(dāng)時(shí)，線(xiàn)性方程組為非齊次

21、線(xiàn)性方程組，即：</p><p><b>　?。?） </b></p><p>　　線(xiàn)性方程組也可以用矩陣表示。型線(xiàn)性方程組可表示為，稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣；為線(xiàn)性方程組的未知量； 為線(xiàn)性方程組的增廣矩陣。 線(xiàn)性方程組也可以用向量表示。設(shè)矩陣是線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣，用記的第列，即，則型線(xiàn)性方程組可表示為</p><p>　　2.2

22、 線(xiàn)性方程組解的概念</p><p>　　如果維列向量使含有個(gè)未知量的線(xiàn)性方程組組成恒等式，則就叫做的一個(gè)解。如果線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多個(gè)解，且這些解可以通過(guò)自由未知量（簡(jiǎn)化行階梯形矩陣中單位列向量對(duì)應(yīng)的未知量取為非自由未知量，其余的未知量取為自由未知量）表達(dá)主變量（即非自由未知量），則稱(chēng)此解為該方程的通解(或一般解)，當(dāng)通解中的各任意常數(shù)都取特定值時(shí)所得到的解,稱(chēng)為方程的特解。就一般的齊次線(xiàn)性方程組而言, 解分為

23、零解和非零解。其實(shí),非零解還可以再行分類(lèi):如果非零解的每個(gè)分量都不等于零,則稱(chēng)之為完全非零解,否則稱(chēng)為含零非零解。如果完全非零解的每個(gè)分量都大于零則稱(chēng)之為正解；如果含零非零解的每個(gè)非零分量都大于零則稱(chēng)之為半正解。非齊次線(xiàn)性方程組的解都是非零解。</p><p>　　2.2 線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)的概念</p><p>　　2.2.1 齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)[4][5][6]</p&g

24、t;<p>　　若，,則全體向量構(gòu)成 的一個(gè)子空間，它可以由個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量生成，叫做這個(gè)方程組的解空間。時(shí)，解空間為零空間。而線(xiàn)性子空間的一個(gè)向量組稱(chēng)為該子空間的一個(gè)基。如果齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)解向量,則稱(chēng)之為極小齊次線(xiàn)性方程組,簡(jiǎn)稱(chēng)為極小方程組。此時(shí),必要且只要秩,是的列數(shù)。設(shè)，上元齊次線(xiàn)性方程組 ： </p><p>　　（3） 有非零解時(shí)，它的解空間的一個(gè)基（4）稱(chēng)為齊

25、次方程組（3）的一個(gè)基礎(chǔ)解系。若向量組（4）線(xiàn)性無(wú)關(guān)，方程組（3）的任一解向量均可由（4）線(xiàn)性表示。其中表示數(shù)域上的秩為的矩陣。</p><p>　　2.2.2 非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)</p><p>　　設(shè),,稱(chēng)齊次線(xiàn)性方程組為非齊次線(xiàn)性方程組的導(dǎo)出組。非齊次線(xiàn)性方程組的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組的一個(gè)解；非齊次線(xiàn)性方程組的全部解等于它的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組的全部解的和。</p>

26、;<p>　　2.2.3 線(xiàn)性方程組有解的五個(gè)基本定理[7][8]</p><p>　　設(shè)齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的列向量為,則它可寫(xiě)成向量形式 （5）</p><p>　　取它的部分項(xiàng)作為齊次線(xiàn)性方程組</p><p><b>　?。?）</b&

27、gt;</p><p>　　（6）稱(chēng)之為（5）的減列方程組。</p><p>　　定理 1：線(xiàn)性方程組有解的充要條件是。當(dāng)時(shí), 有唯一解；時(shí),有無(wú)窮多解。</p><p>　　定理2：齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件是。</p><p>　　推論1：當(dāng)時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組一定有非零解。</p><p>　　推論2：含有個(gè)

28、未知量個(gè)方程的齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)行列式等于零。</p><p>　　定理3：齊次線(xiàn)性方程組有正解的充要條件是這個(gè)方程組存在若干個(gè)減列方程組,它們都是有正解的極小方程組,并且這些極小方程組全部列向量的并集的秩等于的秩。</p><p>　　定理 4：當(dāng)非齊次線(xiàn)性方程組有解時(shí)，解唯一的充要條件是對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組只有零解。 </p><p&

