關(guān)于中學生競賽最優(yōu)決策的線性規(guī)劃及量化研究-論文終稿_第1頁
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文檔簡介

1、<p><b>  承 諾 書</b></p><p>  我們仔細閱讀了2016登峰杯數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.</p><p>  我們完全明白,在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等)與隊外的任何人(包括指導教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問題。</p><p>  我們知道,抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)

2、則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料),必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。</p><p>  我們鄭重承諾,嚴格遵守競賽規(guī)則,以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為,我們將受到嚴肅處理。</p><p>  我們的報名序號為: 588 </p><p&

3、gt;  日期: 2016 年7 月 25 日</p><p><b>  目錄</b></p><p>  摘要……………………………………………………………………………………………………1</p><p>  (一)摘要……………………………………………………………………………………………1</p><p

4、>  (二)關(guān)鍵詞…………………………………………………………………………………………2</p><p>  問題重述………………………………………………………………………………………………2</p><p>  基本假設(shè)………………………………………………………………………………………………2</p><p>  問題分析………………………………………………

5、………………………………………………2</p><p>  基本符號說明………………………………………………………………………………………3</p><p>  建立模型………………………………………………………………………………………………3</p><p>  模型求解與分析……………………………………………………………………………………8</p>

6、<p>  對于模型的建立與推廣……………………………………………………………………………9</p><p>  模型的優(yōu)缺點及改進方向………………………………………………………………………10</p><p>  參考文獻……………………………………………………………………………………………10</p><p>  附錄…………………………………………

7、………………………………………………………11</p><p>  關(guān)于中學生競賽最優(yōu)決策2的線性規(guī)劃3及量化研究</p><p><b>  摘要</b></p><p><b> ?。ㄒ唬┱?lt;/b></p><p>  近年來,隨著全方位的素質(zhì)教育日益為社會所重視,學科競賽教學也一改傳統(tǒng)的應(yīng)試

8、教學格局,更加注重素質(zhì)并重。然而“以學科競賽決定學生未來”的理論在競賽已延續(xù)幾十年的今天依舊屢受社會輿論的負面抨擊,面對這樣的情況,我們應(yīng)該科學、全面、客觀地正確面對“學習競賽”這一選擇,通過決策與權(quán)衡,選擇對學生自身發(fā)展最有益的一門競賽。本文采用量化模型及線性規(guī)劃的方法,為中學生從多個競賽中選擇最優(yōu)選項1,這對于高效地提高學生綜合素養(yǎng)至關(guān)重要。首先利用層次分析法確定了多種因素對學生選擇影響的權(quán)重4,再把學生預想成果與各方面決策成本的權(quán)

9、重,建立雙向選擇的權(quán)重計算模型,然后確定最優(yōu)方案模型,學生對某門學科競賽的權(quán)重之和最大時的人員選取即為所求。通過最優(yōu)化理論提出一個數(shù)學模型,它用參數(shù)表示系統(tǒng)中不同影響學生選擇學科競賽的因素,即個人興趣、國家政策、競爭趨勢等實體,使用數(shù)學方法表示實體與結(jié)果之間的關(guān)系,通過對資源進行分類比較不同因素。最后利用Matlab和Lingo編程對上述模型和算法進行了實踐求解。模型使用較少的主觀參數(shù),以實現(xiàn)對選擇不同學科競賽精確、客觀的評價,以達成實

10、現(xiàn)中學生自身綜合素質(zhì)發(fā)展的目標。最后給出了模型</p><p><b> ?。ǘ╆P(guān)鍵詞</b></p><p>  最優(yōu)化理論、量化模型、線性規(guī)劃、中學競賽、綜合發(fā)展</p><p><b>  二.問題重述</b></p><p>  用數(shù)學建模的方法為學生做出最優(yōu)競賽選擇的決策。</p&

