在一個常微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，

1、<p>　　第5章 定性和穩(wěn)定性理論簡介</p><p>　　在19世紀中葉,通過劉維爾的工作,人們已經(jīng)知道絕大多數(shù)的微分方程不能用初等積分方法求解.這個結(jié)果對于微分方程理論的發(fā)展產(chǎn)生了極大影響,使微分方程的研究發(fā)生了一個轉(zhuǎn)折.既然初等積分法有著不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是從微分方程本身來推斷其解的性質(zhì)呢?定性理論和穩(wěn)定性理論正是在這種背景下發(fā)展起來的.前者由法國數(shù)學(xué)家龐加萊(P

2、oincaré,1854-1912)在19世紀80年代所創(chuàng)立，后者由俄國數(shù)學(xué)家李雅普羅夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所創(chuàng)立.它們共同的特點就是在不求出方程的解的情況下,直接根據(jù)微分方程本身的結(jié)構(gòu)和特點,來研究其解的性質(zhì).由于這種方法的有效性,近一百多年以來它們已經(jīng)成為常微分方程發(fā)展的主流.本章對定性理論和穩(wěn)定性理論的一些基本概念和基本方法作一簡單介紹.</p><p><b&g

3、t;　　5．1 穩(wěn)定性概念</b></p><p><b>　　考慮微分方程</b></p><p><b>　　(5.1)</b></p><p>　　其中函數(shù)對和t(-∞,+∞)連續(xù)，對滿足局部李普希茲條件. 設(shè)方程(5.1)對初值(t0,x1)存在唯一解，而其它解記作.現(xiàn)在的問題是：當(dāng)很小時，差的變化是否

4、也很小?本章向量的范數(shù)取. </p><p>　　如果所考慮的解的存在區(qū)間是有限閉區(qū)間，那么這是解對初值的連續(xù)依賴性，第2章的定理2.7已有結(jié)論.現(xiàn)在要考慮的是解的存在區(qū)間是無窮區(qū)間，那么解對初值不一定有連續(xù)依賴性(見下面的例3)，這就產(chǎn)生了李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念.</p><p>　　如果對于任意給定的和都存在，使得只要滿足</p><p><

5、;b>　　就有</b></p><p>　　對一切tt0成立，則稱(5.1)的解是穩(wěn)定的.否則是不穩(wěn)定的.</p><p>　　假設(shè)是穩(wěn)定的，而且存在，使得只要滿足</p><p><b>　　就有</b></p><p>　　則稱(5.1)的解是漸近穩(wěn)定的.</p><p>　

6、　為了簡化討論，通常把解的穩(wěn)定性化成零解的穩(wěn)定性問題.下面記,作如下變量代換.</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　(5.2)</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　于是在變換(5.2)下，將方程(5.1)化成<

7、;/p><p><b>　　(5.3)</b></p><p>　　其中.這樣關(guān)于(5.1)的解的穩(wěn)定性問題就化為(5.3)的零解y=O的穩(wěn)定性問題了.因此，我們可以在下文中只考慮(5.1)的零解x=O的穩(wěn)定性，即假設(shè)，并有如下定義:</p><p>　　定義5.1 若對任意和，存在，使當(dāng)時有</p><p><b&g

8、t;　　(5.4)</b></p><p>　　對所有的成立，則稱(5.1)的零解是穩(wěn)定的.反之是不穩(wěn)定的.</p><p>　　定義5.2 若(5.1)的零解是穩(wěn)定的，且存在δ1>0, 使當(dāng)時有</p><p>　　則稱(5.1)的零解是漸近穩(wěn)定的.</p><p><b>　　例1 考察系統(tǒng) </b>

9、;</p><p><b>　　的零解的穩(wěn)定性. </b></p><p>　　解 對于一切，方程組滿足初始條件,的解為</p><p>　　對任一，取，則當(dāng)時，有</p><p>　　故該系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的.</p><p><b>　　然而，由于</b></p

10、><p>　　所以該系統(tǒng)的零解不是漸近穩(wěn)定的.</p><p><b>　　例2 考察系統(tǒng)</b></p><p><b>　　的零解的穩(wěn)定性.</b></p><p>　　解 在上，取初值為的解為：</p><p><b>　　其中</b></

11、p><p>　　對任一，取，則當(dāng)時，有</p><p>　　故該系的零解是穩(wěn)定的.</p><p><b>　　又因為</b></p><p>　　可見該系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的.</p><p><b>　　例3 考察系統(tǒng)</b></p><p><

12、b>　　的零解的穩(wěn)定性.</b></p><p>　　解 方程組以為初值的解為</p><p><b>　　其中.</b></p><p>　　由于函數(shù)et 隨t 的遞增而無限地增大. 因此,對于任意，不管取得怎樣小，只要t 取得適當(dāng)大時，就不能保證小于預(yù)先給定的正數(shù)，所以該系統(tǒng)的零解是不穩(wěn)的.</p>&l

13、t;p>　　例4 考慮常系數(shù)線性微分方程組</p><p><b>　　(5.5)</b></p><p>　　其中,A是n×n陣.證明，若A的所有特征根都具嚴格負實部，則(5.3)的零解是漸近穩(wěn)定的.</p><p>　　證明 不失一般性，我們?nèi)〕跏紩r刻,設(shè)Φ(t)是(5.5)的標(biāo)準基本解矩陣，由第3章內(nèi)容知滿足的解可寫成&l

14、t;/p><p><b>　　(5.6)</b></p><p>　　由A的所有特征根都具負實部知</p><p><b>　　(5.7)</b></p><p>　　于是知存在t1>0，使t>t1時.從而對任意，取則當(dāng)時，由(5.6)有</p><p>　　, &

