關(guān)于中學生競賽最優(yōu)決策的線性規(guī)劃及量化研究-論文終稿

1、<p><b>　　承 諾 書</b></p><p>　　我們仔細閱讀了2016登峰杯數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.</p><p>　　我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。</p><p>　　我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)

2、則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。</p><p>　　我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。</p><p>　　我們的報名序號為： 588 </p><p&

3、gt;　　日期： 2016 年7 月 25 日</p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　摘要……………………………………………………………………………………………………1</p><p>　　（一）摘要……………………………………………………………………………………………1</p><p

4、>　　（二）關(guān)鍵詞…………………………………………………………………………………………2</p><p>　　問題重述………………………………………………………………………………………………2</p><p>　　基本假設(shè)………………………………………………………………………………………………2</p><p>　　問題分析………………………………………………

5、………………………………………………2</p><p>　　基本符號說明………………………………………………………………………………………3</p><p>　　建立模型………………………………………………………………………………………………3</p><p>　　模型求解與分析……………………………………………………………………………………8</p>

6、<p>　　對于模型的建立與推廣……………………………………………………………………………9</p><p>　　模型的優(yōu)缺點及改進方向………………………………………………………………………10</p><p>　　參考文獻……………………………………………………………………………………………10</p><p>　　附錄…………………………………………

7、………………………………………………………11</p><p>　　關(guān)于中學生競賽最優(yōu)決策2的線性規(guī)劃3及量化研究</p><p><b>　　摘要</b></p><p><b>　?。ㄒ唬┱?lt;/b></p><p>　　近年來，隨著全方位的素質(zhì)教育日益為社會所重視，學科競賽教學也一改傳統(tǒng)的應(yīng)試

8、教學格局，更加注重素質(zhì)并重。然而“以學科競賽決定學生未來”的理論在競賽已延續(xù)幾十年的今天依舊屢受社會輿論的負面抨擊，面對這樣的情況，我們應(yīng)該科學、全面、客觀地正確面對“學習競賽”這一選擇，通過決策與權(quán)衡，選擇對學生自身發(fā)展最有益的一門競賽。本文采用量化模型及線性規(guī)劃的方法，為中學生從多個競賽中選擇最優(yōu)選項1,這對于高效地提高學生綜合素養(yǎng)至關(guān)重要。首先利用層次分析法確定了多種因素對學生選擇影響的權(quán)重4，再把學生預想成果與各方面決策成本的權(quán)

9、重，建立雙向選擇的權(quán)重計算模型，然后確定最優(yōu)方案模型，學生對某門學科競賽的權(quán)重之和最大時的人員選取即為所求。通過最優(yōu)化理論提出一個數(shù)學模型,它用參數(shù)表示系統(tǒng)中不同影響學生選擇學科競賽的因素，即個人興趣、國家政策、競爭趨勢等實體,使用數(shù)學方法表示實體與結(jié)果之間的關(guān)系,通過對資源進行分類比較不同因素。最后利用Matlab和Lingo編程對上述模型和算法進行了實踐求解。模型使用較少的主觀參數(shù),以實現(xiàn)對選擇不同學科競賽精確、客觀的評價，以達成實

10、現(xiàn)中學生自身綜合素質(zhì)發(fā)展的目標。最后給出了模型</p><p><b>　?。ǘ╆P(guān)鍵詞</b></p><p>　　最優(yōu)化理論、量化模型、線性規(guī)劃、中學競賽、綜合發(fā)展</p><p><b>　　二．問題重述</b></p><p>　　用數(shù)學建模的方法為學生做出最優(yōu)競賽選擇的決策。</p&

11、gt;<p><b>　　三．基本假設(shè)</b></p><p>　　1.假設(shè)該學生能且僅能選擇一門學科競賽。</p><p>　　2.假設(shè)在該學生面前有五門學科競賽可供選擇——數(shù)學競賽、化學競賽、物理競賽、生物競賽、信息技術(shù)競賽。</p><p>　　3.假設(shè)影響該學生決策的因素有：</p><p>　　1