11、gt;<p><b>  三.基本假設(shè)</b></p><p>  1.假設(shè)該學生能且僅能選擇一門學科競賽。</p><p>  2.假設(shè)在該學生面前有五門學科競賽可供選擇——數(shù)學競賽、化學競賽、物理競賽、生物競賽、信息技術(shù)競賽。</p><p>  3.假設(shè)影響該學生決策的因素有:</p><p>  1

12、)特長生招生政策(國家科技發(fā)展程度);</p><p>  2)對口大學,就業(yè)方向;</p><p><b>  3)競爭對手情況;</b></p><p>  4)學生自身興趣及能力。</p><p>  4.假設(shè)學生做出決策時不受他人的影響。</p><p>  5.假設(shè)學生在選擇某門學科競賽

13、后不能中途退出且不能加選或改選其他競賽。</p><p>  6.各個因素的權(quán)重客觀準確地反映了學生的真實能力或?qū)嶋H情況。(權(quán)重由大到小分為十個等級,即1~10)</p><p>  7.競賽種類對于學生能力的要求不變,客觀背景形式在決策期間不變。</p><p>  8.學生對競賽的選擇只與我們所求出的權(quán)重有關(guān)。</p><p><b

14、>  四.問題分析</b></p><p>  1.通過對題目的仔細分析我們得出以下幾點重要信息:</p><p>  1)該學生只能選擇一門競賽并且不能中途退出;</p><p>  2) 由于決策建立在學生個人思維基礎(chǔ)上,是個人對事物的分析、判斷和興趣來作出決定。兩種極端的決策準則是:“決策的結(jié)果最好”和“決策的成本最小。</p>

15、<p>  3)每一步達到最優(yōu)是不可能實現(xiàn)的,所以我們只能在限定條件下在最好決策與成本最小之間做權(quán)衡。</p><p>  題目要求根據(jù)學生的實際需要,建立最優(yōu)的學科競賽選擇方案。而競賽選擇方案的確定主要需要解決兩個問題:如何確定每個因素對學生的權(quán)重;在知道各方面考慮的權(quán)重后,如何決策使被選競賽的權(quán)重之和最大。</p><p>  學科競賽和學生的關(guān)系從兩個方面來體現(xiàn):決策成本

16、和預期效果,其中決策成本(影響因素)權(quán)重的確定相對較復雜,要根據(jù)層次分析法分三個階段完成,即分別算出學習興趣、學習能力對各科競賽的權(quán)重;預期效果影響比較單一,主要看學生能否在冬令營之前或在冬令營中取得自己理想的成績,為使成本影響和預期效果影響統(tǒng)一化,我們把各科筆試分數(shù)除以最高分得到的權(quán)重,再乘以比例系數(shù)r,所得到的數(shù)字構(gòu)成對各科的總權(quán)重 f,得到權(quán)重矩陣5Q,其中r的值根據(jù)各科老師對筆試的重視程度而定。這樣第一個問題就解決了。當考慮應(yīng)聘

17、者的意愿時,建立矩陣S。</p><p><b>  基本符號說明</b></p><p>  U、v、T、D:分別表示各門競賽編號,編號按照數(shù)學、物理、化學、生物、信息技術(shù);</p><p><b>  I:學生自身的能力</b></p><p>  a:學生對該學科競賽的興趣</p>

18、<p><b>  t:時間(自變量)</b></p><p><b>  建立模型</b></p><p>  背景假設(shè):某同學在升入高中后進行了一次能力測試的考試,并在該次考試后面臨選擇一門學科競賽的決策??紤]到人類對于某門學科競賽的態(tài)度受時間的影響受個體差異影響產(chǎn)生差別,在這里我們大致把情況分成兩類:</p>&

19、lt;p>  隨著時間的推移,越來越喜愛這門學科(圖一);</p><p>  隨著時間的推移,學習興趣呈下降態(tài)勢(圖二)。</p><p>  由此我們可以以兩種不同人群得出如下兩種不同的大致圖像:(這里假設(shè)學習興趣越濃厚則學習效率越高且定義:學習效率=單位時間內(nèi)個人能力的提升。X=Time Y=ability)</p><p>  P.S兩根曲線代表兩種不