15、#160; (5.8)</p><p>　　當(dāng)t∈[0,t1]時, 由解對初值的連續(xù)相依性, 對上述，存在δ1 >0，當(dāng)時</p><p><b>　　, </b></p><p>　　取，綜合上面討論知，當(dāng)時有</p><p><b>　　, </b>&l

16、t;/p><p><b>　　即是穩(wěn)定的.</b></p><p>　　由(5.7)知對任意有，故是漸近穩(wěn)定的.</p><p>　　5.2李雅普諾夫第二方法</p><p>　　上一節(jié)我們介紹了穩(wěn)定性概念,但是據(jù)此來判明系統(tǒng)解的穩(wěn)定性,其應(yīng)用范圍是極其有限的.</p><p>　　李雅普諾夫創(chuàng)立了處

17、理穩(wěn)定性問題的兩種方法:第一方法要利用微分方程的級數(shù)解,在他之后沒有得到大的發(fā)展;第二方法是在不求方程解的情況下,借助一個所謂的李雅普諾夫函數(shù) 和通過微分方程所計算出來的導(dǎo)數(shù)的符號性質(zhì),就能直接推斷出解的穩(wěn)定性,因此又稱為直接法.本節(jié)主要介紹李雅普諾夫第二方法.</p><p>　　為了便于理解,我們只考慮自治系統(tǒng)</p><p>　　,

18、 (5.11)</p><p>　　假設(shè)在上連續(xù),滿足局部利普希茨條件,且.</p><p>　　為介紹李雅普諾夫基本定理,先引入李雅普諾夫函數(shù)概念.</p><p><b>　　定義5.3 若函數(shù)</b></p><p>　　滿足,和都連續(xù),且若存在,使在上,則稱是常正(負)的;若在上除外總有,則稱是正(負)定的

19、;既不是常正又不是常負的函數(shù)稱為變號函數(shù).</p><p>　　通常我們稱函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù).易知:</p><p>　　函數(shù)在平面上為正定的;</p><p>　　函數(shù) 在平面上為負定的;</p><p>　　函數(shù)在平面上為變號函數(shù);</p><p>　　函數(shù) 在平面上為常正函數(shù).</p><p

20、>　　李雅普諾夫函數(shù)有明顯的幾何意義.</p><p><b>　　首先看正定函數(shù).</b></p><p>　　在三維空間中, 是一個位于坐標(biāo)面即上方的曲面.它與坐標(biāo)面只在一個點,即原點接觸(圖5-1(a)).如果用水平面(正常數(shù))與相交,并將截口垂直投影到平面上,就得到一組一個套一個的閉曲線族 (圖5-1(b)),由于連續(xù)可微,且,故在的充分小的鄰域中, 可

21、以任意小.即在這些鄰域中存在值可任意小的閉曲線.</p><p>　　對于負定函數(shù)可作類似的幾何解釋,只是曲面將在坐標(biāo)面的下方.</p><p>　　對于變號函數(shù),自然應(yīng)對應(yīng)于這樣的曲面,在原點的任意鄰域,它既有在平面上方的點,又有在其下方的點.</p><p>　　定理5.1 對系統(tǒng)(5.11),若在區(qū)域上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足</p><p&

22、gt;<b>　　(1) 正定;</b></p><p><b>　　(2) 常負,</b></p><p><b>　　(b)</b></p><p><b>　　圖 5-1</b></p><p>　　則(5.11)的零解是穩(wěn)定的.</p>

23、<p><b>　　圖 5-2</b></p><p><b>　　證明 對任意,記</b></p><p>　　則由正定、連續(xù)和是有界閉集知</p><p>　　由和連續(xù)知存在(),使當(dāng)時, ,于是有時,</p><p><b>　　(5.12)</b><

24、/p><p>　　若上述不等式不成立,由和的連續(xù)性知存在,當(dāng)時, 而那么由的定義,有</p><p><b>　　(5.13)</b></p><p>　　另一方面,由條件(2)知在上成立,即時,</p><p>　　自然有.這與(5.13)矛盾,即(5.12)成立. (圖5-2為n=2的情況.)</p>&l

25、t;p>　　例 1 考慮無阻尼線性振動方程</p><p><b>　　(5.14)</b></p><p>　　的平衡位置的穩(wěn)定性.</p><p>　　解 把(5.14)化為等價系統(tǒng)</p><p><b>　　(5.15)</b></p><p>　　(5.14)

26、的平衡位置即(5.15)的零解.作函數(shù)</p><p><b>　　)</b></p><p><b>　　有</b></p><p>　　即正定, .于是由定理5.1 知(5.15)的零解是穩(wěn)定的,即(5.14)的平衡位置是穩(wěn)定的.</p><p>　　引理 若是正定(或負定)的李雅普諾夫函數(shù),

27、且對連續(xù)有界函數(shù)有</p><p><b>　　則.</b></p><p>　　證明由讀者自己完成.</p><p>　　定理 5.2 對系統(tǒng)(5.11),若區(qū)域上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足</p><p><b>　　(1) 正定;</b></p><p><b>

28、　　(2) 負定,</b></p><p>　　則(5.11)的零解漸近穩(wěn)定.</p><p>　　證明 由定理5.1 知(5.11)的零解是穩(wěn)定的.取為定理5.1 的證明過程中的,于是當(dāng)時, 單調(diào)下降.若,則由唯一性知,自然有</p><p>　　不妨設(shè).由初值問題解的唯一性,對任意, 從而由的正定性知總成立,那么存在使</p><