29、gt;　　定理 5：齊次線(xiàn)性方程組有非零解是解無(wú)窮多的充要條件，但反之當(dāng)非齊次線(xiàn)性方程組的導(dǎo)出組僅有零解和有非零解時(shí)，不一定原方程組有唯一解或無(wú)窮解，即此時(shí)方程組不一定有解。</p><p>　　3 線(xiàn)性方程組的求解方法</p><p>　　本文我們所研究的方法都是用來(lái)求解階線(xiàn)性方程組的。求解線(xiàn)性方程組的方法很多，但大體上可以分成兩大類(lèi)：直接法與迭代法。所謂直接法，指的是如果所有計(jì)算都是

30、精確進(jìn)行的，那么經(jīng)過(guò)有限步算術(shù)運(yùn)算就可以求出方程組準(zhǔn)確解的方法。但是，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中由于舍入誤差的存在與影響，直接法一般只能求得方程組的近似解。所謂迭代法，是用某種極限過(guò)程去逐步逼近方程組的準(zhǔn)確解。關(guān)于迭代法本文將不做討論，本文主要討論直接法中的初等變換法、Gauss消元法、克萊姆法則等。</p><p>　　3.1 用初等變換法求解線(xiàn)性方程組[9]</p><p>　　初等變換包括：

31、線(xiàn)性方程組的初等變換、行列式的初等變換和矩陣的初等變換。線(xiàn)性方程組的初等變換是對(duì)方程組進(jìn)行換法變換、倍法變換、消元變換。</p><p>　　換法變換：交換兩個(gè)方程的位置。</p><p>　　倍法變換：用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程。</p><p>　　消法變換：把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上。</p><p>　　因此，在矩陣形式下，對(duì)增廣

32、矩陣作初等變換不改變方程組的解。如矩陣和是行初等變換下等價(jià)的矩陣，即存在可逆矩陣，使，則線(xiàn)性方程組是等價(jià)的線(xiàn)性方程組。</p><p>　　用初等變換法求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系步驟如下：</p><p>　　第一步：把方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化為簡(jiǎn)化行階梯矩陣。</p><p>　　第二步：根據(jù)簡(jiǎn)化行階梯矩陣寫(xiě)出方程組的一般解；</p><

33、;p>　　第三步：在方程組的一般解中，每一次讓一個(gè)自由未知量取值為零，求出方程組的一個(gè)解，這樣得到的個(gè)解就構(gòu)成方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，其中是齊次線(xiàn)性方程組的秩。</p><p>　　例：用初等變換求解齊次線(xiàn)性方程組（用基礎(chǔ)解系求解）</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　解：把方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化為簡(jiǎn)化

34、行階梯矩陣：</p><p>　　于是方程組的一般解為:</p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　其中是自由未知量。讓分別取，，，得出方程組的三個(gè)解： </p><p>　　是方程組（8）的一個(gè)基礎(chǔ)解系。</p><p>　　求解非齊次線(xiàn)性方程組的通解與求解齊次

35、線(xiàn)性方程組的通解不同，非齊次線(xiàn)性方程組的全部解等于它的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組的全部解的和。</p><p>　　例：用初等變換求解非齊次線(xiàn)性方程組（用基礎(chǔ)解系表示通解）</p><p>　　分析：用這種方法求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系,或求非齊次線(xiàn)性方程組的通解只需施行矩陣的初等行變換,省掉了寫(xiě)矩陣對(duì)應(yīng)的方程組,以及設(shè)自由未知量等繁雜過(guò)程,簡(jiǎn)單而實(shí)用,且易于掌握，并且迅速得出方程解。</p

36、><p>　　解：由上述所給方程，先對(duì)矩陣作初等行變換得</p><p>　　所以方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為,。方程組的一個(gè)特解為，所以方程組的通解為，其中為任意常數(shù)。</p><p>　　馬小霞[10]的討論線(xiàn)性方程組全非零解存在性的例子就是先采用初等行變換，再根據(jù)判定定理得出是否存在非零解，以此解決下面類(lèi)型的線(xiàn)性方程組。</p><p><