20、同的學科。f(0)較小曲線可視為興趣學科,較大曲線可視為優(yōu)勢學科?,F(xiàn)在我們帶入模型具體分析。</p><p><b>  圖一</b></p><p><b>  圖二</b></p><p>  由上述已知,該學生入學測試物理化學分數(shù)分別為96 ,90(滿分均為100),我們不妨以他的入學分數(shù)的50倍作為起點—f(0).

21、則有如下幾種情況:(化學為興趣學科,物理為優(yōu)勢學科,競賽學習時間通常為2年,假設(shè)有效學習時間為20個月)</p><p>  1.假設(shè)該名學生對某門競賽的熱愛隨時間的推移遞增。</p><p>  1)該曲線若為二次函數(shù)局部圖像,即該同學在該學科上的能力變化量(單位:p)與時間(單位:m)呈平方關(guān)系Y=ax²+c(圖三)。</p><p>  假設(shè)該同學對

22、化學的熱愛度是物理的兩倍,設(shè)a(物理)=1 a(化學)=2,即</p><p>  Y(物理)=x²+4800</p><p>  Y(化學)=2x²+4500</p><p><b>  圖三</b></p><p>  顯然,興趣學科在經(jīng)過20個月的學習過后,成為了優(yōu)勢學科。同理,其余高次高次函數(shù)

23、也將得到相同結(jié)果。</p><p>  該曲線若為指數(shù)函數(shù)圖像平移后的局部圖像,即該同學在該學科的能力變化量與時間呈指數(shù)關(guān)系Y=a^x+c(圖四), 這里同樣假設(shè)a(物理)=½a(化學)。</p><p>  為控制區(qū)分度,故a^x∈【0,200】時最佳,故選擇a=1.3,即</p><p>  Y(物理)=1.3^x+4800</p>&l

24、t;p>  Y(化學)=2.6^x+4500</p><p><b>  圖四</b></p><p>  顯然,興趣學科經(jīng)過一段時間的優(yōu)勢遠遠大于目前的優(yōu)勢學科。</p><p>  通過對以上幾種情況的討論,我們得出結(jié)論:在學生對選擇競賽的興趣隨時間增加的情況下,因其具有較大的發(fā)展空間與自身的發(fā)展?jié)摿Γ瑧?yīng)優(yōu)先選擇興趣學科。</p

25、><p>  下面是對第二種情況的討論。</p><p>  2.假設(shè)該名學生對某門競賽的熱愛隨時間的推移遞減。</p><p>  1)假設(shè)該曲線為平方根函數(shù)平移后圖像局部,即能力變化量與時間成平方根的關(guān)系Y=a√x+c(圖五),為控制區(qū)分度,這里設(shè)a(物理)=100,a(化學)=200。</p><p>  Y(物理)=100√x+4800&

26、lt;/p><p>  Y(化學)=200√x+4500</p><p><b>  圖五</b></p><p>  如圖,后期興趣學科超過優(yōu)勢學科。</p><p>  2)假設(shè)該曲線為對數(shù)函數(shù)平移后的圖像,即能力變化量與時間成對數(shù)關(guān)系。即</p><p>  Y=alogb(z,x+1)+c(圖

27、六)。</p><p>  為控制區(qū)分度,alogb(z,x),∈【0,200】時最佳,故選擇z=4.5,a(物理)=100</p><p>  a(化學)=200,即</p><p>  y(物理)=100logb(x+1,4.5)+4800</p><p>  y(化學)=200logb(x+1,4.5)+4500</p>