29、p>　　假設(shè),聯(lián)系到的單調(diào)性有</p><p>　　對成立.從而由 知存在使時</p><p><b>　　(5.16)</b></p><p><b>　　成立.</b></p><p><b>　　由條件(2)有</b></p><p><

30、;b>　　故從(5.16)知</b></p><p>　　對上述不等式兩端從到積分得</p><p><b>　　該不等式意味著</b></p><p><b>　　矛盾.故,即</b></p><p>　　由于零解是穩(wěn)定的,所以在上有界,再由引理知.定理證畢.</p>

31、<p><b>　　例 2 證明方程組</b></p><p><b>　　(5.17)</b></p><p><b>　　的零解漸近穩(wěn)定.</b></p><p>　　證明 作李雅普諾夫函數(shù)</p><p><b>　　有</b><

32、/p><p>　　在區(qū)域上正定, 負定,故由定理5.2 知其零解漸近穩(wěn)定.</p><p>　　最后,我們給出不穩(wěn)定性定理而略去證明.</p><p>　　定理 5.3 對系統(tǒng)(5.11)若在區(qū)域上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足</p><p><b>　　(1)正定;</b></p><p>　　(2) 不

33、是常負函數(shù),</p><p>　　則系統(tǒng)(5.11)的零解是不穩(wěn)定的.</p><p><b>　　習(xí) 題 5.2</b></p><p>　　對于方程組 試說明是正定的,而是常負的.</p><p>　　討論方程組 零解的穩(wěn)定性.</p><p>　　討論自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性.</p>

34、;<p>　　5.3 平面自治系統(tǒng)的基本概念</p><p>　　本節(jié)考慮平面自治系統(tǒng)</p><p><b>　　(5.18)</b></p><p>　　以下總假定函數(shù)在區(qū)域</p><p>　　, </p><p>　　上連續(xù)并滿足初值解的存在與唯一性定理的條

35、件.</p><p>　　5.3.1 相平面、相軌線與相圖</p><p>　　我們把平面稱為(5.18)的相平面,而把(5.18)的解在平面上的軌跡稱為(5.18)的軌線或相軌線.軌線族在相平面上的圖像稱為(5.18)的相圖.</p><p>　　易于看出,解在相平面上的軌線,正是這個解在三維空間中的積分曲線在相平面上的投影.我們以后會看到,用軌線來研究(5.18

36、)的通解常要比用積分曲線方便得多.</p><p>　　下面通過一個例子來說明方程組的積分曲線和軌線的關(guān)系.</p><p><b>　　例 1 </b></p><p>　　很明顯,方程組有特解它在三維空間中的積分曲線是一條螺旋線(如圖5-3(a)),它經(jīng)過點. 當(dāng)增加時,螺旋線向上方盤旋.上述解在平面上的軌線是圓它恰為上述積分曲線在平面上的

37、投影. 當(dāng)增加時,軌線的方向如圖5-3(b)所示.</p><p>　　另外,易知對于任意常數(shù),函數(shù)也是方程組的解.他的積分曲線是經(jīng)過點()的螺旋線.但是,它們與解有同一條軌線</p><p>　　(a) (b)</p><p><b>　　圖 5-3</b><

38、/p><p>　　同時,我們可以看出, 的積分曲線可以由的積分曲線沿軸向下平移距離而得到.由于的任意性,可知軌線對應(yīng)著無窮多條積分曲線.</p><p>　　為了畫出方程組在相平面上的相圖,我們求出方程組通解</p><p>　　其中,為任意常數(shù).于是, 方程組的軌線就是圓族(圖5-3(b)).</p><p>　　特別,是方程的解,它的軌線是原

39、點.</p><p>　　5.3.2 平面自治系統(tǒng)的三個基本性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì) 1 積分曲線的平移不變性</p><p>　　設(shè)是自治系統(tǒng)(5.18)的一個解,則對于任意常數(shù),函數(shù)</p><p>　　也是(5.18)的解.</p><p>　　事實上,我們有恒等式</p><p>

40、　　由這個事實可以推出:將(5.18)的積分曲線沿軸作任意平移后,仍然是(5.18)的積分曲線.從而它們所對應(yīng)的軌線也相同.于是,自治系統(tǒng)(5.18)的一條軌線對應(yīng)著無窮多個解.</p><p>　　性質(zhì) 2 軌線的唯一性</p><p>　　如果滿足初值解的存在與唯一性定理條件,則過相平面上的區(qū)域的任一點,(5.18)存在一條且唯一一條軌線.</p><p>　　

41、事實上,假設(shè)在相平面的點附近有兩條不同的軌線段和都通過點.則在空間中至少存在兩條不同的積分曲線段和(它們有可能屬于同一條積分曲線),使得它們在相空間中的投影分別是和(見圖5-4,這是不妨設(shè)).現(xiàn)在把所在的積分曲線沿軸向右平移,則由性質(zhì) 1知道,平移后得到的仍是系統(tǒng)(5.18)的積分曲線,并且它與至少有一個公共點.因此,利用解的唯一性, 與應(yīng)完全重合,從而它們在相空間中有相同的投影.另一方面, 與在相空間顯然也有相同的投影,這蘊含和在相平

42、面中的點附近有相同的投影,而這與上面的假設(shè)矛盾.</p><p><b>　　圖 5-4</b></p><p>　　性質(zhì) 1和性質(zhì)2說明,相平面上每條軌線都是沿軸可平移重合的一族積分曲線的投影,而且只是這族積分曲線的投影.</p><p>　　此外,由性質(zhì)1同樣還可知道,系統(tǒng)(5.18)的解的一個平移仍是(5.18)的解,并且它們滿足同樣的初

