數(shù)學發(fā)展史概論-海城高中

1、<p><b>　　數(shù)學發(fā)展史概論</b></p><p>　　海城市高級中學校本課程教材(初稿)</p><p>　　高一數(shù)學組: 劉海波</p><p><b>　　李曉峰</b></p><p><b>　　目錄</b></p><p>

2、　　第一章 數(shù)學的產生與發(fā)展</p><p>　　第二節(jié) 數(shù)學的開始————————————————————————3</p><p>　　第一節(jié) 三個發(fā)展時期———————————————————————17</p><p><b>　　第二章 數(shù)學家史話</b></p><p>　　第一節(jié) 畢達哥拉斯和他的學派———

3、————————————————49</p><p>　　第二節(jié) 數(shù)學物理雙料大師——牛頓—————————————————53</p><p>　　第三節(jié) 多才多藝的萊布尼茨————————————————————62</p><p>　　第四節(jié) 幾何學里的哥白尼——羅巴切夫斯基—————————————70</p><p>　　第五節(jié) 最

4、勤奮的數(shù)學家——歐拉——————————————————76</p><p>　　第六節(jié) 偉大的數(shù)學家高斯—————————————————————78</p><p>　　第七節(jié) 數(shù)學成績不及格的數(shù)學家——————————————————82</p><p>　　第八節(jié) 數(shù)學奇才──伽羅華————————————————————86</p><

5、p>　　第九節(jié) 希爾伯特—————————————————————————87</p><p>　　第十節(jié) 數(shù)學奇才、計算機之父──馮·諾依曼————————————89</p><p>　　第十一節(jié) 自學成才的數(shù)學家——華羅庚———————————————92</p><p>　　第十二節(jié) 興趣是最好的老師——陳景潤———————————————9

6、8</p><p>　　第十三節(jié) 兩位卓越的女數(shù)學家———————————————————101</p><p>　　第三章 數(shù)學的發(fā)展過程中的轉折點</p><p>　　第一節(jié) 數(shù)學歷史上的三次危機———————————————————104</p><p>　　第二節(jié) 近代世界數(shù)學中心的轉移——————————————————106&l

7、t;/p><p>　　第一章 數(shù)學的產生與發(fā)展</p><p>　　第一節(jié) 數(shù)學的開始</p><p>　　在一百萬年前(也可能在兩三百萬年前)，地球上出現(xiàn)了最早的人類。原始的人類和大自然艱難地搏斗著。在長期的勞動中，他們不斷進步，慢慢地產生了“數(shù)”的思想。</p><p>　　他們找到了食物，會想到這是“有”；找不到食物，就會想到“無”。要

8、是找到大量的食物，他們認為是“多”；得到的食物不夠吃，他們認為這是“少”。有、無和多、少，是我們祖先最早概括出來的“數(shù)”的思想。</p><p>　　直到兩萬五千年前，人們說“用你的槍頭換我的鹿”的時候，還只能用一個指頭表示一只鹿，三個指頭表示三個槍頭。這種一個指頭表示一件東西、三個指頭表示三件東西的原始計數(shù)法，就是他們掌握的全部算術知識了。在那以后的幾千年里，他們一直把任何大于三的數(shù)量理解為“一群”，或者“一堆

9、”。</p><p>　　那時候沒有城鎮(zhèn)和村莊，人們過著群居穴處的生活：晚上，他們擠在深深的洞窟里，藏在茂密的林木中；白天，成群結隊地到處尋找可以獵取的鳥獸，采集能夠充饑的漿果、根莖和谷粒。這種生活是毫無保障的，常常是饑一頓、飽一頓。</p><p>　　在他們的財物中，除了御寒的獸皮、狩獵的武器、盛水的東西，也許還有熊牙或貝殼做的項鏈。他們的生活這么簡單，當然不需要更多的數(shù)學知識，就是那

10、種簡單的手指計數(shù)，也用得很少。</p><p>　　狩獵和采集的生活，更需要識別方向和區(qū)分季節(jié)的知識。有了區(qū)分季節(jié)的知識，就可以知道遠處樹林里的果實什么時候成熟；有了識別方向的知識，就能夠確定怎么去、又怎么回來。這些知識，是在漫長的年代里，不斷積累和豐富起來的。</p><p>　　在一個熟悉的地區(qū)漫游生活，山脈、湖泊、河流就能當作指示方向的路標?？墒牵既撕茈y在一個地方長期定居。樹林里

11、的漿果和塊莖，過一段時間就被吃光了；飛禽和走獸，為了躲避人們經常的襲擊，也逃到別的地方去了；特別是發(fā)生干旱的時候，人們不得不趕快離開熟悉的地方，去尋找新的水源。在完全陌生的環(huán)境里，指示方向的只有日月和星辰了。</p><p>　　太陽是最方便的路標。海邊部落的人們發(fā)現(xiàn)：太陽每天早上從波濤中升起，晚上落到山崗的后面去。他們就記住：初升的紅日指示著大海的方向；正在下落的夕陽指示著山崗的方向。</p>&

12、lt;p>　　晚上，用星辰來確定方向很可靠。我們不妨想象一下那時候的情景：夜幕降臨，人們在洞口或者土室、窩棚前點起一堆堆篝火，大家圍坐在篝火旁邊。他們抬頭凝視那神奇的天空——繁星點點，深不可測。經過了不知多少個夜晚的觀察，他們發(fā)現(xiàn)：一些星群組成的簡單形狀，每天晚上都能辨認出來，而且總是在天空的一定位置上，沿著一定的方向，緩慢地移動著。</p><p>　　在北邊的天空上，有一組最引人注目的星群，這就是我們現(xiàn)

13、在說的北斗七星。北斗七星屬于大熊星座，把這個星座比較亮的星合起來看，有點像一只大熊。斗頭上的四顆像是大熊身體的后部，斗柄的三顆像是大熊的尾巴。</p><p>　　離北斗七星不太遠的地方，還有一顆相當亮的星，那就是有名的北極星。它年年月月，總是出現(xiàn)在一定的地方，幾百年也很少變化，好像釘在那里不動似的。天長日久，我們的祖先就懂得了北極星是一個非常理想的路標！他們在長途跋涉中需要確定方向的時候，就等到夜幕降臨，在繁星

14、閃爍的天空，先找到北斗星，把斗頂兩顆連成一條直線，再朝著斗口的方向，把這條直線延長五倍的位置，在那個位置上就看到一顆比較亮的星，這就是北極星。找到了北極星，其他的方向就很容易確定了。</p><p>　　日月星辰不只是人類最早的路標，還是人類最早的時鐘。生活在熱帶北部的原始狩獵者，早晨總是看到在陽光下，東西的影子長長地向西指著；中午太陽升到最高點的時候，影子就很短，甚至看不到了；當太陽向西下落的時候，影子又長了，

15、并且不斷地向東面伸長。這樣，由影子的長短變化，他們就能夠大體估量出白天的時間了。</p><p>　　夜晚，他們發(fā)現(xiàn)圓月在空中最高點的時候，恰好是半夜。經過長久的觀察，他們還可以根據(jù)一些星群的位置變化，判斷夜間的時間。</p><p>　　要知道比一天更長的時間，想來我們的祖先一定是依靠月亮。一夜接一夜，他們看到月亮慢慢地由圓到缺，最后全看不見了。過了幾個漆黑的夜晚，月牙又重新出現(xiàn)，并且慢