28、<p><b>  圖六</b></p><p>  如圖,最初的優(yōu)勢學科在經(jīng)過一段時間后依舊處于優(yōu)勢。</p><p>  由此可見,在以自身實力能夠達到最高為目的進行決策的多種情況中,興趣學科是占絕對優(yōu)勢的。</p><p>  根據(jù)一般情況來講1-1與2-1的存在更為普遍,在這里我們?yōu)橹謩e賦權(quán)0.4,2-2為賦權(quán)0.2,分別以

29、最終能力作為標準,則有Ab(物理)=(20^2+4800)*0.4+(100*√20+4800)*0.4+【100logb(21,4.5)+4800】*0.2≈2080+2010+1000=5090(p)</p><p>  Ab(化學)=(2*20^2+4500)*0.4+(200*√20+4500)*0.4+【200logb(21,4.5)+4500】*0.2≈2120+2160+980=5260(p)<

30、;/p><p>  注:由于1-2屬于較特殊情況,故不進入加權(quán)范圍。</p><p>  綜上所述:以參賽時自身實力最高為目的的決策中,選擇興趣學科具有較大優(yōu)勢。 </p><p>  (一)、對于該生學習競賽的能力的權(quán)重評定</p><p>  通過該生對各科競賽的能力比較,我們發(fā)現(xiàn)該生只有物理、化學、信息技術(shù)三個科目滿足各科

31、競賽學習要求,其余均不能達到學習水平的要求,為優(yōu)化決策,我們認為學生應(yīng)該選擇學習效率更高的一門競賽,在這里我們引入權(quán)重的概念來標識各科競賽對該生的適合程度。我們認定該生的能力滿足學習競賽水平要求時,權(quán)重設(shè)定為1,能力與最低參加競賽水平稍差時,權(quán)重設(shè)定為1/2;能力與最低參加競賽水平明顯相差很多時,權(quán)重設(shè)定為1/4:能力與最低參加競賽水平特別相差時,權(quán)重設(shè)定為t/8。</p><p>  (1) 求該生決策成本(各

32、影響因素)對每科競賽的權(quán)重</p><p>  我們可以從單一工作類別出發(fā)來求解各個權(quán)重,這樣可以使復雜的問題簡化。求該生學習興趣對每科競賽的權(quán)重時,我們采用了層次分析法的思想,在這種方法中,需要先建立成對比較矩陣。如對物理競賽,要求學生的理解能力和應(yīng)變能力(學習能力)最高(10),其次為學習興趣(6),最后為預期效果(3),故得成對比較矩陣如下:</p><p><b>  1

33、 1/221/2</b></p><p><b>  21 4 1</b></p><p><b>  A =</b></p><p>  1/21/411/4</p><p><b>  21 4 1</b></p><p>  其中a

34、l2=1/2~J]表示理解能力和應(yīng)變能力對學科競賽1)的重要性之比為1:2,a23=4即表示應(yīng)變能力和理解能力對學科競賽~EJ1)的重要性之比為4:1。求出對比矩陣的最大特征根為 4.0000,對應(yīng)的特征向量歸一化后為</p><p>  =(0.1618,0.3636,0.0909,0.3636)T</p><p>  即為四種能力對于學科競賽1)的權(quán)重。由此,可知理解能力和學習興趣對

35、工作類別1)的權(quán)重最大,其次為理解能力,最后是應(yīng)變能力。同理可求得四種能力對于其它三個工作類別的權(quán)重,從而得四種能力分別對于四種工作類別的權(quán)重矩陣</p><p>  0.1818 0.4444 0.1000 0.1111</p><p>  0.3636 0.2222 0.1000 0.2222</p><p>  0.0909 0.2222 0.4000 0.2

36、222</p><p>  0.3636 0.1111 0.4000 0.4444</p><p>  (2) 確定在同一學科競賽類別下同學對四種能力的權(quán)重比較標準:我們認定同學能力滿足老師希望要求,設(shè)定為1:能力與希望水平稍差,設(shè)定為1/2;能力與希望水平明顯相差,設(shè)定為1/4:能力與希望水平相差特別多,設(shè)定為1/8。</p><p>  同學的四項能力評定結(jié)果與