43、值條件,從而由解的唯一性知</p><p>　　因此,在(5.18)的解族中我們只須考慮相應(yīng)于初始時刻的解,并簡記為</p><p><b>　　, </b></p><p>　　*性質(zhì) 3 群的性質(zhì)</p><p>　　系統(tǒng)(5.18)的解滿足關(guān)系式</p><p><b>　　(

44、5.19)</b></p><p>　　其幾何意義是:在相平面上,如果從點出發(fā)的軌線經(jīng)過時間到達點,再經(jīng)過時間到達點,那么從點出發(fā)的軌線經(jīng)過時間也到達點.</p><p>　　事實上,由平移不變性(性質(zhì) 1), 是系統(tǒng)(5.18)的解,而且易知它與解在時的初值都等于.由解的唯一性,這兩個解應(yīng)該相等.取就得到(5.19).</p><p>　　對于固定的,

45、定義平面到自身的變換如下:</p><p><b>　　.</b></p><p>　　也就是把點映到由該點出發(fā)的軌線經(jīng)過時間到達的點.在集合中引入乘法運算: 令</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由(5.19)知.所以乘法運算在集合中是封閉的,而且滿足結(jié)合律,故二元組構(gòu)成

46、一個群.容易驗證,其單位元為,而的逆元為.這就是群性質(zhì)名稱的由來.這個平面到自身的變換群也稱作由方程(5.18)所生成的動力系統(tǒng).有時也把方程(5.18)就叫做一個動力系統(tǒng).由此所開展的研究工作導(dǎo)致動力系統(tǒng)這個重要的研究方向.</p><p>　　5.3.3 常點、奇點與閉軌</p><p>　　現(xiàn)在考慮自治系統(tǒng)(5.18)的軌線類型.顯然, (5.18)的一個解所對應(yīng)的軌線可分為自身不相

47、交和自身相交的兩種情形.其中軌線自身相交是指,存在不同時刻使得.這樣的軌線又有以下兩種可能形狀:</p><p><b>　　若對一切有</b></p><p>　　, , </p><p>　　則稱為(5.18)的一個定常解.它所對應(yīng)的積分曲線是空間中平行于軸的直線.對應(yīng)此解的軌線是相平面中的一個點.我們稱為奇點(或平衡點).顯然

48、是(5.18)的一個奇點的充分必要條件是</p><p>　　若存在,使得對一切有</p><p>　　則稱為(5.18)的一個周期解,T為周期.它所對應(yīng)的軌線顯然是相平面中的一條閉曲線,稱為閉軌.</p><p>　　由以上討論和(5.18)軌線的唯一性,我們有如下結(jié)論:自治系統(tǒng)(5.18)的一條軌線只可能是下列三種類型之一:</p><p&g

49、t;　　奇點, (2) 閉軌, (3) 自不相交的非閉軌線.</p><p>　　平面定性理論的研究目標(biāo)就是:在不求解的情況下,僅從(5.18)右端函數(shù)的性質(zhì)出發(fā),在相平面上描繪出其軌線的分布圖,稱為相圖.如何完成這一任務(wù)呢?現(xiàn)在我們從運動的觀點給出(5.18)的另一種幾何解釋:</p><p>　　如果把(5.18)看成描述平面上一個運動質(zhì)點的運動方程,那么(5.18)在相平面上每一點確

50、定了一個速度向量</p><p><b>　　(5.20)</b></p><p>　　因而,(5.18)在相平面上定義了一個速度場或稱向量場.而(5.18)的軌線就是相平面上一條與向量場(5.20)相吻合的光滑曲線.這樣積分曲線與軌線的顯著區(qū)別是: 積分曲線可以不考慮方向,而軌線是一條有向曲線,通常用箭頭在軌線上標(biāo)明對應(yīng)于時間增大時的運動方向.</p>

51、<p>　　進一步,在方程(5.18)中消去,得到方程</p><p><b>　　(5.21)</b></p><p>　　由(5.21)易見,經(jīng)過相平面上每一個常點只有唯一軌線,而且可以證明: 常點附近的軌線拓撲等價于平行直線.這樣,只有在奇點處,向量場的方向不確定.</p><p>　　因此,在平面定性理論中,通常從奇點入手,

52、弄清楚奇點附近的軌線分布情況.然后,再弄清(5.18)是否存在閉軌,因為一條閉軌線可以把平面分成其內(nèi)部和外部,再由軌線的唯一性,對應(yīng)內(nèi)部的軌線不能走到外部,同樣對應(yīng)外部的軌線也不能進入內(nèi)部.這樣對理解系統(tǒng)整體的性質(zhì)會起很大的作用.</p><p><b>　　習(xí)題 5.3</b></p><p>　　通過求解,畫出下列各方程的相圖,并確定奇點的穩(wěn)定性:</p&g

53、t;<p>　　(1) (2) </p><p>　　(3) (4) </p><p>　　5.4 平面定性理論簡介</p><p>　　本節(jié)將對如何獲得平面系統(tǒng)(5.18)的整體相圖結(jié)構(gòu)作一簡單介紹.</p><p>　　5.4.1 初等奇點附

54、近的軌線分布</p><p>　　前面我們已經(jīng)得到，奇點是動力系統(tǒng)</p><p><b>　　(5.18)</b></p><p>　　的一類特殊軌線.它對于研究(5.18)的相圖有重要的意義.為此，我們在本節(jié)先研究一類最簡單的自治系統(tǒng)——平面線性系統(tǒng)的奇點與它附近的軌線的關(guān)系.平面線性系統(tǒng)的一般形式為</p><p>