12、）特長生招生政策（國家科技發(fā)展程度）；</p><p>　　2）對口大學，就業(yè)方向；</p><p><b>　　3）競爭對手情況；</b></p><p>　　4）學生自身興趣及能力。</p><p>　　4.假設(shè)學生做出決策時不受他人的影響。</p><p>　　5.假設(shè)學生在選擇某門學科競賽

13、后不能中途退出且不能加選或改選其他競賽。</p><p>　　6.各個因素的權(quán)重客觀準確地反映了學生的真實能力或?qū)嶋H情況。（權(quán)重由大到小分為十個等級，即1~10）</p><p>　　7.競賽種類對于學生能力的要求不變，客觀背景形式在決策期間不變。</p><p>　　8.學生對競賽的選擇只與我們所求出的權(quán)重有關(guān)。</p><p><b

14、>　　四．問題分析</b></p><p>　　1.通過對題目的仔細分析我們得出以下幾點重要信息：</p><p>　　1）該學生只能選擇一門競賽并且不能中途退出；</p><p>　　2） 由于決策建立在學生個人思維基礎(chǔ)上，是個人對事物的分析、判斷和興趣來作出決定。兩種極端的決策準則是：“決策的結(jié)果最好”和“決策的成本最小。</p>

15、<p>　　3）每一步達到最優(yōu)是不可能實現(xiàn)的，所以我們只能在限定條件下在最好決策與成本最小之間做權(quán)衡。</p><p>　　題目要求根據(jù)學生的實際需要，建立最優(yōu)的學科競賽選擇方案。而競賽選擇方案的確定主要需要解決兩個問題：如何確定每個因素對學生的權(quán)重；在知道各方面考慮的權(quán)重后，如何決策使被選競賽的權(quán)重之和最大。</p><p>　　學科競賽和學生的關(guān)系從兩個方面來體現(xiàn)：決策成本

16、和預期效果，其中決策成本（影響因素）權(quán)重的確定相對較復雜，要根據(jù)層次分析法分三個階段完成，即分別算出學習興趣、學習能力對各科競賽的權(quán)重；預期效果影響比較單一，主要看學生能否在冬令營之前或在冬令營中取得自己理想的成績，為使成本影響和預期效果影響統(tǒng)一化，我們把各科筆試分數(shù)除以最高分得到的權(quán)重，再乘以比例系數(shù)r，所得到的數(shù)字構(gòu)成對各科的總權(quán)重 f，得到權(quán)重矩陣5Q，其中r的值根據(jù)各科老師對筆試的重視程度而定。這樣第一個問題就解決了。當考慮應(yīng)聘

17、者的意愿時，建立矩陣S。</p><p><b>　　基本符號說明</b></p><p>　　U、v、T、D：分別表示各門競賽編號，編號按照數(shù)學、物理、化學、生物、信息技術(shù)；</p><p><b>　　I:學生自身的能力</b></p><p>　　a:學生對該學科競賽的興趣</p>

18、<p><b>　　t:時間（自變量）</b></p><p><b>　　建立模型</b></p><p>　　背景假設(shè)：某同學在升入高中后進行了一次能力測試的考試，并在該次考試后面臨選擇一門學科競賽的決策?？紤]到人類對于某門學科競賽的態(tài)度受時間的影響受個體差異影響產(chǎn)生差別，在這里我們大致把情況分成兩類：</p>&

19、lt;p>　　隨著時間的推移，越來越喜愛這門學科（圖一）；</p><p>　　隨著時間的推移，學習興趣呈下降態(tài)勢（圖二）。</p><p>　　由此我們可以以兩種不同人群得出如下兩種不同的大致圖像：（這里假設(shè)學習興趣越濃厚則學習效率越高且定義：學習效率=單位時間內(nèi)個人能力的提升。X=Time Y=ability）</p><p>　　P.S兩根曲線代表兩種不

20、同的學科。f(0)較小曲線可視為興趣學科，較大曲線可視為優(yōu)勢學科?，F(xiàn)在我們帶入模型具體分析。</p><p><b>　　圖一</b></p><p><b>　　圖二</b></p><p>　　由上述已知，該學生入學測試物理化學分數(shù)分別為96 ，90（滿分均為100），我們不妨以他的入學分數(shù)的50倍作為起點—f(0).