37、b>　　例：求解，其中</b></p><p>　　分析：對(duì)于求解這種非零解存在性的線(xiàn)性方程組，首先要對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，再將它的系數(shù)矩陣的秩與階數(shù)比較，如果得到系數(shù)矩陣的秩小于階數(shù)，則觀(guān)察系數(shù)矩陣中是否存在至少為一個(gè)以上的不等于零的階子式，如果存在，即可求得解。</p><p>　　解：從上述所給方程，對(duì)作行初等變換得</p><p>　　

38、即可知, 的最簡(jiǎn)方程組為</p><p>　　根據(jù)判定定理知,當(dāng)時(shí),方程組有全非零解。</p><p>　　3.2 用回代法求解線(xiàn)性方程組</p><p>　　回代法是首先將給定一個(gè)個(gè)方程個(gè)未知量的線(xiàn)性方程組盡可能轉(zhuǎn)化為等價(jià)的嚴(yán)格三角形方程組。然后從第個(gè)方程組解的，將其代入第個(gè)方程解得，將和的值代入到第個(gè)方程解得，以此類(lèi)推得到方程組的解。</p>&

39、lt;p>　　用以下三種運(yùn)算得到一個(gè)等價(jià)的方程組：</p><p>　?。╥)交換任意兩個(gè)方程的順序。</p><p>　　(ii)任一方程兩邊同乘一個(gè)非零的實(shí)數(shù)。</p><p>　　(iii)任一方程的倍數(shù)加到另一方程上。</p><p>　　將線(xiàn)性方程組用上述運(yùn)算得到了一個(gè)容易求解的等價(jià)方程組。若的方程組僅有一個(gè)解，則利用上面的運(yùn)

40、算(i)和運(yùn)算(iii)可得到一個(gè)等價(jià)的“嚴(yán)格三角形方程組”。然后依照往回依次代入得到從到的值。</p><p>　　例：用回代法求解線(xiàn)性方程組 </p><p>　　解：上述方程可從第4個(gè)方程得到，將其代入第3個(gè)方程解得，將和的值代入到第2個(gè)方程解得，以此類(lèi)推得到。因此，方程組的解為。</p><p>　　3.3 用Gauss消元法求解線(xiàn)性

41、方程組[11]</p><p>　　Gauss消元法是目前求解中小規(guī)模線(xiàn)性方程組(即階數(shù)不要太高，不超過(guò)1000)最常用的方法，它一般用于系數(shù)矩陣稠密(即矩陣的絕大多數(shù)元素都是非零的)而又沒(méi)有任何特殊結(jié)構(gòu)的線(xiàn)性方程組。這個(gè)方法的指導(dǎo)思想是用一個(gè)統(tǒng)一的方法來(lái)消去未知量，使最終獲得的是一個(gè)我們會(huì)解的三角形方程組。</p><p>　　Gauss變換就是通過(guò)一系列的初等變換，逐步將矩陣約化為一個(gè)

42、上三角陣，而又能保證這些變換的乘積是一個(gè)下三角矩陣。這可歸結(jié)為：對(duì)于一個(gè)任意給定的向量，找一個(gè)盡可能簡(jiǎn)單的下三角矩陣，使經(jīng)這一矩陣作用之后的第到第個(gè)分量均為零。能夠完成這一任務(wù)的最簡(jiǎn)單的下三角矩陣便是如下形式的初等下三角陣，</p><p>　　這種類(lèi)型的初等下三角矩陣稱(chēng)作Gauss變換，而稱(chēng)向量以為Gauss向量。</p><p>　　對(duì)于一個(gè)給定的向量，</p><

43、p><b>　　我們有，</b></p><p>　　由此立即可知，只要取，便有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中這里要求。</b></p><p>　　對(duì)于一般的階矩陣，在一定的條件下，我們也可以計(jì)算個(gè)Gauss變換，使得為上三角

44、矩陣，這就是Gauss消元法的基本原理。</p><p><b>　　對(duì)于線(xiàn)性方程組</b></p><p><b>　　(9)</b></p><p>　　通過(guò)消去計(jì)算，即通過(guò)矩陣的初等變換，將方程組變換成如下所示的等價(jià)方程</p><p><b>　　組：</b></

45、p><p>　　(10) </p><p>　　式中的系數(shù)矩陣稱(chēng)為上三角陣，此時(shí)方程組的解要通過(guò)回代來(lái)求取，即將上三角陣化為單位陣。</p><p>　　一般地，Gauss消去法的具體計(jì)算過(guò)程如下：</p><p>　　若令方程組(9)的增廣矩陣為：</p><p>　　第一步：消去第一列中以