16、侵地又變成圓月。</p><p>　　當圓月升起的時候，一個部落來到一片樹林邊。林子的枝頭上掛滿了果實，可是還沒有成熟。部落中有經驗的長者說話了：現(xiàn)在別搞這些果子，等下次月亮再圓的時候咱們回來，這些呆子就好吃啦！于是，大家又趕到更遠的地方去尋找食物。他們必須按時回來摘取成熟的果實，這就需要計算天數(shù)了。</p><p>　　對原始采集者來說，數(shù)天數(shù)是一個大難題。可不是嘛！時間一去不復返，數(shù)天

17、數(shù)不能象數(shù)死鹿那樣，把它們擺成一排，扳起指頭去數(shù)。開始，他們很可能是在樹上或者在棍棒和石頭上刻上一道痕，表示過去了一天，刻上兩道痕，表示過去了兩天。久而久之，他們發(fā)現(xiàn)，兩次滿月之間總是相隔三十天，并且用一道大點兒的刻痕來表示一次滿月。</p><p>　　月復一月，年復一年，他們逐漸察覺到滿月的次數(shù)和氣候的變化有關系。他們驚奇地發(fā)現(xiàn)：春、夏、秋、冬四季往復一次，恰好是十二次滿月的天數(shù)——三百六十天。于是第一個包括

18、四季的月歷產生了。</p><p>　　我們的祖先，就是這樣開始有了數(shù)數(shù)和觀察圖形的數(shù)學知識。</p><p>　　一萬多年前，隨著經驗的豐富、知識的增長和工具的改進，人類逐漸開創(chuàng)了嶄新的生活，這就是學會了種植和飼養(yǎng)！</p><p>　　在回到過去居住過的地方的時候，我們的祖先常常發(fā)現(xiàn)，上次被他們無意撒落的谷粒，現(xiàn)在已經發(fā)芽生長；被遺棄的小動物也長大了。慢慢地，他

19、們學會了種植植物，飼養(yǎng)動物。從此，他們不再四處飄流，靠采摘野菜和漿果生活，而是播種和收獲自己的大麥、小麥和谷子，還有豌豆、扁豆和胡蘿卜。在忠實的伙伴——狗的幫助下，他們馴養(yǎng)著羊、豬和牛。原始的采集者和狩獵者，開始變成了農民和牧民！</p><p>　　定居生活以后，人們的財物越來越多，這就需要經常記錄和計算耕具、土地、籬笆、莊稼和畜群了。最早的記錄方法，就是前面說到的，用一個記號表示一件東西、兩個記號表示兩件東西

20、，叫做“簽法”。在秘魯，印加人用在繩子上打結來記下收獲谷物的捆數(shù)。在我國，也有結繩記數(shù)的古老傳說。直到今天，在歐洲、亞洲和非洲的部分地區(qū)，還有一些牧羊人用在棍子上刻痕的辦法，來計算自己的羊群哩！</p><p>　　從事農牧業(yè)以后，人們必須準確地預計生羔、產犢和播種、收獲的時間，先前的簡陋月歷，顯然是不夠用了。要是用三百六十天的月歷來推算季節(jié)，頭一年差五天，第二年就會差十天，年數(shù)多了，就亂套了。這樣，編制精確的日

21、歷，就成為一件非常重要的事情。</p><p>　　記錄財物和編制日歷，促使人們發(fā)展書寫的數(shù)字。</p><p>　　我們今天知道的最早的書寫數(shù)字，產生在五千年前的埃及和美索不達米亞。埃及人是把數(shù)字寫在一種紙草上，美索不達米亞的巴比倫人是把數(shù)字寫在軟粘土上，他們都是用單劃表示個位數(shù)，用不同的記號表示十位數(shù)和更高位的數(shù)。三千年后，羅馬人照樣采用單劃組成一到四的數(shù)字，并且至今還有人在用.<

22、;/p><p>　　在我國殷代的甲骨文字中，就有很多是數(shù)字。殷代人已經能用成文數(shù)字記錄十萬以內的自然數(shù)。在他們的數(shù)字中，頭四個字，即一、二、三、四，也是由單劃組成的。左圖，是殷甲骨文、周秦金文、漢朝時候用的數(shù)字和現(xiàn)代漢語中的數(shù)字，我們從中可以看出它們之間的演變情況。</p><p>　　在早期的數(shù)字系統(tǒng)中，最引起人們興趣的，是美洲中部馬雅人的數(shù)字。馬雅人與歐洲、亞洲和非洲的文化完全隔絕。他們只

23、用三個符號——點、橫和橢圓，就可以寫出任何自然數(shù)。用點和橫可以從一寫到十九；在任何數(shù)下面加上一個橢圓，就是那個數(shù)放大二十倍。但是，在計算時間的時候，他們調整了記數(shù)規(guī)則：加第二個橢圓的時候，表示乘上十八，而不是二十。馬雅人所以做出這樣一條規(guī)定，大概是原始狩獵者的月歷是三百六十天的原故。</p><p>　　那時候，馬雅人也使用三百六十五天的太陽歷，一年被分成十八個月，每個月二十天，另外加上五天作為禁忌日。他們通常在

24、石柱上刻出人面形的獨特數(shù)碼記錄日期。</p><p>　　埃及：建筑、測量和三角形</p><p>　　非洲東北部有一條舉世聞名的大河——尼羅河。它穿過非洲北部的撒哈拉大沙漠，流入地中海，兩岸狹長地帶便成了肥沃的綠洲。河的下游流經的地方，孕育了最古老文明之一的埃及。</p><p>　　尼羅河三角洲一帶盛產一種水草，名叫紙草。古埃及人把紙草的莖一層一層地撕成薄片，再

25、一張一張地粘起來，就成了寫字用的紙。有不少古埃及紙草紙一直被保留到今天，成為我們考察埃及歷史文化的珍貴材料。</p><p>　　埃及人大約在公元前三千五百年就已經有了文字。保存下來的最早記錄數(shù)學知識的紙草紙現(xiàn)在珍藏在英國大英博物館。寫這份紙草紙的，是生活在公元前一千六百年到一千八百年間的阿摩斯。據(jù)他說，紙草紙上的內容，又是他從公元前兩千二百年以前的舊卷子上轉錄下來的。在這份紙草紙上，記載了一些分數(shù)和算術四則運算

26、的說明，還有關于測量的規(guī)則。</p><p>　　古埃及的皇帝叫做“法老”，著名的金字塔就是法老的墳墓。今天，在尼羅河三角洲南面，散布著七十多座金字塔。齊阿普斯皇帝的金字塔是其中規(guī)模最大的一座：塔高一百四十六點五米；塔基每面長約二百四十米，繞塔一周約一公里；塔內有甬道、石階、墓室等。這座金字塔是在公元前兩千八百年建成的，在一八八九年巴黎埃菲爾鐵塔建成以前的四千六百多年間，它一直是世界上最高的建筑物。這確實是了不起

27、的奇跡！古埃及人在建造這些巨大建筑物的過程中，積累了豐富的幾何學知識。</p><p>　　我們設想，在建造金字塔之前，一定得先畫出一張平面圖。估計這張圖是畫在粘土板上的，它大概就是世界上的第一張平面圖了。分析起來，制圖人肯定知道，圖樣和竣工后的建筑物，尺寸盡管可以不同，形狀卻是一樣的。由此可以判斷，當時的埃及人已經掌握了比例和相似形的知識。</p><p>　　畫出平面圖后，應該平出一大