21、則有如下幾種情況：（化學為興趣學科，物理為優(yōu)勢學科，競賽學習時間通常為2年，假設(shè)有效學習時間為20個月）</p><p>　　1.假設(shè)該名學生對某門競賽的熱愛隨時間的推移遞增。</p><p>　　1）該曲線若為二次函數(shù)局部圖像，即該同學在該學科上的能力變化量（單位：p）與時間（單位：m）呈平方關(guān)系Y=ax²+c（圖三）。</p><p>　　假設(shè)該同學對

22、化學的熱愛度是物理的兩倍，設(shè)a（物理）=1 a（化學）=2，即</p><p>　　Y（物理）=x²+4800</p><p>　　Y（化學）=2x²+4500</p><p><b>　　圖三</b></p><p>　　顯然，興趣學科在經(jīng)過20個月的學習過后，成為了優(yōu)勢學科。同理，其余高次高次函數(shù)

23、也將得到相同結(jié)果。</p><p>　　該曲線若為指數(shù)函數(shù)圖像平移后的局部圖像，即該同學在該學科的能力變化量與時間呈指數(shù)關(guān)系Y=a^x+c（圖四）, 這里同樣假設(shè)a（物理）=½a（化學）。</p><p>　　為控制區(qū)分度，故a^x∈【0，200】時最佳，故選擇a=1.3，即</p><p>　　Y（物理）=1.3^x+4800</p>&l

24、t;p>　　Y（化學）=2.6^x+4500</p><p><b>　　圖四</b></p><p>　　顯然，興趣學科經(jīng)過一段時間的優(yōu)勢遠遠大于目前的優(yōu)勢學科。</p><p>　　通過對以上幾種情況的討論，我們得出結(jié)論：在學生對選擇競賽的興趣隨時間增加的情況下，因其具有較大的發(fā)展空間與自身的發(fā)展?jié)摿Γ瑧?yīng)優(yōu)先選擇興趣學科。</p

25、><p>　　下面是對第二種情況的討論。</p><p>　　2.假設(shè)該名學生對某門競賽的熱愛隨時間的推移遞減。</p><p>　　1）假設(shè)該曲線為平方根函數(shù)平移后圖像局部，即能力變化量與時間成平方根的關(guān)系Y=a√x+c（圖五），為控制區(qū)分度，這里設(shè)a（物理）=100，a（化學）=200。</p><p>　　Y(物理)=100√x+4800&

26、lt;/p><p>　　Y(化學)=200√x+4500</p><p><b>　　圖五</b></p><p>　　如圖，后期興趣學科超過優(yōu)勢學科。</p><p>　　2）假設(shè)該曲線為對數(shù)函數(shù)平移后的圖像，即能力變化量與時間成對數(shù)關(guān)系。即</p><p>　　Y=alogb(z,x+1)+c（圖

27、六）。</p><p>　　為控制區(qū)分度，alogb（z，x）,∈【0，200】時最佳，故選擇z=4.5，a（物理）=100</p><p>　　a（化學）=200，即</p><p>　　y（物理）=100logb（x+1,4.5）+4800</p><p>　　y（化學）=200logb（x+1,4.5）+4500</p>

28、<p><b>　　圖六</b></p><p>　　如圖，最初的優(yōu)勢學科在經(jīng)過一段時間后依舊處于優(yōu)勢。</p><p>　　由此可見，在以自身實力能夠達到最高為目的進行決策的多種情況中，興趣學科是占絕對優(yōu)勢的。</p><p>　　根據(jù)一般情況來講1-1與2-1的存在更為普遍，在這里我們?yōu)橹謩e賦權(quán)0.4，2-2為賦權(quán)0.2，分別以

