數(shù)列求和的基本方法和技巧

1、12013427:數(shù)列通項(xiàng)、求和數(shù)列通項(xiàng)、求和一、求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法的歸納一、求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法的歸納：求數(shù)列通項(xiàng)公式常用觀察法、公式法、等差或等比通項(xiàng)公式法、遞增關(guān)系變形法（累加、累乘）等。1、公式法：，注意兩種情況能合并，則合并，不能合并，則分?)1()2(11?????nsnssnnna21??nn段表示。2、常見(jiàn)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：（1）、型（用累加法）)(1nfaann???即：，)1(1????nfaann…，，將上

2、述個(gè)式子相加，)2(21?????nfaann)1(12faa??1?n可得：)1()3()2()1(1???????nffffaanL（2）、型（用累乘法）1)1(???nnanfa即，，……..將上述個(gè)式子相乘，21)2(???nnanfa32)3(???nnanfa12)1(afa?1?n可得：。1)1()3()2()1(anffffan?????L（3）型（qpaann???1)??qp方法一：待定系數(shù)法，通過(guò)待定系數(shù)法求出的值

3、，構(gòu)造成以為首項(xiàng)，)(11mapmaqpaannnn????????m??ma?1以為公比的等比數(shù)列。p方法二：迭代法=qpaann???1qpqqpapqpqapqqapnnn?????????????)()(32222=????????qpqqpapn233=3211qqpqpqpapnnn????????????而是一個(gè)等比數(shù)列，求出其和，即可求出通項(xiàng)。qpqpqpqn????????22?（4）型)(1nfpaann???方法一

4、：待定系數(shù)法通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以??)1()(1???????nfmapnfmannm)1(1mfa?為公比的等比數(shù)列。p3題可用待定系數(shù)法得，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解待定系數(shù)法有時(shí)比疊代法來(lái)地簡(jiǎn)112123??????便例4設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，，，求數(shù)列通項(xiàng)公式na112a?231???nnaa?432?nna解：解：令，又∵，，∴，∴??112nnakak?????11313222nnnaaa????????432

5、?n1k??，又，∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即)1(2111?????nnaa112a?1?na12?21?，即11)21)(1(1?????nnaa1()12nna???四、四、，為常數(shù)為常數(shù))2(11?????nqapaannnqp方法：可用下面的定理求解：令為相應(yīng)的二次方程的兩根(此方程又稱(chēng)為特征方程)，??02???qpxx則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，其中分別由初始條件所???nnnaAB???????1)(???nnBnAa?BA2

6、1aa得的方程組和唯一確定1222ABaABa???????????12(2)ABaABa????????例5數(shù)列，滿(mǎn)足：，且，，求，nanb112(1)66(2)nnnnnnaabbab??????????21?a41?bnanb解：解：由得，，代入到式中，有)2(nnnbba???16112161?????nnnbba)1(，由特征方程可得，代入到式中，可得nnnbbb6512????2812233nnnb?????)2(14823

7、3nnna????說(shuō)明：說(shuō)明：像這樣由兩個(gè)數(shù)列，構(gòu)成的混合數(shù)列組求通項(xiàng)問(wèn)題，一般是先消去nanbna(或)，得到(或)，然后再由特征方程方法求解nb112?????nnnqbpbb112?????nnnqapaa五、五、型，這里型，這里為常數(shù)，且為常數(shù)，且)(1nfpaann???p1?p例6在數(shù)列中，，其中na21?a)(2)2(11????????Nnaannnn???，求數(shù)列通項(xiàng)公式0??na解：解：由，，可得，21?a)(2)2

8、(11????????Nnaannnn???0??1)2()2(111???????nnnnnnaa????所以為等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為)2(nnna???10故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為1)2(???nannn??nannnna2)1(????評(píng)析：評(píng)析：對(duì)的形式，可兩邊同時(shí)除以，得，)(1nfpaann???1?np111)(?????nnnnnpnfpapa令有，從而可以轉(zhuǎn)化為累加法求解nnnbpa?11)(????nnnpnfb