28、片空地，在地上放出實際尺寸，準備動工。建筑材料都是幾噸重的大石塊，一座金字塔要用許多這樣的石塊。那時候還沒有發(fā)明車輛，也沒有像樣的道路，只能用船沿著尼羅河把石頭運到盡量靠近的地方，再用滾木把它們運到工地。每塊石頭都得事先按一定的形狀鑿好、磨平。石塊的每個角，都要用丁字尺或者三角板反復校正成直角。接著，鋪設龐大的石頭層作地基。第二層要按一定的比例小一些，并且使每一層正好放在下面一層的中間。這樣一層一層往上加，四面相等地縮小，最后準確地在塔

29、尖會合在一點。</p><p>　　一座金字塔，要用幾十萬人和幾百萬塊巨石，在幾十年的時間內才能建成，能夠不出差錯，你看古埃及人在設計、計算、測量和施工方面該有多么高明！</p><p>　　怎樣準確畫出直角，很可能是古埃及人要解決的最大難題。因為金字塔的地基必須嚴格地成為正方形，四個角就必須是嚴格的直角；不管是哪一個角有微小的偏差，都會使整個建筑物走形。那時候還沒有發(fā)明測量儀器，要做出周

30、長一公里那么大的正方形，實在不簡單!</p><p>　　他們很可能是這樣來解決這個問題的：先在地上打進兩個木樁，然后繃緊木樁間的繩子，這樣就畫出一條直線，成為金字塔的一條邊線。然后，在兩個木樁上各系上一條繩子，繩子的長度要超過兩個木樁距離的一半。拉緊繩子的末端，以木樁為原點轉動，畫出兩條相交的圓弧來。過這兩條圓弧的交點，畫出另一條直線，和頭一條直線相交，夾角就是準確的直角。這后一條直線，就是地基的另一條邊線。&

31、lt;/p><p>　　那么，要檢查墻壁或者巨石的一面是否直立，怎樣在空中做出直角來呢？古埃及人巧妙地使用了錘準線。這個方法直到今天還在使用著。錘準線自由擺動，在空中畫出圓弧，當它停下來的時候就與地面成直角。要是墻壁能和錘準線平行，它就和地面垂直。</p><p>　　現(xiàn)在，我們都知道畫直角的簡便方法是使用直角三角板。但是，這必須首先做出一個直角三角形來。</p><p&g

32、t;　　古埃及人使用繩子丈量土地。職業(yè)結繩者的工作就是在測量用的繩子上打出等間隔的繩結?？赡芫褪撬麄冏钕劝l(fā)現(xiàn)了某些長度一定的三條繩子所組成的三角形，其最長邊所對應的那個角是直角。其中一種是由3個、4個、5個等間隔的繩結長度組成的；另一種取5個、12個、13個等間隔的繩結長度。把窄木條鋸成這樣的長度，首尾相接，就做成一個直角三角板。有了這種三角板，以后的測量和畫圖就方便了。</p><p>　　農民在蓋自己住的小屋

33、的時候可以說：“我這個屋子六步長，四步寬，屋頂比我腦袋高一柞”。設計大型建筑金字塔可不能這樣。因為工人成千上萬，每個人的步和柞都不一樣。于是，他們就規(guī)定出以某一個人——據(jù)說是當時國王身體的某一部分的長短，作為標準單位；再按這個標準單位，制作一定長度的木頭條或者金屬條，作為大家通用的度量工具。這就是最早的尺子。</p><p>　　在埃及，主要的長度單位是腕尺，它是自肘到中指尖的長度。小一些的單位有：掌尺，它等于七

34、分之一腕尺；指尺，它等于四分之一掌尺。因為那時候的埃及人理解分數(shù)的意義非常費勁，所以這些小單位很有用。今天，人們熟悉分數(shù)了，但是在習慣上，大家一樣喜歡用小單位。比如英國人和美國人總是說七英寸，不肯說十二分之七英尺。在我國，有說半尺的，但是誰也不說十分之五尺。</p><p>　　每年收獲季節(jié)，埃及的僧侶都要向農民征收賦稅。農民主要是上交自己的農產品，這就需要標準重量單位來稱量谷子、油、酒等；而捐稅的多少，又是按土

35、地的多少來定的，這又需要丈量和計算土地面積了。</p><p>　　求面積的方法，最初很可能是工匠在鋪設方磚地面的時候學會的。他們發(fā)現(xiàn)：一塊地面，如果是三磚長、三磚寬，需要鋪九塊磚(3×3)；另一塊地面，三磚長、五磚寬，就需要鋪十五塊磚(3×5)。這樣，計算正方形和長方形的面積，只消用長乘以寬就行了。</p><p>　　但是問題在于，不是所有的土地都是正方形或者長方形

36、。有些土地，好像那兒都是邊，那兒也有角，形狀很不規(guī)則，把它們分成若干個三角形倒是方便的。怎樣才能求出三角形的面積呢？其實，一旦掌握了長方形和正方形面積的求法，三角形面積也就不難求了。</p><p>　　一塊正方形的麻布，可以折疊成兩個大小相等的三角形，每個三角形的面積，恰好是正方形面積的一半。估計古埃及人正是從這類簡單的線索中，學會了求三角形面積的方法：長乘寬，再除以二。</p><p>

37、;　　測量土地的工作，想來是十分繁重的。因為埃及的土地主要分布在尼羅河沿岸，每年七月中旬，河水開始泛濫，淹沒大量土地，一直到十一月才開始退落。洪水退去后，田野里留下一層肥沃的淤泥，幫助農民獲得好收成；可是洪水把地界沖掉了，年年都得重新測量土地。因此，人們常把幾何學起源于埃及的原因，歸功于尼羅河水的泛濫。</p><p>　　在大量的測量工作中，埃及人當然會碰到“圓”這類難辦的圖形。他們感到難辦的地方，是無法把圓分

38、成許多塊三角形，而每一塊都是由三條直線組成的標準三角形。因此，古埃及人認為圓是天賜予人們的神圣圖形。今天，我們都很熟悉圓，天天和圓打交道，可是要認識和掌握好圓的性質也不容易。</p><p>　　實踐出真知。早期的埃及人，一定是用繩子繞木樁的方法來畫圓。他們從長繩子畫出來的圓大，短繩子畫出來的圓小，知道了圓面積的大小，是由圓周到圓心的距離來決定的。這就是我們常說的半徑。</p><p>　

39、　到了三千五百年前左右，當金字塔已成為古跡的時候，一個叫阿赫美斯的埃及文書，寫出了一條這樣的法則：圓的面積，非常接近于半徑為邊的正方形面積的三又七分之一倍。這在當時是很了不起的發(fā)現(xiàn)！</p><p>　　阿赫美斯是怎樣得到這個求圓面積的方法的，我們恐怕永遠弄不清楚，只能猜想他大概還是用劃三角形的方法。現(xiàn)在，他的紙草紙手稿裝在精致的鏡框里，懸掛在倫敦大英博物館里。</p><p>　　分散在

40、世界各地博物館中的紙草紙手稿，雖然能幫助我們了解古埃及的數(shù)學，不過現(xiàn)有的大部分資料，還是從考察尼羅河畔的古建筑得來的。</p><p>　　有的金字塔，四面準確地對著東西南北，可見古埃及人確定方向的本領很高明。他們可能是根據(jù)一個高大的石柱陰影，來確定東西南北的。</p><p>　　有一座大廟的遺址，至今屹立著一排柱子。在一年三百六十五天中，只有夏至這一天早晨的陽光，能沿著這一排柱子照射進