46、下的其他元素，得到</p><p>　　第二步，消去第二列中位于以下的其他元素，得到</p><p>　　對(duì)于其他各行元素進(jìn)行以下操作：將每行的第2列元素除以，再乘上第2行的各元素，所得乘積的負(fù)值加到該行的相應(yīng)元素上。</p><p>　　重復(fù)上述過(guò)程，經(jīng)過(guò)步消元，得到：</p><p>　　這樣就完成了消去過(guò)程。由此可以看出，用Gauss消

47、去法得到方程組的根時(shí)，需要進(jìn)行自下而上的回代。</p><p>　　求解方程組的絕大多數(shù)的工作量，出現(xiàn)在將化簡(jiǎn)為嚴(yán)格的三角形式時(shí)。假設(shè)求解方程組后，我們知道了第一個(gè)方程組得到的三角形矩陣，因此希望求解新的方程組可以不必再次使用整個(gè)消元過(guò)程。即可使用分解，得到乘子為第步中從第行減去第行的倍數(shù)，將會(huì)看到這些乘子為什么可用來(lái)求解，用矩陣乘法的觀(guān)點(diǎn)來(lái)理解消元過(guò)程將很有幫助。徐曉飛、曹祥玉、姚旭、陳盼[12]指出在現(xiàn)實(shí)生活

48、中處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們通常將系數(shù)矩陣分解為兩個(gè)三角矩陣，是單位下三角矩陣，是上三角矩陣。即先對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行消元，再將化為為三角形式，確定分解，可通過(guò)下述兩步求解：</p><p>　　第1步:前代。方程可寫(xiě)為形如 ，令，可得。因此，可以通過(guò)求解下三角方程組求得</p><p>　?。?</p><p>　　由第一個(gè)方程可得。這

49、個(gè)值可用于從第二個(gè)方程中求解,和的值又可用于從第三個(gè)方程求解，依此類(lèi)推，求得下三角方程組的解。</p><p>　　第2步：回代。一旦確定。僅需求解上三角方程組，就可求解得到方程組的解。</p><p>　　例：用 Gauss消元法求解線(xiàn)性方程組</p><p>　　解：先對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行消元，再將其化為為三角形式，確定分解。 </p&

50、gt;<p>　　由上述方程先得到系數(shù)矩陣 </p><p>　　再對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行兩步消元得到 </p><p>　　第一步的乘子為,第二步的乘子為。</p><p>　　令 及</p><p>　　一旦化簡(jiǎn)為三角形式，分解即為確定，方程組就可以通過(guò)解得方程組的解為。</p><p&g

51、t;　　3.4 用克萊姆法則求解線(xiàn)性方程組[2][11]</p><p>　　克萊姆法則定義：含個(gè)方程，個(gè)未知量的線(xiàn)性方程組的一般形式為：</p><p>　　當(dāng)其系數(shù)行列式 時(shí)，有唯一解：</p><p>　　其中 </p><p>　　克萊姆法則原理：線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式的時(shí)候，根據(jù)克萊姆法則，它的解,是中

52、的即第列依次換成所得的行列式。若系數(shù)行列式時(shí)，則方程組有唯一的解（其解均為零）；若方程組有非零解，則系數(shù)行列式必為零。 </p><p>　　例：取何值時(shí)，線(xiàn)性方程組</p><p>　　有惟一解、無(wú)解、無(wú)窮多解?在有無(wú)窮多解時(shí)，求通解。</p><p>　　分析：這是方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的含參數(shù)線(xiàn)性方程組，如果采用初等行變換將增廣矩陣化為階梯形矩陣，然后根據(jù)是

53、否成立討論參數(shù)取何值時(shí)線(xiàn)性方程組有解，何時(shí)無(wú)解。采用上述方法將會(huì)有很大的計(jì)算量，而采用克萊姆法則解線(xiàn)性方程組將會(huì)便捷很多?？死▌t定義了當(dāng)系數(shù)行列式，方程組有惟一解，且可用克拉默法則求出惟一解(當(dāng)方程的階數(shù)不大時(shí))；而對(duì)于使得的方程組，分別列出增廣矩陣用消元法求解。</p><p>　　解：方程組的系數(shù)行列式為</p><p>　　于是(1)當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解：；</p>

