利用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和的方法【開(kāi)題報(bào)告】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開(kāi)題報(bào)告</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　利用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和的方法　　</p><p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)）</p><p>　　數(shù)列是數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容

2、，很多事物的一些關(guān)系可以運(yùn)用數(shù)列來(lái)表示，而數(shù)列求和是其很重要的內(nèi)容之一。數(shù)列求和的方法有很多：公式法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、分組法、裂項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、通項(xiàng)化歸、并項(xiàng)求和等等。但我們發(fā)現(xiàn)不是所有的數(shù)列都可以利用這些方法進(jìn)行求和，因此我們就需要去尋找新的方法。這時(shí)，我們不妨可以引入傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)對(duì)某些數(shù)列進(jìn)行求和。傅里葉級(jí)數(shù)是一種特殊的三角級(jí)數(shù)，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問(wèn)題時(shí)提出的。在中國(guó)，程民德最早系統(tǒng)

3、研究過(guò)多遠(yuǎn)三角函數(shù)級(jí)數(shù)與多元傅里葉級(jí)數(shù)，他首先證明多元三角級(jí)數(shù)球形和唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級(jí)數(shù)的里斯-博赫納球形平均的許多特性。有了傅里葉級(jí)數(shù)，我們也就可以在這個(gè)方向上對(duì)一類數(shù)列求和進(jìn)行探討。</p><p>　　傅里葉級(jí)數(shù)還曾極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展，在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用，對(duì)之后的研究影響深遠(yuǎn)。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題&l

4、t;/p><p>　　數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)之一就是尋找各種關(guān)系，并由此去探索擴(kuò)充某種思想的途徑，這些都要建立在歸納、總結(jié)的基礎(chǔ)上。所以，我們對(duì)利用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和的方法及其應(yīng)用做進(jìn)一步的歸納、總結(jié)（如[2]-[16]），進(jìn)一步深入的研究，使其得到更加廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　首先我們引入傅里葉級(jí)數(shù)的定義及展開(kāi)式等，為以后的討論做準(zhǔn)備：</p><p>　　傅里葉

5、級(jí)數(shù)，即Fourier series，定義作：如果一個(gè)給定的非正弦周期函數(shù)滿足狄利克雷條件，它能展開(kāi)為一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)。</p><p>　　設(shè)是以為周期的函數(shù)，通過(guò)變量置換或可以把變換成以為周期的的函數(shù)。若在上可積，則在上也可積，這時(shí)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式是：</p><p>　　， （1）</p><p>&l

6、t;b>　　其中</b></p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　因?yàn)?，所以。于是由?）和（2）式分別</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　與</b></p><p><

7、;b>　?。?）</b></p><p>　　這里（4）式是以為周期的函數(shù)的傅里葉系數(shù)，（3）式是的傅里葉系數(shù)。</p><p>　　若是以為周期的偶函數(shù)，或是定義在上的偶函數(shù)，則在上，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。因此，的傅里葉系數(shù)（4）是</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　于是的

8、傅里葉級(jí)數(shù)只含有余弦函數(shù)的項(xiàng)，即</p><p>　　， （6）</p><p>　　其中如（5）式所示。（6）式右邊的級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù)。</p><p>　　同理，若是以為周期的奇函數(shù)，或是定義在上的奇函數(shù)，則可推得</p><p><b>　?。?）</b

9、></p><p>　　所以當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，它的傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦函數(shù)的項(xiàng)，即</p><p>　　， （8）</p><p>　　其中如（7）式所示。（8）式右邊的級(jí)數(shù)稱為正弦級(jí)數(shù)。[1] </p><p>　　而不同類型的區(qū)間會(huì)有其與之相應(yīng)的傅里葉展開(kāi)式。

10、我們?cè)O(shè)在相應(yīng)區(qū)間上滿足Dirichlet充分條件。</p><p>　　定理1 設(shè)函數(shù)在上滿足Dirichlet充分條件，且，則有</p><p><b>　　其中， </b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　事實(shí)上，作 </b></p