41、去。數(shù)一數(shù)太陽光兩次正好沿著這行柱子照進廟堂的天數(shù)，這就是一年的長短。</p><p>　　在測定時間方面，埃及人也是根據(jù)日月星辰的位置和物影來確定的。不過，他們比原始狩獵者和采集者進步得多。早晨，原始人看到長長的物影，頂多只能說“時間還早啦!”埃及人有日規(guī)，看看有刻度的木條上的影子，就能說出“上午第二個時辰快到了！”</p><p>　　從此，人們有了真正的科學。不過，古埃及留下來的許多

42、圖畫，畫的是上帝掌管日夜時辰的忙碌情景。看來他們是背著一個十分沉重的迷信包袱，在科學的道路上艱難地摸索著。</p><p>　　美索不達米亞：貿易、天文和圓</p><p>　　尼羅河三角洲以東，大約一千六百公里的地方，奔流著另外兩條大河，一條叫底格里斯河，一條叫幼發(fā)拉底河。這兩條河發(fā)源于今天的土耳其境內，流經敘利亞，在伊拉克南部匯合成阿拉伯河，最后流入波斯灣。兩河之間和沿岸一帶叫做美索不

43、達米亞，是另一個最古老的文化發(fā)源地。</p><p>　　“美索不達米亞”一詞是希臘語，意思是“兩河中間的地方”。它西接阿拉伯沙漠，東鄰扎格羅斯山脈。很早以前，人類就在那里生息繁殖，曾經建立了巴比倫等古國，并且創(chuàng)造了輝煌的美索不達米亞文化。</p><p>　　歷史學家把這支古老的文化分為蘇馬連、巴比倫、亞述和迦勒底四個時期。蘇馬連人是美索不達米亞文化的創(chuàng)始者，他們在五千年以前就有了象形文

44、字。后來的巴比倫人和亞述人繼承和發(fā)展了蘇馬連文化，使得美索不達米亞在數(shù)學和天文學方面的一些成就超過了埃及。</p><p>　　在美索不達米亞和在埃及一樣，文化主要把持在統(tǒng)治階級僧侶手里。大約在公元前兩千年，兩地的僧侶分別建立了寺廟圖書館，把記載著各種知識的秘本收藏在里邊。除了少數(shù)僧侶外，一般人是無法閱讀這些書的。這樣也就影響了這兩支古老文化的傳播和交流。</p><p>　　美索不達米亞

45、很早就有大量的對外貿易。它自己沒有建筑用的木材，沒有僧侶和君王穿戴的綢緞和寶石，沒有做豐盛佳肴的調料，缺少制作寺廟供器的貴重金屬。為了得到這些東西，許多商人趕上毛驢或者駱駝，組成商隊，翻過扎格羅斯山，穿過阿拉伯沙漠，西到黎巴嫩買杉木，北到小亞細亞買金、銀、鉛、鋼，東面可能遠到印度和中國，去換回絲綢、染料、香料和寶石。</p><p>　　商人們在貿易中就會遇到計量的問題。起初，他們買賣商品不是論斤兩，而是按馱。比

46、如一頭驢馱的糧食換一頭驢馱的棉花。但是在進行昂貴商品交易的時候，就必須精打細算了。于是，隨著貿易的發(fā)展，天平和標準容器在美索不達米亞普遍使用起來。商人們在稱量笨重物品的時候，用泰侖為單位(約合25公斤)，稱量精細物品的時候，以舍克為單位(約合9克)。</p><p>　　以物易物，給商人們帶來沉重的負擔和很多的不便。比如想要用糧食換木材，但是有木材的不一定要糧食；而要糧食的又不一定有木材。要是有一種東西大家都愿意

47、要，那么商人們之間的貿易就會方便得多了。曾經有一個時期，差不多人人都愿意要大麥。那時候大麥除了做面包和釀酒外，還可以用來支付工資和換取任何別的東西。這樣，商人們到外地做買賣，只要用毛驢和駱駝馱上大麥去，就很快換回自己所需要的東西了。</p><p>　　后來，人們發(fā)現(xiàn)銀子能換的東西多，攜帶方便，久放不壞，人人都愿意要，是一種做買賣的好物品。開始，商人們按照成交的多少，每次都得稱量銀子。以后，就鑄造成一小塊一小塊的

48、銀條，每塊銀條上都標好了重量。這就是世界上最早的金屬貨幣。我國古代用銀子買賣東西的情況也是這樣。</p><p>　　金屬貨幣的出現(xiàn)，使人們第一次有了一種可以長期儲存、又不會變壞的財富。它促進了貿易和生產的發(fā)展！</p><p>　　隨著貿易范圍和數(shù)量的不斷擴大，人們需要經常掌握買進和賣出的情況，于是又出現(xiàn)了記賬和算賬的問題。</p><p>　　古老的美索不達米亞

49、文字和書寫材料使得記賬成為一項非常艱巨的工作。書寫的時候，得先把粘土做成方形的板磚，然后用尖木棍在上面刻字，最后把泥板放在太陽下曬干或者在火上烤干。這么復雜的過程，寫起來很慢，改寫、保管和查看也很不方便。不過，一經寫成就不容易損壞了。近年來，考古學家在兩河流域發(fā)掘出成千塊這種刻有楔形文字的泥板，雖然經歷了幾千年，上面刻寫的圖文仍然清晰可見。這是我們了解古代美索不達米亞文化的重要依據(jù)。</p><p>　　盡管當時

50、美索不達米亞的對外貿易量大，有相當精密的度量衡，又有了金屬貨幣，但是它的文字記賬方法實在落后。幸好，那時候一般人都不采用書面的計算法，而是在地上鋪一層沙子，在沙子的溝里放小石子進行計算。這個裝置和埃及人的辦法差不多，我們也可以把它叫做原始的算盤。它雖然簡陋，卻方便好用。</p><p>　　在美索不達米亞商人的算盤里，當一個石子在溝與溝之間移動的時候，數(shù)值也跟著相應變化：第一行為1，第二行為10×1，第

51、三行為10×10×1，在第四行為10×10×10×1，如此等等。就是說，每一行溝里的石子比它前一行里的數(shù)值大十倍，比它后一行里的數(shù)值小十倍。用我們現(xiàn)在的話來說，這就是以十為基數(shù)。</p><p>　　大多數(shù)的古代數(shù)字系統(tǒng)都用十做基數(shù)。我們猜測，人們在開始的時候大概都是用十個手指來數(shù)數(shù)的。其實，“十”這個數(shù)并沒有什么奇特的地方，用別的數(shù)做基數(shù)也同樣很方便。美洲中部的

52、馬雅人以二十為基數(shù)，想來他們在開始的時候，很可能是用手指和腳趾一起來計數(shù)的。</p><p>　　美索不達米亞人有時也以六十為基數(shù)。由巴比倫人創(chuàng)造的六十進位制一直沿用到現(xiàn)在。我們今天計算時間，就是把一小時分成六十分鐘，一分鐘又分成六十秒；對于地球經緯度的劃分，也是把一度分成六十分，每一分又分成六十秒。六十進位制的產生，可能是和天文學的發(fā)展有關系。蘇馬連人和巴比倫人在天文學上曾取得了很高的成就。</p>