54、<p>　　(2)當(dāng)時(shí)，增廣矩陣</p><p><b>　　，，方程組無(wú)解；</b></p><p>　　(3)當(dāng)時(shí)，增廣矩陣</p><p><b>　　，，方程組無(wú)解；</b></p><p>　　(4)當(dāng)時(shí)，增廣矩陣</p><p>　　，方程組有無(wú)窮多

55、解。</p><p><b>　　同解方程組為，</b></p><p><b>　　通解為</b></p><p><b>　?。槿我獬?shù)）。</b></p><p>　　4 線(xiàn)性方程組的應(yīng)用</p><p>　　線(xiàn)性方程組理論是一個(gè)比較重要的研究

56、工具。我們?cè)谘芯恳恍﹩?wèn)題時(shí),只要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用線(xiàn)性方程組理論, 就可以使比較復(fù)雜的研究過(guò)程簡(jiǎn)單化。本文將從幾何方面、空間向量、矩陣、廣義逆矩陣等方面的應(yīng)用來(lái)討論線(xiàn)性方程組理論的應(yīng)用。</p><p>　　4.1 線(xiàn)性方程組在幾何方面中的應(yīng)用</p><p>　　線(xiàn)性方程可應(yīng)用于求一些點(diǎn)到面的平面方程。</p><p>　　例如楊桂元[13]的求過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的平面方

57、程就體現(xiàn)出了線(xiàn)性方程組解決幾何方面的問(wèn)題有著舉足輕重的地位。</p><p>　　從上述例子，可以得到所求平面的一般式</p><p><b>　?。?1）</b></p><p>　　再由面與面垂直的性質(zhì)可得方程</p><p><b>　　（12）</b></p><p>

58、;　　接著判斷是否全為零，接著判斷(11),(12)構(gòu)成的方程組是否有非零解。</p><p>　　顯然均滿(mǎn)足要求，則對(duì)應(yīng)的矩陣為零，即所求平面方程： </p><p>　　齊次線(xiàn)性方程組廣泛應(yīng)用于其他數(shù)學(xué)運(yùn)算中，對(duì)于求一些涉及非零解存在性的實(shí)例，要了解非零解的概念，存在非零解滿(mǎn)足的條件，即方程組的系數(shù)行列式必須為零。</p><p

59、>　　4.2 線(xiàn)性方程組在空間向量中的應(yīng)用</p><p>　　而侯秋果[4]涉及的向量組線(xiàn)性相關(guān)性的求解問(wèn)題，就涉及了向量組線(xiàn)性相關(guān)性的內(nèi)容，抽象矩陣的秩及較為復(fù)雜的線(xiàn)性方程組解的判定。通過(guò)此應(yīng)用，加強(qiáng)了我們對(duì)齊次線(xiàn)性方程組無(wú)解的判定等方面的知識(shí)。</p><p>　　例：已知向量組(1) ；（2）；（3）。如果各向量組的秩分別為: 秩(1)=秩(2)=3,秩(3)=4,證明:向

60、量組的秩為4。</p><p>　　首先從向量的線(xiàn)性關(guān)系可從（2）和（3）得出兩個(gè)線(xiàn)性方程組，再由已知的向量組的秩 之間的關(guān)系，可以得出（2）得出的線(xiàn)性方程組有解，（3）得出的線(xiàn)性方程組無(wú)解?？梢耘袛喑鏊C明的方程無(wú)解。再根據(jù)線(xiàn)性方程組無(wú)解的充分必要條件：秩=秩，所以可得出向量組的秩為4。</p><p>　　例：設(shè)是實(shí)數(shù)域上所有實(shí)函數(shù)構(gòu)成的線(xiàn)性空間, 討論中函數(shù)組的線(xiàn)性相關(guān)性。<

61、/p><p>　　解：設(shè)實(shí)數(shù) 使得　　　　　　　　　　　　　　　　（13）</p><p>　　對(duì)求1 階和2 階導(dǎo)數(shù), 并與原式聯(lián)立得</p><p>　　該齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式為</p><p>　　恒不為零。故齊次線(xiàn)性方程組只有零解, 從而線(xiàn)性無(wú)關(guān)。</p><p>　　4.3 線(xiàn)性方程組在矩陣中的應(yīng)用<