55、;<b>　　(5.22)</b></p><p><b>　　我們假定其系數(shù)矩陣</b></p><p>　　為非奇異矩陣，即其行列式 (即A不以零為特征根).</p><p>　　顯然，(5.22)只有一個奇點(0，0).我們研究(5.22)在(0，0)附近的軌線分布.因為(5.22)是可解的，我們的作法是先求出系統(tǒng)的

56、通解，然后消去參數(shù)t，得到軌線方程.從而了解在奇點(0，0)附近的軌線分布情況.根據(jù)奇點附近軌線分布的形式，可以確定奇點有四種類型，即結(jié)點，鞍點，焦點和中心.</p><p>　　為了討論問題方便，我們把方程寫成向量形式.</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　,則</b></p>

57、<p>　　此時方程組(5.22)可以寫成向量形式</p><p><b>　　(5.23)</b></p><p>　　1. 系數(shù)矩陣為標(biāo)準型的平面線性系統(tǒng)的奇點附近軌線分布</p><p>　　我們研究線性系統(tǒng)(5.23)在奇點(0，0)附近軌線分布的方法是，首先應(yīng)用線性變換，把系統(tǒng)(5.23)化成標(biāo)準型，并從化成標(biāo)準型的方程

58、中求出解來，確定其軌線分布，然后再回過頭來考慮原系統(tǒng)(5.23)在奇點附近的軌線分布.</p><p>　　根據(jù)線性代數(shù)中關(guān)于矩陣的定理，存在非奇異矩陣T，使得</p><p>　?。↗ 為約當(dāng)標(biāo)準型）.</p><p><b>　　令 ,作代換,</b></p><p><b>　　則</b>

59、</p><p>　　于是系統(tǒng)(5.23)化成為</p><p><b>　?。?.24）</b></p><p>　　由線性變換的理論可知，標(biāo)準型J的形式由系數(shù)矩陣A的特征根的情況決定：</p><p>　　(1) 特征根為相異實根λ，μ時，</p><p>　　(2) A的特征根為重根λ時，由

60、A的初等因子的不同情形，A的標(biāo)準型J可能有兩種，為方便計，寫成：</p><p><b>　　或</b></p><p>　　(3) A的特征根為共軛復(fù)根時，</p><p>　　(因，特征根不能為零).</p><p>　　考察(5.24)，為了書寫方便，去掉上標(biāo)，把(5.24)寫成</p><p&

61、gt;<b>　　(5.24)′</b></p><p>　　下面就J的不同情況來研究(5.24)(即系統(tǒng)(5.24)′)的軌線分布.</p><p><b>　　(1) 當(dāng)</b></p><p><b>　?。é恕佴蹋?lt;/b></p><p>　　時，系統(tǒng)(5.24)′可寫

62、成純量形式</p><p><b>　　(5.25)</b></p><p><b>　　求它的通解，得</b></p><p>　　,        (5.26)</p><p>　　消去參數(shù)t，得

63、軌線方程                        （C為任意常數(shù)）          

64、;(5.27)</p><p>　　這里假定|μ|＞|λ|，即μ表示特征根中絕對值較大的一個(顯然，這不妨礙對一般性的討論，如|μ|＜|λ|，則只要互換x軸和y軸).</p><p><b>　　a)λ，μ同號</b></p><p>　　這時由于，軌線(5.27)是拋物線型的(參看圖5-5及圖5-6).同時，由(5.26)知x軸的正、負半軸及

65、y軸的正、負半軸也都是(5.25)的軌線.由于原點(0，0)是(5.25)的奇點以及軌線的唯一性，軌線(5.27)及四條半軸軌線均不能過原點.但是由(5.26)可以看出，當(dāng)μ＜λ＜0時，軌線在t→＋∞時趨于原點(圖5-5)；當(dāng)μ＞λ＞0時，軌線在t→－∞時趨于原點(圖5-6).另外，我們有</p><p>　　于是，當(dāng)μ＜λ＜0，軌線(除正、負半y 軸外)的切線斜率在t→＋∞時趨于零，即軌線以x 軸為其切線的極限

66、位置.當(dāng)μ＞λ＞0，軌線(除正、負半y 軸外)的切線斜率在t→－∞時趨于零，即軌線以x 軸為其切線當(dāng)t→－∞時的極限位置.</p><p>　　如果在某奇點附近的軌線具有如圖5-5的分布情形，我們就稱這奇點為穩(wěn)定結(jié)點.因此，當(dāng)μ＜λ＜０時，原點O是(5.25)的穩(wěn)定結(jié)點.</p><p>　　圖 5-5        &

67、#160;                     圖 5-6</p><p>　　如果在某奇點附近的軌線具有如圖5-6的分布情形，我們就稱這奇點為不穩(wěn)定結(jié)點.因此，當(dāng)μ＞λ＞0時，原點O是(

68、5.25)的不穩(wěn)定結(jié)點.</p><p><b>　　b)λ，μ異號</b></p><p>　　這時，由于，軌線(5.27)是雙曲線型的(參看圖5-7及圖5-8).四個坐標(biāo)半軸也是軌線.</p><p>　　先討論λ＜0＜μ的情形.由(5.26)易于看出當(dāng)t→＋∞時，動點(x, y)沿正、負x半軸軌線趨于奇點(0，0)，而沿正、負y半軸軌線遠

69、離奇點(0，0).而其余的軌線均在一度接近奇點(0，0)后又遠離奇點(圖5-7).</p><p>　　圖 5-7                         &#

70、160;     圖 5-8</p><p>　　對μ＜0＜λ的情形可以類似地加以討論，軌線分布情形如圖5-8.</p><p>　　如果在某奇附近的軌線具有如圖5-7或圖5-8的分布情形，我們稱這奇點為鞍點.因此，當(dāng)異號時，原點O是(5.25)的鞍點.</p><p><b>　　(2)當(dāng)</b&g