29、最終能力作為標準，則有Ab（物理）=(20^2+4800)*0.4+（100*√20+4800）*0.4+【100logb（21，4.5）+4800】*0.2≈2080+2010+1000=5090（p）</p><p>　　Ab（化學）=（2*20^2+4500）*0.4+（200*√20+4500）*0.4+【200logb（21，4.5）+4500】*0.2≈2120+2160+980=5260（p）<

30、;/p><p>　　注：由于1-2屬于較特殊情況，故不進入加權(quán)范圍。</p><p>　　綜上所述：以參賽時自身實力最高為目的的決策中，選擇興趣學科具有較大優(yōu)勢。 </p><p>　　(一)、對于該生學習競賽的能力的權(quán)重評定</p><p>　　通過該生對各科競賽的能力比較，我們發(fā)現(xiàn)該生只有物理、化學、信息技術(shù)三個科目滿足各科

31、競賽學習要求，其余均不能達到學習水平的要求，為優(yōu)化決策，我們認為學生應(yīng)該選擇學習效率更高的一門競賽，在這里我們引入權(quán)重的概念來標識各科競賽對該生的適合程度。我們認定該生的能力滿足學習競賽水平要求時，權(quán)重設(shè)定為1，能力與最低參加競賽水平稍差時，權(quán)重設(shè)定為1／2；能力與最低參加競賽水平明顯相差很多時，權(quán)重設(shè)定為1／4：能力與最低參加競賽水平特別相差時，權(quán)重設(shè)定為t／8。</p><p>　　(1) 求該生決策成本（各

32、影響因素）對每科競賽的權(quán)重</p><p>　　我們可以從單一工作類別出發(fā)來求解各個權(quán)重，這樣可以使復雜的問題簡化。求該生學習興趣對每科競賽的權(quán)重時，我們采用了層次分析法的思想，在這種方法中，需要先建立成對比較矩陣。如對物理競賽，要求學生的理解能力和應(yīng)變能力（學習能力）最高(10)，其次為學習興趣(6)，最后為預期效果(3)，故得成對比較矩陣如下：</p><p><b>　　1

33、 1／221／2</b></p><p><b>　　21 4 1</b></p><p><b>　　A =</b></p><p>　　1／21／411／4</p><p><b>　　21 4 1</b></p><p>　　其中a

34、l2=1／2~J]表示理解能力和應(yīng)變能力對學科競賽1)的重要性之比為1：2，a23=4即表示應(yīng)變能力和理解能力對學科競賽~EJ1)的重要性之比為4：1。求出對比矩陣的最大特征根為 4．0000，對應(yīng)的特征向量歸一化后為</p><p>　　=(0．1618，0．3636，0．0909，0．3636)T</p><p>　　即為四種能力對于學科競賽1)的權(quán)重。由此，可知理解能力和學習興趣對

35、工作類別1)的權(quán)重最大，其次為理解能力，最后是應(yīng)變能力。同理可求得四種能力對于其它三個工作類別的權(quán)重，從而得四種能力分別對于四種工作類別的權(quán)重矩陣</p><p>　　0．1818 0．4444 0．1000 0．1111</p><p>　　0．3636 0．2222 0．1000 0．2222</p><p>　　0．0909 0．2222 0．4000 0．2

36、222</p><p>　　0．3636 0．1111 0．4000 0．4444</p><p>　　(2) 確定在同一學科競賽類別下同學對四種能力的權(quán)重比較標準：我們認定同學能力滿足老師希望要求，設(shè)定為1：能力與希望水平稍差，設(shè)定為1／2；能力與希望水平明顯相差，設(shè)定為1／4：能力與希望水平相差特別多，設(shè)定為1／8。</p><p>　　同學的四項能力評定結(jié)果與