62、;/p><p>　　楊成[14]運(yùn)用齊次線(xiàn)性方程組理論證明了矩陣秩的有關(guān)結(jié)論。</p><p><b>　　例：證明．</b></p><p>　　證：　設(shè),考慮齊次線(xiàn)性方程組:</p><p><b>　?。?4）</b></p><p>　　與　　　　　　　　　　　　　　　　

63、　　　 （15） 顯然（15）的解為（14）的解，因此，即，同</p><p>　　理，即結(jié)論成立, 得證。</p><p>　　例： 設(shè)為實(shí)矩陣, 為任意復(fù)數(shù), 則設(shè)可逆的充分必要條件是可逆。</p><p>　　證： 可以只證充分性。設(shè) , 上式兩邊左乘有，</p><p>　　由于 ,

64、 有。即，因此。</p><p>　　例：設(shè)為 實(shí)矩陣, 證明。</p><p><b>　　證： 先證明。因</b></p><p><b>　　即 。</b></p><p>　　以上證得 與 同解。從而它們的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)彼此相等。所以有。類(lèi)似有, 故得證。</p><

65、;p>　　由此我們可以得到在證明一些矩陣秩的問(wèn)題上,可以通過(guò)建立與矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組, 再依據(jù)齊次線(xiàn)性方程組理論得出關(guān)于解向量的式子, 從而證明矩陣秩的問(wèn)題。對(duì)于矩陣秩問(wèn)題的證明，齊次線(xiàn)性方程組理論是一個(gè)有力的手段。</p><p>　　4.4 線(xiàn)性方程組在廣義逆矩陣中的應(yīng)用[3]</p><p>　　這里先給出廣義逆矩陣的一個(gè)定義。</p><p>

66、　　設(shè)為矩陣, 如果矩陣滿(mǎn)足: , 則稱(chēng)為的一個(gè)廣義逆矩陣。</p><p>　　下面再引人一個(gè)重要的定理及其推論</p><p>　　定理：為 矩陣, 為任意給定的廣義逆, 則齊次線(xiàn)性方程組 的全部解為,這里 取遍任意維列向量。</p><p>　　推論：設(shè)是的一個(gè)廣義逆, 有解, 則其全部解為.</p><p>　　由此我們可以知道對(duì)于，

67、矩陣的解, 也是須求全部從而得出 的全部解為。</p><p>　　徐德余[15]的線(xiàn)性方程組在廣義逆矩陣中的例子就說(shuō)明線(xiàn)性方程組理論是研究高等數(shù)學(xué)的強(qiáng)有力的工具。</p><p><b>　　例：設(shè),求解</b></p><p>　　由題知, 其中分別為可逆陣, 且</p><p><b>　　所以</

68、b></p><p><b>　　故有即的解為。 </b></p><p><b>　　因此的解為。</b></p><p>　　由此可知, 對(duì)于求解類(lèi)的方程, 不僅限于求解當(dāng)為方陣時(shí)的情況, 我們可以通過(guò)引人廣義逆矩陣來(lái)求解當(dāng)不是方陣的情況, 從而拓寬了求解 的限制條件。</p><p>　

69、　4.5 線(xiàn)性方程組在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用[16]</p><p>　　徐德余[16]就提及線(xiàn)性方程組在多項(xiàng)式整除討論中的應(yīng)用。</p><p><b>　　例：若，</b></p><p>　　這里的為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，求證，其中。</p><p>　　證明：設(shè)的5個(gè)根為，其中，互不相同，記。由假設(shè)可得</p>

70、<p><b>　?。?6）</b></p><p>　　由范德蒙行列式可知（2）的系數(shù)行列式不等于零，再由推論2得，其中。</p><p>　　4.6 線(xiàn)性方程組在處理矩陣秩問(wèn)題中的應(yīng)用[14]</p><p>　　線(xiàn)性方程組的理論與矩陣的秩有很密切的關(guān)系，但一般我們討論如何用矩陣的秩來(lái)解決線(xiàn)性方程組的問(wèn)題，對(duì)如何用線(xiàn)性方程組