71、t;</p><p>　　時，把系統(tǒng)(5.24)′寫成純量形式就得到</p><p><b>　　(5.28)</b></p><p><b>　　積分此方程，得通解</b></p><p>　　,       &

72、#160; (5.29)</p><p>　　消去參數(shù)t，得軌線方程</p><p>　　y = Cx             (C為任意常數(shù)).</p><p>　　根據(jù)λ的符號，軌線圖象如圖5-9和圖5-10.軌線為從奇點出發(fā)的半射線.<

73、/p><p>　　圖 5-9                      圖 5-10</p><p>　　如果在奇點附近的軌線具有這樣的分布，就稱這奇點為臨界結(jié)點

74、.由通解(5.29)可以看出：當(dāng)λ＜0時，軌線在t→＋∞時趨近于原點.這時，我們稱奇點O為穩(wěn)定的臨界結(jié)點；當(dāng)λ＞0時，軌線的正向遠離原點， 我們稱O為不穩(wěn)定的臨界結(jié)點.</p><p><b>　　當(dāng)</b></p><p>　　時，系統(tǒng)(5.24)′的純量形式為</p><p><b>　　它的通解為</b></p

75、><p><b>　　,</b></p><p>　　消去參數(shù)t，得到軌線方程</p><p><b>　　易于知道有關(guān)系</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　圖 5-11     &#

76、160;                 圖 5-12</p><p>　　所以當(dāng)軌線接近原點時，以y軸為其切線的極限位置.此外，正、負y半軸也都是軌線.軌線在原點附近的分布情形如圖5-11及圖5-12所示.如果在奇點附近軌

77、線具有這樣的分布，就稱它是退化結(jié)點.當(dāng)λ＜0時，軌線在t→＋∞時趨于奇點，稱這奇點為穩(wěn)定的退化結(jié)點；當(dāng)λ＞0時，軌線在t→＋∞時遠離奇點，稱這奇點為不穩(wěn)定的退化結(jié)點.</p><p><b>　　(3)當(dāng)</b></p><p>　　時，把系統(tǒng)(5.24)′寫成純量形式</p><p><b>　　(5.30)</b>&l

78、t;/p><p>　　我們來積分上述方程組.將第一個方程乘以x，第二個方程乘以y，然后相加，得</p><p><b>　　或?qū)懗?lt;/b></p><p><b>　　因而得到</b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　其次，對方程

79、(5.30)第一個方程乘以y，第二個方程乘以x，然后相減，得</p><p><b>　　或?qū)懗?lt;/b></p><p><b>　　于是得</b></p><p>　　或               

80、          </p><p>　　消去參數(shù)t，得到軌線的極坐標(biāo)方程</p><p><b>　　(5.31)</b></p><p>　　如，則它為對數(shù)螺線族，每條螺線都以坐標(biāo)原點O 為漸近點.在奇點附近軌線具有這樣的分布，稱奇點為

81、焦點.</p><p>　　由于，所以當(dāng)時，隨著t的無限增大，相點沿著軌線趨近于坐標(biāo)原點，這時，稱原點是穩(wěn)定焦點(見圖5-13)，而當(dāng) 時，相點沿著軌線遠離原點，這時，稱原點是不穩(wěn)定焦點 (見圖5-14).</p><p><b>　　圖 5-13</b></p><p><b>　　圖 5-14</b></p>

82、;<p>　　如，則軌線方程(5.31)成為</p><p><b>　　或 </b></p><p>　　它是以坐標(biāo)原點為中心的圓族.在奇點附近軌線具有這樣的分布，稱奇點為中心.此時，由β的符號來確定軌線方向.當(dāng)β＜0時，軌線的方向是逆時針的；當(dāng)β＞0時是順時針的(見圖5-15及圖5-16).</p><p>　　圖 5-15

83、                     圖 5-16</p><p><b>　　綜上所述，方程組</b></p><p><

84、;b>　　(5.23)</b></p><p>　　經(jīng)過線性變換，可化成標(biāo)準型</p><p><b>　　(5.24)</b></p><p>　　由A的特征根的不同情況，方程(5.24)(亦即方程(5.24)′)的奇點可能出現(xiàn)四種類型：結(jié)點型，鞍點型，焦點型，中心型.</p><p>　　2. 一

85、般的平面常系數(shù)線性系統(tǒng)的奇點附近軌線分布</p><p>　　上面講了系數(shù)矩陣為標(biāo)準型的系統(tǒng)</p><p><b>　　(5.24)</b></p><p>　　的軌線在奇點O(0，0)附近的分布情況，現(xiàn)在回來研究一般的平面線性系統(tǒng)</p><p><b>　　(5.23)</b></p&g

86、t;<p>　　的軌線在奇點O(0，0)附近的分布情況.</p><p>　　我們知道，(5.22)可以從(5.24)經(jīng)逆變換而得到，而且，由于T是非奇異變換，也是非奇異變換，因而也就是一個仿射變換，它具有下述不變性：</p><p>　　(1) 坐標(biāo)原點不變；</p><p>　　(2) 直線變成直線；</p><p>　　(

87、3) 如果曲線 (x(t), y(t))當(dāng)t→＋∞(或t→－∞)時趨向原點，變換后的曲線，當(dāng)t→＋∞(或t→－∞)時也趨向坐標(biāo)原點；</p><p>　　(4) 如果曲線(x(t), y(t))當(dāng)t→＋∞(或t→－∞)時，盤旋地趨向原點，變換后的曲線,當(dāng)t→＋∞(或t→－∞)時也盤旋地趨向原點.</p><p>　　(5) 閉曲線(x(t), y(t))經(jīng)過變換后，所得曲線仍為閉曲線.&l