37、該學科競賽對四種能力的要求按上面的標準進行比較，得該同學對這一學科競賽下對四種能力的權(quán)重。</p><p>　　在以上比較標準下，四種能力的成對比較矩陣是一致陣 (其性質(zhì)見參考文獻f11)將Jv個應(yīng)</p><p>　　聘者的權(quán)重組合構(gòu)成權(quán)重矩陣BN 4。</p><p>　　(3) 確定該同學考試成績在學科競賽~EJ(1)中的最終權(quán)重令CNl為各同學對于工作類~E

38、J(1)的權(quán)重向量，則 l=BNl× l，其中 1表示矩陣 的第一列向量。</p><p>　　(4) 重復(2)，(3)兩步，按步驟(3)中的方法分別求各同學對于學科競賽(2)，(3)，(4)的</p><p>　　權(quán)重向量：DNl， l， l。將求得的權(quán)重向量CNl，DNl， l， l組合在一起得矩陣GN×4。 </p><p>　?。ǘ┕P

39、試成績的權(quán)重評定</p><p>　　我們?nèi)」P試成績中最高得分的權(quán)重為1，其他筆試成績與之相比的比值作為該同學筆試成績</p><p><b>　　的權(quán)重。</b></p><p>　?。ㄈ┚C合權(quán)重設(shè)定設(shè)r為決策成本權(quán)重與預期效果權(quán)重的比例系數(shù)，當r=1時，決策成本權(quán)重與預期效果權(quán)重同等重要。r具體取值由學科老師對筆試成績的認可程度決定。&l

40、t;/p><p><b>　　七．模型求解與分析</b></p><p>　?。ㄒ唬τ趩栴}一的求解，根據(jù)題意，N=I6，M=7，N=8，MI=1，M3=2</p><p>　　我們?nèi)《╮=N用模型給出的權(quán)重確定準則，根據(jù)16名同學的成績，利用方法一確定綜合成績權(quán)重矩陣Q，將其代入上面的模型表達式(1)利用數(shù)學軟件LINGO求得：</p>

41、;<p>　　X5，1 = Xl，2X2，2 = X4，2= X6，3 = X9，3 = Xll，4 = XI2，4=1，其余z =0。</p><p>　　所得的方案為：該同學適合學習化學競賽</p><p><b>　　圖六</b></p><p>　　八．對于模型的建議與推廣</p><p>　　同

42、學在選擇學科競賽時，只能表明自己希望取得某種成績或是考取某所大學。實際上各科競賽在各方面不能統(tǒng)一，在以上的決策辦法中，學生根據(jù)綜合因素做出理論上的最優(yōu)決策。這樣，即使該生最終選擇某門學科競賽，該競賽未必就是他想要去的。因此，我們建議在學生選擇競賽種類時，允許其在選擇最佳成果的同時，可以兼修自己最感興趣的一門競賽。這樣，在過后的人才選拔時，不僅可以使學生拓寬自己在就業(yè)方面的選擇渠道，也為用人單位優(yōu)化員工質(zhì)量。當應(yīng)聘者不能按照他的志愿被錄用

43、時，我們就可以根據(jù)他第二甚至第三優(yōu)勢學科的情況，對他在不同工作類別而待遇條件近似的部門之間進行合理地調(diào)劑，從而不使人才流失。</p><p>　　在人選擇單位時，我們也要考慮人對單位中各種工作的對口程度，利用層次分析法，求出應(yīng)聘人員應(yīng)當去填報何種單位：看下面一個例子：</p><p>　　科目 化學 物理 數(shù)學 生物 信息技術(shù)</p>&

44、lt;p>　　該生優(yōu)勢大中小小小</p><p>　　根據(jù)層次分析法，利用成對比較矩陣求得各種待遇的權(quán)重向量：</p><p>　　=[0．65820．24730．10560．24730．6582]</p><p>　　通過計算求得各個單位對該人的適合度向量W，W 表示第i個部門對該人的適合度</p><p>　　=[1．