53、<p>　　除了算盤，美索不達米亞人還掌握了另外一些簡便的數(shù)字計算方法。在靠近幼發(fā)拉底河岸的古代廟宇圖書館遺址里，曾發(fā)掘出大量的粘土板。有不少粘土板上刻著乘法表和加法表，還有一些刻著平方表。他們用簡單的平方表，就能很快算出任何兩數(shù)相乘的積?，F(xiàn)在，我們來看他們是怎樣算96×102的：　　第一步，(102+96)÷2＝99；　　第二步，(102-96)÷2＝3；　　第三步，查平方表，知99的

54、平方是9801；　　第四步，查平方表，知3的平方是9；　　第五步，9801-9＝9792＝96×102。</p><p>　　美索不達米亞人的這種求積方法是正確的，我們用現(xiàn)在的代數(shù)方法很容易弄清楚它的原理。</p><p>　　利用平方表做乘法沒有算盤方便，所以它不像算盤那樣流傳廣，使用時間長。在很長的時期里，歐洲的商人和店員都喜歡使用象算盤那樣的計算板。在中國、日本和前蘇聯(lián)

55、，至今還有許多人使用著算盤。</p><p>　　中國和日本的算盤屬于同一個來源。它的特點是梁下以一珠當一，梁上以一珠當五。這是在以十進位的基礎上，添了一個五進位的中間單位。這樣不僅節(jié)省了算珠，而且增加了計算的速度。</p><p>　　大約在六千年前，美索不達米亞人做出了世界上第一個輪子。這是人類史上最偉大的發(fā)明之一！你想，即使是今天最現(xiàn)代化的機械，也幾乎沒有一樣能夠離得開輪子的。<

56、;/p><p>　　最初的輪子簡單得很。它是用木頭做成一個圓盤，中間挖一個洞，穿過一根木頭做軸，使圓盤能繞著軸轉動。</p><p>　　到了巴比倫和亞述的時候，出現(xiàn)了打仗用的戰(zhàn)車和進行貿易的車輛。車上的輪子已經有了輻和轂等，和今天還能見到的老式車輪差不多。美索不達米亞人還發(fā)現(xiàn)圓木輪的其他用途。比如陶工利用旋輪制作精細的器皿，建筑工人利用滑輪吊起重物等。</p><p>

57、;　　由于輪子是美索不達米亞人發(fā)明的，很容易使人想象他們在那個時候一定掌握了不少關于圓的幾何學知識。實際上，他們甚至還不如埃及人。埃及人計算圓的周長時，是把圓的直徑乘以3.14；而美索不達米亞人在計算時用的是3。我們知道，圓周率π＝3.14159……，是一個不循環(huán)的無限的小數(shù)，叫做無理數(shù)，用3來代替它，就是用正六邊形的周長來代換圓的周長，是相當粗糙的計算方法。</p><p>　　美索不達米亞人對圓的認識雖然比埃

58、及人差，可是他們實際運用幾何的能力，特別是在天文方面卻比埃及人先進。他們把太陽在天上一晝夜經過的軌道分成三百六十度。后來又把這種分法應用于一切圓形物體。他們已經會區(qū)分恒星和行星，給五個行星起了專門名稱，這就是金星、火星、木星、水星、土星。</p><p>　　在一部五千年前獻給巴比倫國王的占星學著作里，已經列出了一個很長的蝕虧表，表中關于日食和月食的日期相當準確。</p><p>　　巴比

59、倫的空氣清朗，僧侶們每夜觀察天空的景象，并把他們的觀察結果記錄在土碑上。他們逐漸看出天文現(xiàn)象的周期性，覺察到某些天體的運動是有規(guī)律的。有一個文件說，他們已經能夠計算出太陽和月亮的相對位置，所以能夠預測日食和月食。</p><p>　　現(xiàn)在我們知道，地球自轉一周是一日；月球繞地球轉動一周為一月；地球帶著月球繞太陽公轉一周為一年。它們的運動都有各自的軌道。我們還知道，月球不會發(fā)光，月光是太陽光在月球表面上反射出來的。

60、當?shù)厍蜻\動到太陽和月亮之間的聯(lián)線上時，太陽射到月球上的光線被地球遮住了，月球正好在地球投下的陰影里，月蝕就發(fā)生了。同樣的道理，如果月球運動到地球和太陽之間的聯(lián)線上，日蝕就發(fā)生了。美索不達米亞人能夠比較準確地預告日食和月食，說明他們很可能也懂得了我們上面說的道理。</p><p>　　美索不達米亞人看到月偏蝕的時候，月亮上的陰影總是帶著圓邊，于是就猜到了地球本身也是圓的?？脊艑W家曾經發(fā)現(xiàn)了一些巴比倫時代描繪的想象地

61、圖，形狀就跟我們今天用的硬幣差不多；還發(fā)現(xiàn)了這樣的地圖，巴比倫居中，并且占的面積很大。</p><p>　　腓尼基：航海、星辰和字母</p><p>　　古代稱為腓尼基的地方在地中海東岸、黎巴嫩山西側，也就是現(xiàn)在的敘利亞沿海的那部分。那里有十幾個沿海城市，每個城市都是附近地區(qū)的政治中心，也都是獨立的國家。腓尼基的文化和歷史可以追溯到公元前四千年。</p><p>　

62、　公元前一千五百年左右，腓尼基的海外貿易蓬勃發(fā)展，許多腓尼基人縱橫航行于地中海，往來各地進行交易，很快便以勇敢的航海家和商人聞名于世。</p><p>　　在遠航和貿易中，腓尼基人遇見了歐洲和大西洋沿岸文化落后的民族，也看到了文明的埃及人和美索不達米亞人。他們從一個地方到另一個地方，運回了各式各樣值錢的貨物，也帶回了各地的科學文化知識。</p><p>　　有些知識在近海地方是盡人皆知、習

63、以為常的，而對長期住在內陸的人來說會覺得十分費解。比如巴比倫的農民經常看到的是原野，所以認為“地平如鏡”，當他們聽到大地是圓球狀的時候，自然是一笑置之，不會接受。腓尼基人與海為鄰，在日常生活中就認識到了這一點。</p><p>　　航船進港，人們在陸地上首先看到的是桅桿的頂部，然后出現(xiàn)了風帆，最后才是整個的船；而船上的人是先看到岸上山峰的峰頂，接著是低處的山坡和建筑物，最后才是港口的全貌。人們從這些現(xiàn)象里，自然會

64、得出結論：大地的表面是彎曲的!</p><p>　　腓尼基人長期在狹長的地中海中航行，一般總能看到陸地或者飛鳥，駕駛員只要能辨認出這些陸地標志就行了，用不著更多的航海知識。后來，雄心勃勃的腓尼基人穿過直布羅陀海峽，駛進了大西洋。那里沒有熟悉的陸標指引航向了，他們不得不自己記錄船只的航向和航程了。</p><p>　　沿著歐洲海岸南北航行，腓尼基人見到了一幅完全新的天空變化景象。一年里，不管

65、是哪一天，在北方港口看到中午的太陽總是比在南面港口看到的低一些，桅桿投下的影子也長一些。同一天里，中午的太陽影子在不同地方的長度不同，這就是航海者標記港口位置的最早方法。夜晚向北航行時，他們會發(fā)現(xiàn)北極星每晚都會升高一點；而當他們沿非洲海岸向南航行時，北極星又會每晚向地平線下落一點。</p><p>　　很早以前，人們就發(fā)現(xiàn)了陽光、月光和星光是平行的直線。腓尼基人把這個古老的知識和太陽在不同緯度以不同的角度砌的現(xiàn)象