88、t;/p><p>　　由此可見，方程(5.24)在各種情況下的軌線，經(jīng)過線性變換后得到方程(5.23)的軌線，其結(jié)點型，鞍點型，焦點型，以及中心型的軌線分布是不變的.這就是軌線結(jié)構(gòu)的不變性.</p><p>　　并且，由于變換后軌線趨向原點的方向不變，所以結(jié)點、焦點的穩(wěn)定性也不改變.</p><p>　　于是，系統(tǒng)(5.23)的奇點O(0, 0)，當(dāng)，根據(jù)A的特征根的不

89、同情況可有如下的類型：</p><p>　　因為A的特征根完全由A的系數(shù)確定，所以A的系數(shù)可以確定出奇點的類型.因此，下面來研究A的系數(shù)與奇點分類的關(guān)系.</p><p>　　方程(5.22)的系數(shù)矩陣的特征方程為</p><p>　　或          

90、        </p><p><b>　　為了書寫方便，令</b></p><p><b>　　于是特征方程可寫為</b></p><p><b>　　特征根為</b></p><p>　　下面

91、就分特征根為相異實根，重根及復(fù)根三種情況加以研究：</p><p><b>　　(1) </b></p><p><b>　　(i) </b></p><p><b>　　(ii) </b></p><p><b>　　(2) </b>&l

92、t;/p><p><b>　　(3) </b></p><p>　　復(fù)數(shù)根的實部不為零，奇點為焦點</p><p>　　復(fù)數(shù)根的實部為零，奇點為中心</p><p>　　綜合上面的結(jié)論，由曲線，Δ軸及軸把平面分成幾個區(qū)域，不同的區(qū)域，對應(yīng)著不同類型的奇點(圖5-17).</p><p><b

93、>　　圖 5-17</b></p><p>　　5.4.2平面非線性自治系統(tǒng)奇點附近的軌線分布</p><p>　　以上是面平線性系統(tǒng)(5.22)的軌線在奇點O(0，0)附近的分布情況.下面再根據(jù)上面的討論，介紹一點研究一般的平面系統(tǒng)</p><p><b>　　(5.18)</b></p><p>　

94、　的軌線在奇點附近的分布的方法.</p><p>　　我們不妨假設(shè)原點O(0, 0)是(5.18)的奇點，即P(0, 0)＝Ｑ(0, 0)＝0.這并不失一般性.因為，如果()為(5.18)的一個奇點，只要作變換</p><p><b>　　，</b></p><p>　　就可以把奇點移到原點(0，0).</p><p>

95、　　設(shè)(5.18)的右端函數(shù)P(x, y), Q(x, y)在奇點O(0,0)附近連續(xù)可微，并可以將(5.18)的右端寫成</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　我們把平面線性系統(tǒng)</b></p><p><b>　　(5.22)</b></p><

96、p>　　稱為一般平面自治系統(tǒng)(5.18)的一次近似.在條件</p><p>　　的假設(shè)下，稱(0，0)為系統(tǒng)(5.18)的初等奇點，否則，稱它為高階奇點.(5.22)的奇點的情況已討論清楚. 一個常用的手法是將(5.18)與(5.22)比較，對“攝動”及加上一定的條件，就可以保證對于某些類型的奇點，(5.18)在O(0，0)的鄰域的軌線分布情形與(5.22)的軌線分布情形同.我們只介紹如下的一個常見的結(jié)果而

97、不加以證明.</p><p>　　定理5.4 如果在一次近似(5.22)中，有</p><p>　　且O(0，0)為其結(jié)點(不包括退化結(jié)點及臨界結(jié)點)、鞍點或焦點，又與在O(0，0)的鄰域連續(xù)可微，且滿足</p><p>　　，     (5.32)</p><p>　　則系統(tǒng)(5.18)的軌線在O(

98、0，0)附近的分布情形與(5.22)的完全相同. </p><p>　　當(dāng)O(0，0)為(5.22)的退化結(jié)點、臨界結(jié)點或中心時，條件(5.32)不足以保證(5.18)在O(0，0)的鄰域的軌線分布與(5.22)的軌線分布情形相同，還必須加強這個條件，我們不再列舉了.</p><p>　　5.4.3極限環(huán)的概念</p><p>　　為了說明極限環(huán)的概念，先看看下面的

99、例子.</p><p><b>　　例1  考察方程組</b></p><p><b>　　(5.33)</b></p><p><b>　　的軌線分布.</b></p><p>　　解 將方程（5.33）的第一個方程兩端乘以x，第二個兩端乘以y，然后相加得到<

100、/p><p><b>　　(5.34)</b></p><p><b>　　作極坐標(biāo)變換</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由，微分之，則得</b></p><p>　　所以(5.34)可寫成&

101、lt;/p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　(5.35)</b></p><p>　　其次，將方程組(5.33)的第一個方程乘以y，第二個方程乘以x，然后相減，得</p><p><b>　　由，微分之，可知</b></p><p&g

102、t;　　(5.36)于是原方程(5.33)經(jīng)變換后化為                             

103、0;         (5.37)</p><p>　　積分所得方程(5.37).易于看出，方程組(5.37)有兩個特解：</p><p>　　r =0，   r =1</p><p>　　其中r =0對應(yīng)(5.33)奇點，而r =1對應(yīng)于(5.3