45、39000．95121．31291．75171．47781．47781．75171]</p><p>　　結(jié)論：從中我們可以看出，此人應(yīng)該著重考慮物理競賽、化學競賽。</p><p>　　九．模型的優(yōu)缺點及改進方向</p><p><b>　　1.優(yōu)缺點：</b></p><p>　　1)建模過程中，把個學科競賽對各種素

46、質(zhì)能力的要求、同學的筆試成績等影響同學學習效果的因素轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的權(quán)重，使問題變得簡單和清晰化。</p><p>　　2)模型對各種情況都做了全面的分析，并且有很多參數(shù)可以根據(jù)實際需要取一定的值，使模型具有很強的普遍性和實用性。</p><p>　　3)設(shè)計的解法簡單易行，具有一定的通用性。</p><p>　　4）模型的缺點是當Ⅳ， 取值較大時，必須要尋找一種更有效

47、的算法求解模型。</p><p>　　5）沒有考慮個例參加多門學科的情況這一點。</p><p>　　6）用對數(shù)衡量時間與能力變化量的關(guān)系不夠準確的，倘說能以對數(shù)來衡量學科興趣隨時間的下降情況，則該學科能被稱為興趣學科的合理性并不高。</p><p><b>　　模型的改進：</b></p><p>　　對于權(quán)重的取值，

48、可以通過各科老師對該同學的評價來確定，使得同學與教授老師之間更加熟悉，減少磨合時間，同學可根據(jù)同要求確定不同選取方式。</p><p><b>　　十．參考文獻</b></p><p>　　[1]姜啟源，數(shù)學模型[M]，北京：高等教育出版社2011；</p><p>　　[2]葉其孝，大學生數(shù)學建模競賽輔導材料[M]長沙：湖南教育出版社，200

49、2 ；</p><p>　　[3]導向科技，Matlab6．0程序設(shè)計與實例應(yīng)用[M]_北京：中國鐵道出版社，2001；</p><p>　　[4]工程數(shù)學學報 ，2004年12月 第七期 第21卷；</p><p>　　[5] 《運籌學》教材編寫組，運籌學fMJ，北京：清華大學出版社，1990；</p><p>　　[6]盧開澄，單目標、多

50、目標與整數(shù)規(guī)劃[M]，北京：清華大學出版社，1999；</p><p>　　[7]宿玉海，人民幣-籃子貨幣最優(yōu)權(quán)重模型的構(gòu)建，北京：中國財政經(jīng)濟出版社，2008。</p><p><b>　　附錄：</b></p><p><b>　　名詞解釋</b></p><p>　　最優(yōu)化（選擇）：為了達到最

51、優(yōu)化目的所提出的各種求解方法。從數(shù)學意義上說，最優(yōu)化方法是一種求極值的方法，即在一組約束為等式或不等式的條件下，使系統(tǒng)的目標函數(shù)達到極值，即最大值或最小值。文中指影響個人發(fā)展的綜合因素總占比重最大的選擇。</p><p>　　決策： 決策，是為了實現(xiàn)特定的目標，根據(jù)客觀的可能性，在占有一定信息和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，借助一定的工具、技巧和方法，對影響目標實現(xiàn)的諸因素進行分析、計算和判斷選優(yōu)后，對未來行動作出決定。準則是成

52、本最小，目的是使決策結(jié)果最理想。</p><p>　　線性規(guī)劃：在一定條件下，合理安排人力物力等資源，使經(jīng)濟效果達到最好.一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題。</p><p>　　權(quán)重：權(quán)重是一個相對的概念，是針對某一指標而言。某一指標的權(quán)重是指該指標在整體評價中的相對重要程度。權(quán)重表示在評價過程中，是被評價對象的不同側(cè)面的重要程度的定量分配，對各評價因子在總體評