37、該學科競賽對四種能力的要求按上面的標準進行比較,得該同學對這一學科競賽下對四種能力的權(quán)重。</p><p>  在以上比較標準下,四種能力的成對比較矩陣是一致陣 (其性質(zhì)見參考文獻f11)將Jv個應(yīng)</p><p>  聘者的權(quán)重組合構(gòu)成權(quán)重矩陣BN 4。</p><p>  (3) 確定該同學考試成績在學科競賽~EJ(1)中的最終權(quán)重令CNl為各同學對于工作類~E

38、J(1)的權(quán)重向量,則 l=BNl× l,其中 1表示矩陣 的第一列向量。</p><p>  (4) 重復(2),(3)兩步,按步驟(3)中的方法分別求各同學對于學科競賽(2),(3),(4)的</p><p>  權(quán)重向量:DNl, l, l。將求得的權(quán)重向量CNl,DNl, l, l組合在一起得矩陣GN×4。 </p><p> ?。ǘ┕P

39、試成績的權(quán)重評定</p><p>  我們?nèi)」P試成績中最高得分的權(quán)重為1,其他筆試成績與之相比的比值作為該同學筆試成績</p><p><b>  的權(quán)重。</b></p><p> ?。ㄈ┚C合權(quán)重設(shè)定設(shè)r為決策成本權(quán)重與預期效果權(quán)重的比例系數(shù),當r=1時,決策成本權(quán)重與預期效果權(quán)重同等重要。r具體取值由學科老師對筆試成績的認可程度決定。&l

40、t;/p><p><b>  七.模型求解與分析</b></p><p> ?。ㄒ唬τ趩栴}一的求解,根據(jù)題意,N=I6,M=7,N=8,MI=1,M3=2</p><p>  我們?nèi)《╮=N用模型給出的權(quán)重確定準則,根據(jù)16名同學的成績,利用方法一確定綜合成績權(quán)重矩陣Q,將其代入上面的模型表達式(1)利用數(shù)學軟件LINGO求得:</p>

41、;<p>  X5,1 = Xl,2X2,2 = X4,2= X6,3 = X9,3 = Xll,4 = XI2,4=1,其余z =0。</p><p>  所得的方案為:該同學適合學習化學競賽</p><p><b>  圖六</b></p><p>  八.對于模型的建議與推廣</p><p>  同

42、學在選擇學科競賽時,只能表明自己希望取得某種成績或是考取某所大學。實際上各科競賽在各方面不能統(tǒng)一,在以上的決策辦法中,學生根據(jù)綜合因素做出理論上的最優(yōu)決策。這樣,即使該生最終選擇某門學科競賽,該競賽未必就是他想要去的。因此,我們建議在學生選擇競賽種類時,允許其在選擇最佳成果的同時,可以兼修自己最感興趣的一門競賽。這樣,在過后的人才選拔時,不僅可以使學生拓寬自己在就業(yè)方面的選擇渠道,也為用人單位優(yōu)化員工質(zhì)量。當應(yīng)聘者不能按照他的志愿被錄用

43、時,我們就可以根據(jù)他第二甚至第三優(yōu)勢學科的情況,對他在不同工作類別而待遇條件近似的部門之間進行合理地調(diào)劑,從而不使人才流失。</p><p>  在人選擇單位時,我們也要考慮人對單位中各種工作的對口程度,利用層次分析法,求出應(yīng)聘人員應(yīng)當去填報何種單位:看下面一個例子:</p><p>  科目 化學 物理 數(shù)學 生物 信息技術(shù)</p>&

44、lt;p>  該生優(yōu)勢大中小小小</p><p>  根據(jù)層次分析法,利用成對比較矩陣求得各種待遇的權(quán)重向量:</p><p>  =[0.65820.24730.10560.24730.6582]</p><p>  通過計算求得各個單位對該人的適合度向量W,W 表示第i個部門對該人的適合度</p><p>  =[1.