66、聯(lián)系起來，更加確認大地是圓球狀的。陽光平行照射在地球表面上，如果大地真是“地平如鏡”的話，那么不管在什么地方，陽光的入射角應該都一樣了。</p><p>　　他們在航行中還有一些發(fā)現(xiàn)，也加強了對地球的這個認識。在家鄉(xiāng)時，一年三百六十五天，每一天中午的太陽影子總是指向北邊的。但是在非洲西海岸一定的地方(大約在北緯二十三度半的北回歸線)，夏至日中午的陽光卻在人們腦袋頂上直射下來，沒有影子。這一天要是再往南一點，影子就

67、指向南了。</p><p>　　一個偶然的機會，一只腓尼基船沿著非洲西海岸向南遠航。快到赤道時，船員發(fā)現(xiàn)北極星幾乎就落到地平線上了；再往南走，就完全看不見了。這時，夜幕上出現(xiàn)了許多在北方從沒見過的星星和星群。</p><p>　　腓尼基的航海家，用他們新的天文經驗和認識，開創(chuàng)了新的航海科學，促進了幾何學的進一步發(fā)展。在美索不達米亞文化的早期，人們就已經知道把圓劃分成三百六十度；到了這時，人

68、們把跨越地球南北極的大圓(圓平面經過地球的球心)，也用同樣的方法來劃分。</p><p>　　隨著時間的流駛，腓尼基人的海上地位逐漸衰落了，代之而起的是西西里、克里特、塞浦路斯和希臘。大約在公元前四百年，希臘地理學家畫的航海圖上已經可以認出地中海的海岸線來，希臘很快成了海上強國，但是它的先進的文字卻是來源于腓尼基。腓尼基人最早使用字母文字，用數(shù)量不多的表示聲音的簡單符號，代替了大量的表示語言或意思的象形符號，非常

69、簡便，非常好學。公元前六百年，希臘人把腓尼基字母用于自己的語言。現(xiàn)代歐洲各國的拼音文字差不多都來源于經過改造的腓尼基字母。</p><p>　　希臘： 爭論、證明和創(chuàng)新</p><p>　　和埃及、美索不達米亞、印度、中國相比，希臘形成國家要晚一些。但是，從對人類科學文化發(fā)展的貢獻和影響來看，希臘完全可以和這些最古老的國家比美，它被稱為歐洲的文明古國。</p><p&g

70、t;　　古代希臘包括巴爾干半島的南部，愛琴海和愛奧尼亞海的島嶼，還有克里特島和小亞細亞的沿岸地區(qū)。半島的東岸彎拐曲折，海灣很多，風平浪微，有許多優(yōu)良的港口。</p><p>　　古希臘人非常喜歡旅行和出海貿易，這使他們很早就接觸了先進的東方文化。那時候，奴隸擔負日常勞動，奴隸主就有足夠的時間去評論市政、爭辯法律訴訟和海外新聞，以此作為時髦的消遣。于是，那些善辯的人經常把一些人聚集在自己的周圍作為門徒。</p

71、><p>　　公元前五百多年，畢達哥拉斯建立了青年兄弟會，以秘密的形式向會員傳授數(shù)學知識。一個世紀后，雅典出現(xiàn)了學校，給青年講授法律、政治、演說和數(shù)學方面的知識。新式的學校里沒有了那種神秘的色彩，不論教師和學生，什么都可以寫出來給人看。這種公開研究，自由爭論，促進了一種新的數(shù)學思想和方法的產生。</p><p>　　很早以前，人們就知道了邊長為3、4、5和5、12、13的三角形為直角三角形。畢

72、達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這兩套數(shù)字的共同之處：最大數(shù)的平方等于另外兩個數(shù)的平方和，即3²＋4²=5²；5²＋12²=13²。這就是說，以直角三角形最長邊為邊長的正方形面積，等于兩個短邊為邊長的兩個正方形面積的和。</p><p>　　接著，畢達哥拉斯又研究了這樣兩個問題：一、這個規(guī)律是否對所有的直角三角形都成立？二、符合這一規(guī)律的任何三角形是否一定是直角三角形？&

73、lt;/p><p>　　畢達哥拉斯搜集了許許多多的例子，都肯定回答了這兩個問題。據(jù)說，他為了慶祝自己的這個發(fā)現(xiàn)，曾殺了一百多頭牛，舉行了一次大宴會。這就是幾何學中的勾股定理為什么又叫做畢達哥拉斯定理的由來。</p><p>　　希臘的數(shù)學教師同時也講授法律。學生學習數(shù)學也象學習法律那樣，對教師給出的每一條法則都提出自己的異議，并且要求教師對所有的概念都作出準確的定義。這樣就使得教師面臨非常艱巨

74、的任務，尤其是下定義，可不是一件容易的事。比如，怎樣確切地定義一條直線？怎樣給出圓的定義？怎樣使別人不會把它們理解成別的圖形？……</p><p>　　不知經過了多少次的爭論，人們才逐步意識到，最好的辦法就是直截了當?shù)財⑹鲈鯓佑霉ぞ咦龀鰣D形的。要用工具畫圖，這又引出了一個問題：什么工具是大家都同意使用的呢？那時的希臘人畫幾何圖形規(guī)定只準用畫線的直尺和畫圓的圓規(guī)。</p><p>　　在希臘

75、之前的漫長年代里，人們已經知道了許多求面積和測角度的知識。可是誰也沒有想到過用推理的方法把這些知識聯(lián)系在一起，找出它們之間的內在關系，并且證明它們是可靠的。這就是說，這時的幾何知識還處于零散的、互不聯(lián)系的狀態(tài)之中。沒有系統(tǒng)，就沒有幾何學。</p><p>　　好辯的希臘人，堅持每一個幾何定律都必須通過辯論的驗證，并且對各種相反的意見一一做出答復。這樣，在證明新的定律時，就可以直接引用已經證明過的定律，而無需一切都

76、從頭開始。細心的希臘人對幾何知識從不輕信，他們破格相信的只是那些十分清楚的解釋和概念。他們從指導思想和具體方法兩個方面，推動了幾何學的形成和發(fā)展。</p><p>　　大約在公元前三百年，歐幾里得寫了一套叫做《幾何原本》的數(shù)學教科書，把希臘人在這方面的成就傳給了我們。一千年后，許多希臘著作都散失和毀掉了，而《幾何原本》卻被譯成阿拉伯文，作為穆斯林大學的教本。直到五十年前，歐洲和美洲各國的學校還在用翻譯的《幾何原本

77、》作教科書。就是今天，初中學校里講授幾何學的主要內容也是來自歐幾里得幾何學。</p><p>　　幾何學的建立為測量、建筑、航海、天文，甚至為城市規(guī)劃、樂器設計等提供了必要的工具。</p><p>　　在畢達哥拉斯時代，希臘人知道的幾何法則中有這么兩條：一、任何三角形的三個內角和等于兩個直角；二、三角形的兩個內角相等，它們的對應邊也相等。由第一個法則可以得到：如果三角形中有一個角是直角，另

78、一個角是45°，那么第三個角也一定是45°；由第二個法則可以得到：對應于兩個45°角的邊一定相等。他們根據(jù)這兩條法則，就可以利用陽光測量出地面上的物體高度了。</p><p>　　當陽光成45°照射地面時，一根直立在地面上的柱子，連同它的影子和陽光，恰好組成這樣一個三角形，測量柱高就不用爬到柱子上去了。因為柱子和它的影子都對應著45°的角，二者是等長的，只要量出影