104、3)的一個周期解，它所對應(yīng)的閉軌線是以原點為中心以1為半徑的圓.</p><p>　　進一步求方程組的通解，得</p><p><b>　　或為</b></p><p>　　于是方程(5.33)的軌線分布如圖(5-18).</p><p>　　從方程組(5.33)的相圖上可看出，軌線分布是這樣的：</p>

105、<p>　　(1) (0，0)為奇點，為一閉軌線.</p><p>　　(2) 閉軌線的內(nèi)部和外部的軌線，當(dāng)t→+∞時分別盤旋地趨近于該閉軌線.</p><p>　　我們在5.3節(jié)的例1中也提到過閉軌線，但當(dāng)時的閉軌線都是一族連續(xù)分布的閉軌線.而且，當(dāng)時沒出現(xiàn)其他的軌線當(dāng)t→±∞時趨近于閉軌線的情況.因此，上例中的閉軌線以及它附近的軌線的分布情形，是一種新的結(jié)構(gòu).我們作

106、如下的定義.</p><p><b>　　圖 5-18</b></p><p>　　定義5.4 設(shè)系統(tǒng)                     

107、              (5.18)</p><p>　　具有閉軌線C.假如在C充分小鄰域中，除C之外，軌線全不是閉軌線，且這些非閉軌線當(dāng)t→＋∞或t→－∞時趨近于閉軌線C，則說閉軌線C是孤立的，并稱之為(5.18)的一個極限環(huán).</p&

108、gt;<p>　　極限環(huán)C將相平面分成兩個區(qū)域：內(nèi)域和外域.</p><p>　　定義5.5  如果極限環(huán)C的內(nèi)域的靠近C的軌線當(dāng)t→+∞(-∞)時盤旋地趨近于C(圖5-19)，則稱C是內(nèi)穩(wěn)定(內(nèi)不穩(wěn)定的)；如果在極限環(huán)C的外域的靠近C的軌線當(dāng)t→+∞(－∞)時盤旋地趨近于C(圖5-20)，側(cè)稱C是外穩(wěn)定的(外不穩(wěn)定的)；如果當(dāng)t→＋∞(－∞)時，C的內(nèi)部及外部靠近C的軌線都盤旋地趨近于C

109、，則稱C是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的) (如圖5-21(a)),如果當(dāng)t→＋∞(－∞)時，C的內(nèi)外部的穩(wěn)定性相反，則稱C為半穩(wěn)定的 (圖5-21(b)).</p><p>　　圖  5-19                 &

110、#160;     圖  5-20</p><p><b>　　圖 5-21</b></p><p>　　易于看出，例1中的軌線是穩(wěn)定的極限環(huán).</p><p>　　5.4.4  極限環(huán)的存在性和不存在性</p><p>　　穩(wěn)定的極限環(huán)表示了運動的一種穩(wěn)定的周

111、期態(tài)，它在非線性振動問題 中有重要意義.一般說來，一個系統(tǒng)的極限環(huán)并不能像例1那樣容易算出來.關(guān)于判斷極限環(huán)存在性的方法，我們只敘述下面有關(guān)定理，其證明可參閱專著.</p><p>　　定理5.5 設(shè)區(qū)域D是由兩條簡單閉曲線L1和L2所圍成的環(huán)域，并且在上系統(tǒng)(5.18)無奇點；從L1和L2上出發(fā)的軌線都不能離開(或都不能進入).設(shè)L1和L2均不是閉軌線，則系統(tǒng)(5.18)在D內(nèi)至少存在一條閉軌線Γ，它與L1和L

112、2的相對位置如圖5-22，即Γ在D內(nèi)不能收縮到一點.</p><p><b>　　圖 5-22</b></p><p>　　如果把系統(tǒng)(5.18)看成一平面流體的運動方程，那么上述環(huán)域定理表明：如果流體從環(huán)域D的邊界流入D，而在D內(nèi)又沒有淵和源,那么流體在D內(nèi)有環(huán)流存在.這個力學(xué)意義是比較容易想象的.</p><p>　　習(xí)慣上，把L1和L2分

113、別稱作Poincaré-Bendixson環(huán)域的內(nèi)、外境界線.</p><p>　　關(guān)于平面系統(tǒng)(5.18)不存在極限環(huán)的判定準則常用的是下面的定理</p><p>　　定理5.6 (Bendixson判斷)設(shè)在單連通區(qū)域G內(nèi)，系統(tǒng)(5.18)的向量場(P，Q)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).若該向量場的散度</p><p>　　保持常號，且不在G的任何子域內(nèi)恒等于零，則系

114、統(tǒng)(5.18)在G內(nèi)無閉軌.</p><p>　　定理5.7  (Dulac判斷)設(shè)在單連通區(qū)域G 內(nèi)，系統(tǒng)(5.18)的向量場(P，Q)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并存在連續(xù)可微函數(shù)B(x, y)使得</p><p>　　保持常號，且不在G 內(nèi)任何子區(qū)域內(nèi)恒為零，則系統(tǒng)(5.18)在內(nèi)無閉軌.</p><p><b>　　例2 討論系統(tǒng)</b>&

115、lt;/p><p><b>　　(5.38)</b></p><p><b>　　的全局結(jié)構(gòu).</b></p><p>　　解 (1) 奇點     (5.38)有兩個奇點O(0，0)和E(-1，0).     對于奇點O(0，0)，其線性

116、近的方程的系數(shù)陣是</p><p>　　它的特征根是，顯然是穩(wěn)定焦點.</p><p>　　對于奇點E(-1，0)，其線性近似方程的系數(shù)陣是</p><p>　　它的特證根是,顯然E(-1，0)是鞍點.</p><p><b>　　(2) 閉軌線.</b></p><p>　　取函數(shù)B(x, y)