11、><p>　　使在上分段光滑，將在上的作以為周期的延拓,由引理和基本情形易得在上的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　若取，則有</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　定理2

12、設(shè)函數(shù)在上滿足Dirichlet充分條件，且，則公式仍成立。[3]</p><p>　　下面，再來(lái)看傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的判定定理，重點(diǎn)看其中的兩個(gè)判別法，即Dini判別法和Jordan判別法。</p><p>　　首先我們記的傅里葉級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　Dini判別

13、法：若以為周期，在絕對(duì)可積，且存在，使得</p><p>　　存在，則的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂到，即。</p><p>　　Dini判別法的一個(gè)推論是Lipschitz判別，即：若以為周期，在絕對(duì)可積，且在滿足階的Lipschitz條件，即存在與常數(shù)，使得</p><p>　　成立，則的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂到。</p><p>　　推論1 若以為周期，

14、在絕對(duì)可積，且在有有限導(dǎo)數(shù)，則的傅里葉級(jí)數(shù)在收斂到。</p><p>　　推論2 若以為周期，在絕對(duì)可積，且在上處處可微，則的傅里葉級(jí)數(shù)收斂到。</p><p>　　Jordan判別法：設(shè)以為周期，在絕對(duì)可積，且為上的有界變差函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)處都收斂到 。[10]</p><p>　　除此之外，還有更加密的收斂性判定如一致收斂性、平均收斂性等。<

15、/p><p>　　有了這些基本定理和判別方法，我們可以進(jìn)一步研究利用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)這某一類數(shù)列求和的方法。</p><p>　　最后，舉例說(shuō)明利用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和的方法及其應(yīng)用。以一類數(shù)列加以說(shuō)明。</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)</p><p>　　研究的方法主要有類比法、歸納法、舉例法。技術(shù)路線：

16、通過(guò)圖書(shū)館以及因特網(wǎng)查找相關(guān)領(lǐng)域的最新理論、收集資料，對(duì)利用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要作用有較全面、綜合的認(rèn)識(shí)，通過(guò)老師的指導(dǎo)，同學(xué)之間的交流和溝通，收集整理文獻(xiàn)，反復(fù)討論研究問(wèn)題，界定相關(guān)概念，闡述理論基礎(chǔ)，實(shí)施研究方法，得出研究結(jié)論，總結(jié)研究啟示。</p><p>　　四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排</p><p>　　1.在導(dǎo)師的指導(dǎo)下收集資料，完成畢業(yè)論文的文獻(xiàn)檢索，泛讀

17、相關(guān)文章，形成系統(tǒng)材料。</p><p>　　（第七學(xué)期第9周至第10周）</p><p>　　2.研讀外文文獻(xiàn)，完成外文翻譯。</p><p>　?。ǖ谄邔W(xué)期第11周至第12周）</p><p><b>　　3.完成文獻(xiàn)綜述。</b></p><p>　?。ǖ谄邔W(xué)期第13周至第14周）</

18、p><p><b>　　4.完成開(kāi)題報(bào)告。</b></p><p>　?。ǖ谄邔W(xué)期第15周至第16周）</p><p>　　5.進(jìn)一步完善論文的資料、數(shù)據(jù)收集，精讀其中的重要參考文獻(xiàn)、列出文章的初步提綱。</p><p>　?。ǖ诎藢W(xué)期第1周至第2周）</p><p>　　6.開(kāi)展論文初稿撰寫工作。&

19、lt;/p><p>　?。ǖ诎藢W(xué)期第3周至第8周）</p><p>　　7.在導(dǎo)師的指導(dǎo)下對(duì)論文進(jìn)行反復(fù)修改。</p><p>　?。ǖ诎藢W(xué)期第9周至第10周）</p><p>　　8.對(duì)論文進(jìn)行完善，最后定稿。</p><p>　　（第八學(xué)期第11周至第12周）</p><p><b>

20、　　五、主要參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　[2] 劉杰民，劉金堂. 函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)[J]. 沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，21(5):87-89.</p><p>　　[3] 魏全順. 關(guān)于函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)系

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