45、39000.95121.31291.75171.47781.47781.75171]</p><p>  結(jié)論:從中我們可以看出,此人應(yīng)該著重考慮物理競賽、化學競賽。</p><p>  九.模型的優(yōu)缺點及改進方向</p><p><b>  1.優(yōu)缺點:</b></p><p>  1)建模過程中,把個學科競賽對各種素

46、質(zhì)能力的要求、同學的筆試成績等影響同學學習效果的因素轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的權(quán)重,使問題變得簡單和清晰化。</p><p>  2)模型對各種情況都做了全面的分析,并且有很多參數(shù)可以根據(jù)實際需要取一定的值,使模型具有很強的普遍性和實用性。</p><p>  3)設(shè)計的解法簡單易行,具有一定的通用性。</p><p>  4)模型的缺點是當Ⅳ, 取值較大時,必須要尋找一種更有效

47、的算法求解模型。</p><p>  5)沒有考慮個例參加多門學科的情況這一點。</p><p>  6)用對數(shù)衡量時間與能力變化量的關(guān)系不夠準確的,倘說能以對數(shù)來衡量學科興趣隨時間的下降情況,則該學科能被稱為興趣學科的合理性并不高。</p><p><b>  模型的改進:</b></p><p>  對于權(quán)重的取值,

48、可以通過各科老師對該同學的評價來確定,使得同學與教授老師之間更加熟悉,減少磨合時間,同學可根據(jù)同要求確定不同選取方式。</p><p><b>  十.參考文獻</b></p><p>  [1]姜啟源,數(shù)學模型[M],北京:高等教育出版社2011;</p><p>  [2]葉其孝,大學生數(shù)學建模競賽輔導材料[M]長沙:湖南教育出版社,200

49、2 ;</p><p>  [3]導向科技,Matlab6.0程序設(shè)計與實例應(yīng)用[M]_北京:中國鐵道出版社,2001;</p><p>  [4]工程數(shù)學學報 ,2004年12月 第七期 第21卷;</p><p>  [5] 《運籌學》教材編寫組,運籌學fMJ,北京:清華大學出版社,1990;</p><p>  [6]盧開澄,單目標、多

50、目標與整數(shù)規(guī)劃[M],北京:清華大學出版社,1999;</p><p>  [7]宿玉海,人民幣-籃子貨幣最優(yōu)權(quán)重模型的構(gòu)建,北京:中國財政經(jīng)濟出版社,2008。</p><p><b>  附錄:</b></p><p><b>  名詞解釋</b></p><p>  最優(yōu)化(選擇):為了達到最

51、優(yōu)化目的所提出的各種求解方法。從數(shù)學意義上說,最優(yōu)化方法是一種求極值的方法,即在一組約束為等式或不等式的條件下,使系統(tǒng)的目標函數(shù)達到極值,即最大值或最小值。文中指影響個人發(fā)展的綜合因素總占比重最大的選擇。</p><p>  決策: 決策,是為了實現(xiàn)特定的目標,根據(jù)客觀的可能性,在占有一定信息和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上,借助一定的工具、技巧和方法,對影響目標實現(xiàn)的諸因素進行分析、計算和判斷選優(yōu)后,對未來行動作出決定。準則是成

52、本最小,目的是使決策結(jié)果最理想。</p><p>  線性規(guī)劃:在一定條件下,合理安排人力物力等資源,使經(jīng)濟效果達到最好.一般地,求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題。</p><p>  權(quán)重:權(quán)重是一個相對的概念,是針對某一指標而言。某一指標的權(quán)重是指該指標在整體評價中的相對重要程度。權(quán)重表示在評價過程中,是被評價對象的不同側(cè)面的重要程度的定量分配,對各評價因子在總體評

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