79、長就行了。</p><p>　　當然，這個原理在其它許多方面也用得著。例如，要在岸上測出海上的船只離岸多遠，只要在岸上確定兩個點，使一個點與船的聯(lián)線和海岸成直角，另一個點與船的聯(lián)線與海岸成45°角，那么岸上兩點間的距離，就是船與海岸的距離。</p><p>　　這種方法，由于有45°角的要求，在實際測量中受到很大的限制。古埃及人在測量金字塔的高度時，使用了三角形的另一個

80、法則：任意兩個三角形，如果對應角相等，那么各組對應邊的邊長的比也相等。這樣，直立在地面上的木桿高度，與它正午影子的長度比，就和金字塔的高度，與它正午影長加上地基寬度一半的比相等。木桿的高度和影長，金字塔的影長和地基的寬度都可以直接量出來。所以，金字塔的高度根據(jù)比例關系就能算出來了。</p><p>　　掌握了對應三角形的法則后，角度限制沒有了，一年四季里不管什么時候，都可以利用陽光來測量高度了。需要指出的是，古埃

81、及人雖然會使用這個法則，卻不會象希臘人那樣能嚴格地證明它。</p><p>　　公元前332年，古希臘的亞歷山大大帝征服了埃及，下令在那里建造了亞歷山大城。后來，這個城成了地中海的學術中心。</p><p>　　大約在公元前240年，亞歷山大城的教師伊拉托瑟尼算出了地球子午線的長度，這是幾何知識在歷史上的一次重大應用。</p><p>　　伊拉托瑟尼從資料中得知阿斯

82、旺附近的西恩正好在北回歸線上。因為夏至那天的中午，在那里的深井里能看到太陽的倒影。這表明太陽正好在頭頂?shù)恼戏剑柟獯怪钡孛?，直射向地球的中心。同是夏至這一天中午，他測量了亞歷山大城的一根柱子的影子，算出了陽光偏離垂直方向7.2°。因為陽光是平行直射地面的，所以入射角度的這種差異應該是說明了地球表面的彎曲情況。</p><p>　　現(xiàn)在我們來看看伊拉托瑟尼是怎樣運用幾何知識算出地球子午線的長度的。如圖，

83、畫兩條平行線：一條表示亞歷山大城的太陽光線；另一條表示西恩的太陽光線。畫亞歷山大城的垂直線—柱子，它切割當?shù)氐墓饩€成7.2°；切割西恩的光線于地球中心。</p><p>　　根據(jù)平行線的內錯角相等的知識，伊拉托瑟尼知道：亞歷山大城、地心、西恩間的角度也是7.2°；而7.2°正好是360°圓的1/50。</p><p>　　因為西恩在亞歷山大城的正南，

84、所以兩地間的道路大體上就在跨越南北極的大圓上。這樣，伊拉托瑟尼根據(jù)西恩到亞歷山大城是480英里，就算出了地球大圓的周長等于480英里的50倍，得到24000英里(相當于38623公里)，這就是地球子午線的長度了。我們知道，現(xiàn)在測得的地球子午線的長度是40008.5公里，伊拉托瑟尼的誤差還不到4％。在麥哲倫首次環(huán)球航行前一千七百多年，就給出了如此精確的近似值，這確實是驚人的成績！</p><p>　　和伊拉托瑟尼大

85、體同時的阿基米得是那個時代最卓越的數(shù)學家、物理學家和機械發(fā)明家。他制造了石弩和弩炮來打擊敵人，保衛(wèi)自己的國家。他做出了緊貼圓筒內壁的旋轉器來抽水，解決了農田灌溉和船艙排水的困難。著名的浮力原理，也是他在判斷皇冠是純金還是金銀混合物時發(fā)現(xiàn)的。今天我們用來測量液體密度的比重計，就是依據(jù)這個原理做成的。</p><p>　　阿基米得在數(shù)學上有許多貢獻。他運用圓內接和外切正四十八邊形周長的平均數(shù)，相當精確地算出了圓周率的

86、值是22/7。直到今天，這個數(shù)值足夠一般工程技術采用。他研究過曲線的特性，象熏蚊子的盤香那樣的曲線，我們今天就把它叫做阿基米得螺線。他還發(fā)現(xiàn)了許多求體積的方法。其中兩種球和圓柱體的求積方法，就刻在他的墓碑上。</p><p>　　比阿基米得晚五十年的希帕卡斯，匯集了希臘幾何學的成就，編制了我們現(xiàn)在說的正弦表，這對測量和天文學極為有用。</p><p>　　我們知道，三角形的三個內角和等于兩

87、直角。如果三角形中有一個角為直角，一個為已知角A，那第三個角B就等于直角與角A的差。角A的對邊與斜邊的比，稱為角A的正弦。這個比，對于包括同樣角度A的所有直角三角形來說都是一樣的。當A為60°、45°、30°時，由勾股定理就可以確定出正弦值。希帕卡斯發(fā)現(xiàn)了另外的定理，可以算出其它許多角度的正弦值來，給天文和測量人員提供了很寬的角度范圍。</p><p>　　以亞歷山大城為科學文化中心

88、長達七百年之久，這是一個繁榮科學技術的時代。城市大規(guī)模的建筑，頻繁的海上貿易，海陸大國之間連綿不斷的戰(zhàn)爭，促進了測量和制圖、航海和天文、采礦和力學的研究。希臘在數(shù)學方面的巨大成就，是不斷取得科學技術進步的必不可少的條件。</p><p>　　英語中的“算術”一詞來源于希臘語。但是希臘語的“算術”并不是今天的數(shù)字計算的意思，而很可能是指“數(shù)字游戲”。</p><p>　　那時候最著名的是所謂

89、三角數(shù)字1、3、6、10等等。它們是按1、1＋2、1＋2＋3、1＋2＋3＋4等等組成的。畢達哥拉斯青年兄弟會發(fā)誓保守秘密之一，就是如何說出這組數(shù)中的任意一個是多少。</p><p>　　其實，要說出其中任一數(shù)是多少的辦法很簡單。比如要求第五個數(shù)，就用(5＋1)去乘5，然后被2除，結果得15；要求第二十個數(shù)，就用(20＋1)去乘20，然后被2除，結果得210。</p><p>　　石子游戲可

90、能是使希臘人找到求連續(xù)奇數(shù)和的方法的起源。從1開始，連續(xù)10個奇數(shù)的和是10×10＝100；要是增加到20個奇數(shù)，那和為20×20＝400。</p><p>　　另一種數(shù)字游戲可以用芝諾的一個著名詭辯來代表。芝諾是一個很有才能的數(shù)學家。他問道：阿溪里斯是古希臘傳說中善跑的神，要是讓他和烏龜賽跑，并假定他的速度為烏龜?shù)?0倍。烏龜先出發(fā)了100米。然后，阿溪里斯開始追趕烏龜。當阿溪里斯跑完這10

91、0米時，烏龜又已經向前走了10米；當阿溪里斯跑完這10米時，烏龜又向前走了1米……。阿溪里斯的速度再快，走過一段距離總得有一段時間，而在這段時間里，烏龜速度再慢，也總要走出一段距離來。這樣說起來，阿溪里斯是永遠追不上烏龜了。</p><p>　　人們從實際經驗中知道，結果肯定不會是這樣的。阿溪里斯一定會超過烏龜?shù)模窃诤荛L的時間里，人們不知道問題出在了哪里，當然也就不知道怎樣才能駁倒芝諾的詭辯了。</p&