71、來(lái)討論矩陣的秩涉及的不多.而事實(shí)上很多矩陣秩的問(wèn)題，如果用線(xiàn)性方程組來(lái)討論的話(huà)是很容易解決的。本文通過(guò)實(shí)例介紹了線(xiàn)性方程組處理矩陣秩問(wèn)題中的應(yīng)用。</p><p>　　這里首先給出處理矩陣秩問(wèn)題中的三個(gè)基本定理。</p><p>　　定理1：線(xiàn)性方程組有解，這里分別是線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣。</p><p>　　定理2：若是矩陣，是齊次線(xiàn)性方程組的解空間，則

72、。</p><p>　　定理3：若齊次線(xiàn)性方程組和的系數(shù)矩陣和分別是與矩陣，則（1）若的解都是的解，那么；</p><p>　?。?）若與同解，那么；</p><p>　?。?）若的解都是的解，且，那么與 同解。</p><p>　　例：設(shè)和分別是與矩陣，且，則。</p><p>　　證明：設(shè)的列向量為，</p&

73、gt;<p><b>　　則，</b></p><p><b>　　于是，即為的解。</b></p><p>　　令是齊次線(xiàn)性方程組的解空間，則，</p><p>　　因此的秩，即列向量組的秩不大于的維數(shù)，即，故。</p><p>　　例：設(shè)和分別是與矩陣，且，則對(duì)任意矩陣，</

74、p><p><b>　　都有。</b></p><p>　　證明：由及的解都是的解，可知與 同解。設(shè)是的任一解，則，于是是方程組的解，從而是的解，因此，即是的解。另一方面，的解顯然是的解。</p><p><b>　　所以，與同解，故。</b></p><p><b>　　5 結(jié)論</

75、b></p><p>　　隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)計(jì)算中的很多問(wèn)題最終都轉(zhuǎn)化為一個(gè)求解線(xiàn)性方程組的問(wèn)題，那么如何快速、有效的求解線(xiàn)性方程組就成為研究的核心問(wèn)題。</p><p>　　本文首先介紹了線(xiàn)性方程組的背景及研究意義，其次介紹了線(xiàn)性方程組的定義，三種</p><p>　　表示形式以及解、解的結(jié)構(gòu)的概念，同時(shí)介紹了線(xiàn)性方程組有解的五個(gè)定理，然后列舉了線(xiàn)性方

76、程組的直接法中的初等變換法、回代法、Gauss消元法及克萊姆法則。Gauss消元法是一種計(jì)算量小而精度高的方法，對(duì)于中小型稠密矩陣是一種很有效的方法，Gauss消元法在對(duì)系數(shù)矩陣消元后，大多使用LU分解。徐曉飛、曹祥玉、姚旭、陳盼[13]指出LU分解在求解方程組時(shí)，把對(duì)系數(shù)矩陣的計(jì)算和對(duì)自由項(xiàng)的計(jì)算分開(kāi)了，這就使計(jì)算系數(shù)矩陣相同而自由項(xiàng)不同的一系列方程組變得特別方便，使線(xiàn)性方程組解題不再迂回復(fù)雜。而回代法是盡可能將所求線(xiàn)性方程組化成容易

77、求解的等價(jià)方程組，然后依據(jù)上述運(yùn)算得到一個(gè)等價(jià)的“嚴(yán)格三角形方程組”，再依次從下往上回代，此法簡(jiǎn)單易懂，讓我們處理問(wèn)題比較格式化。克萊姆法則給出了線(xiàn)性方程組有解的一個(gè)充分條件，并且給出了解的表達(dá)形式，它處理方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的線(xiàn)性方程組更加簡(jiǎn)單，快捷。</p><p>　　最后本文從幾何方面、空間向量、矩陣、廣義逆矩陣、多項(xiàng)式理論等方面來(lái)討論線(xiàn)性方程組理論在高等數(shù)學(xué)上的應(yīng)用。此些問(wèn)題欲要快速便捷的求得答案，

78、均需要建立線(xiàn)性方程組，再根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǖ玫絾?wèn)題的解。因此，可以看出線(xiàn)性方程組對(duì)于解決科學(xué)工程問(wèn)題有著舉足輕重的地位。在科學(xué)技術(shù)高速發(fā)展的今天，雖然我們已經(jīng)有足夠的理論和方法去解決實(shí)際問(wèn)題，但隨著科技的進(jìn)步，許多新的問(wèn)題不斷的涌現(xiàn)出來(lái)，所以我們必須掌握已有的理論，發(fā)展新的理論來(lái)迎接未來(lái)的挑戰(zhàn)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[

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