92、gt;<p>　　今天，我們都可以算出芝諾這個詭辯站不住腳。烏龜盡管可以100米、10米、1米、0.1米、0.01米……趕在阿溪里斯的前面；但是，這總是在離開起點1/9公里之內，不會超過這個范圍。所以，阿溪里斯在離開起點1/9公里的地方，就超過了烏龜。在這里，“永遠”并沒有迷住我們的眼睛。越來越小的許多分數(shù)相加，不管小到何等程度，它們的總和有一個具體限度，在數(shù)學上就叫做極限。在這里，1/9公里是烏龜在前的極限，所以阿溪里斯

93、一定能超過它。</p><p>　　字母的使用，曾經使希臘人大大簡化了文字。他們也希望在數(shù)字計算中，能得到同樣的便利。最初，希臘人用表示一個數(shù)的字頭來代表數(shù)，這就是用Δ表示10，H代表100，X表示1000，就好像英語中用T代表Ten，H代表Hundred一樣。數(shù)字再大，就按需要重復這些符號就行了。這種數(shù)的寫法和埃及的非常象。你看這兩種寫法，寫同一個數(shù)3420的樣子如右圖：</p><p>

94、;　　到公元五世紀，希臘人采用了一種完全不同的記數(shù)方法。他們以頭九個字母表示1到9；接著的九個字母表示10到90；最后的九個字母表示100到900；在任何數(shù)的前面劃一道，表示這個數(shù)是原數(shù)的一千倍。這個新的數(shù)字系統(tǒng)需要27個字母，但是希臘的字母只有24個，所以增加了三個古老的和外來的字母。</p><p>　　采用這種記數(shù)方法，唯一的好處是一些大數(shù)字簡短好寫，不占篇幅；嚴重的毛病是計算困難，使用很不方便。今天，我們

95、在數(shù)學中是把字母作為一種簡寫符號使用的。比如bh/2表示三角形的面積等于底乘高被2除。這種簡潔的表示方法對于把字母固定成數(shù)的希臘人來說是根本不能使用的。</p><p>　　后來，羅馬人打敗了希臘人，成為地中海地區(qū)的霸主。他們在希臘人的基礎上，建立了自己的記數(shù)方法。大約兩千年前，羅馬軍隊征服了歐洲南部、高盧、英國大部分、非洲北部邊緣和西亞的大片地區(qū)。希臘語作為學習的語言被保留下來。</p><

96、p>　　公元四世紀，羅馬帝國分為東西兩個部分。東羅馬部分繼承了希臘文明，保存了希臘的學術語言和傳統(tǒng)；而西羅馬就很快丟掉了希臘的語言和科學，長期處于落后保守之中，停步不前。</p><p>　　西方在數(shù)學、科學等各個方面需要學習和援助。這些援助來自東方的阿拉伯、印度和中國。</p><p>　　中國：籌算、觀天和算法</p><p>　　我國是世界上最早的文明國

97、家之一。很早以前，我們的祖先在漁獵農事活動中就接觸到了計算和測量，并在這方面積累了大量的知識。</p><p>　　萬里長城和大運河是我國古代文明的偉大成就。戰(zhàn)國時期戰(zhàn)爭連綿，燕、趙、秦三國為了抵御來自北方的侵擾，建筑了長城；秦始皇統(tǒng)一全國，把它們連接起來。后來，漢朝和明朝都大規(guī)模修筑過長城。長城由西至東，在險峻起伏的山嶺上綿延數(shù)千公里，是世界上僅有的巨大土石建筑。溝通南北的大運河，長達一千七百多公里，樸實壯觀，

98、是非常杰出的水利工程。我國人民在長城和運河的建造過程中積累了大量的幾何測量、數(shù)字計算和土木工程方面的知識。</p><p>　　我國古代的計算不是用記數(shù)文字直接進行，而是用算籌，很有特色。在開始的時候，人們是用一些小樹枝來計數(shù)，一根小樹枝代表一頭牲畜、一堆谷物或者一件農具。后來，逐漸形成了一套計算方法，小樹枝也慢慢變成了竹制、鐵制、牙制的小棍，外形規(guī)格齊整，這就是算籌。</p><p>　

99、　籌算可以進行整數(shù)和分數(shù)的加、減、乘、除、開方等各種運算。直到元、明以前，籌算一直是我國的主要計算方法。</p><p>　　籌算的記數(shù)法既是十進，又按位值分別表示不同單位，和現(xiàn)代記數(shù)法相似。著名的數(shù)學著作《九章算術》，大約編于公元四、五十年間的東漢初期。這部書是采用問題集的形式編的，共有二百四十六個問題，分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。</p><p>　

100、　方田章講的是各種分數(shù)計算和方田、梯形田、斜方形田、圓田、半圓形田、弧田、環(huán)形田等的面積計算；粟米章講的是糧食交易的簡單比例計算；衰分章講的是一些按比例分配的問題；少廣章講的是由已知面積和體積，反求邊的長短和面的寬廣的問題，其中總結出了開平方和開立方的方法；商功章講的是計算各種體積的方法，主要解決筑城、建堤、挖溝、修渠等實際工程問題；均輸章講的是糧食運輸均勻負擔的計算方法；盈不足章講的是盈虧計算法和它的應用；方程章講的是正負數(shù)算法，還有

101、各種三元一次和四元一次聯(lián)立方程的解法。勾股章敘述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角三角形解法的問題。</p><p>　　《九章算術》的內容豐富多彩，包括了許多算術、幾何、代數(shù)和三角的知識，是一部非常杰出的數(shù)學專著，它對我國數(shù)學的發(fā)展影響深遠。</p><p>　　《九章算術》不只在中國數(shù)學史上占有十分重要的地位，而且影響遠及國外。朝鮮和日本都曾經用它作為教科書。歐洲在中世紀

102、的一些算法，比如分數(shù)和比例就很可能是從中國傳入印度、再經阿拉伯傳入歐洲的。在阿拉伯和歐洲的早期數(shù)學著作中，把“盈不足”稱為“中國算法”就是一個證明?，F(xiàn)在，《九章算術》已作為世界科學名著，被譯成許多種文字出版。</p><p>　　《周牌算經》是我國另一部有名的天文學、數(shù)學著作，大約時在公元前一百年前后的西漢年間成書。書里明確給出了勾股定理的一般形式，即勾²＋股²＝弦²。</p&

103、gt;<p>　　書中介紹了在兩地利用標桿測出日影、再進一步利用勾股定理，算出太陽高度的方法，即書中還談到了用一根直徑一寸、長八只的中空竹管觀測太陽，太陽的圓影正好與竹管的視線吻合，再進一步利用勾股定理推算出太陽的直徑來。這說明我們的祖先至少在西漢年間，就能正確地應用直角三角形的勾股定理了。</p><p>　　等到三國時代，吳國人趙爽用幾何方法對勾股定理進行了相當嚴格的論證。公元前五百年，春秋戰(zhàn)國

104、時代的學者已經有了相當豐富的數(shù)學知識。莊子《天下篇》中有“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”的記載。意思是一根一只長的木棍，每天截掉一半，千年萬載也截不完。直到今天，人們還常把“日取其半”作為了解“極限”思想的典型例子。</p><p>　　大約在四千五百到三千五百年前的這段時期里，我國發(fā)明了第一輛車子。另外，從我國出土的許多殷代以前的陶器上也能看到不少圓形圖案。這說明很早以前，我們的祖先就認識圓了。</p&g