沒有幻燈片標(biāo)題[0002]

1、MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),第三章 矩陣代數(shù),2024/2/29,2,第二章 MATLAB編程與作圖,第三章 矩陣代數(shù),3.1 預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù)3.2 矩陣代數(shù)的MATLAB指令3.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解3.4 建模實(shí)驗(yàn)：投入產(chǎn)出分析和基因遺傳,2024/2/29,3,第二章 MATLAB編程與作圖,3.1 預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù),線性方程組記為 A x = b,2024/2/29,4,第二章 MATLAB編程與作圖

2、,3.1 預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù),線性方程組若秩(A) ? 秩(A,b)，則無解；若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解；若秩(A) = 秩(A,b) < n, 存在無窮多解； 通解是齊次線性方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系與 Ax=b 的一個(gè)特解之和。,2024/2/29,5,第二章 MATLAB編程與作圖,3.1 預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù),逆矩陣方陣A稱為可逆的，如果存在方陣B，使A B = B A = E，記 B =

3、 A-1方陣A可逆的充分必要條件:?A??0A-1 =A*/|A| 這里A*為A的伴隨矩陣（A E） 行變換,2024/2/29,6,第二章 MATLAB編程與作圖,3.1 預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù),特征值與特征向量 對(duì)于方陣A，若存在數(shù)?和非零向量x 使 A x = ? x，則稱?為A的一個(gè)特征值，x 為A 的一個(gè)對(duì)應(yīng)于特征值?的特征向量。特征值計(jì)算歸結(jié)為特征多項(xiàng)式的求根。特征向量計(jì)算：齊次線性方程組(A - ?E) x

4、 = 0 的所有一組線性無關(guān)解。,2024/2/29,7,第二章 MATLAB編程與作圖,3.2 矩陣代數(shù)的MATLAB指令,運(yùn)算符A’ (共軛)轉(zhuǎn)置, A.’ 轉(zhuǎn)置 A+B與A-B 加與減k+A與k-A 數(shù)與矩陣加減k*A或A*k 數(shù)乘矩陣 A*B 矩陣乘法 A^k 矩陣乘方左除A\B 為AX=B的解右除B/A 為XA=B的解,2024/2/2

5、9,8,第二章 MATLAB編程與作圖,3.2 矩陣代數(shù)的MATLAB指令,矩陣運(yùn)算與數(shù)組運(yùn)算的區(qū)別數(shù)組運(yùn)算按元素定義，矩陣運(yùn)算按線性代數(shù)定義矩陣的加、減、數(shù)乘等運(yùn)算與數(shù)組運(yùn)算是一致的 矩陣的乘法、乘方和除法與數(shù)組乘法、乘方和除法不同數(shù)與矩陣加減、矩陣除法在數(shù)學(xué)上是沒有意義的。但在MATLAB中有定義。 例子 P45-46,2024/2/29,9,第二章 MATLAB編程與作圖,3.2 矩陣代數(shù)的MATLAB指令,特殊矩陣生成

6、zeros(m,n) m行n列的零矩陣;ones(m,n) m行n列的元素全為1的陣;eye(n) n階單位矩陣;rand(m,n) m行n列[0,1]上均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣,2024/2/29,10,第二章 MATLAB編程與作圖,3.2 矩陣代數(shù)的MATLAB指令,矩陣處理 trace(A) 跡(對(duì)角線元素的和)diag(A) A對(duì)角線元素構(gòu)成的向量;diag(x) 向量x的元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣

7、.tril(A) A的下三角部分triu(A) A的上三角部分flipud(A) 矩陣上下翻轉(zhuǎn)fliplr(A) 矩陣左右翻轉(zhuǎn)reshape(A, m, n) 矩陣A的元素重排成m行n列矩陣,2024/2/29,11,第二章 MATLAB編程與作圖,3.2 矩陣代數(shù)的MATLAB指令,矩陣分析 rank(A) 秩det(A) 行列式;inv(A) 逆矩陣;null(A) Ax=0的基礎(chǔ)解系；orth(A) A列向量正

8、交規(guī)范化norm(x) 向量x的范數(shù)norm(A) 矩陣A的范數(shù),2024/2/29,12,第二章 MATLAB編程與作圖,3.2 矩陣代數(shù)的MATLAB指令,特征值與標(biāo)準(zhǔn)形eig(A) 方陣A的特征值[V, D]=eig(A)返回方陣A的特征值和特征向量。其中D為的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的V的列為屬于該特征值的一個(gè)特征向量。[V, J]=jordan(A) 返回A的相似變換矩陣和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 例子 P49-50,

9、2024/2/29,13,第二章 MATLAB編程與作圖,3.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解,矩陣除法 (1) 當(dāng)A為方陣，A\B結(jié)果與inv(A)*B一致；(2) 當(dāng)A不是方陣, AX=B存在唯一解, A\B將給出這個(gè)解；(3) 當(dāng)A不是方陣, AX=B為不定方程組(即無窮多解)，A\B將給出一個(gè)具有最多零元素的特解；(4) 當(dāng)A不是方陣, AX=B若為超定方程組（即無解）, A\B給出最小二乘意義上的近似解，即使得向量AX－B

10、的模達(dá)到最小。,2024/2/29,14,第二章 MATLAB編程與作圖,3.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解,例3.1 解方程組,2024/2/29,15,第二章 MATLAB編程與作圖,3.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解,例3.2 線性方程組通解用rref化為行最簡形以后求解用除法求出一個(gè)特解，再用null求得一個(gè)齊次組的基礎(chǔ)解系用符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱中的solve求解(第七章),2024/2/29,16,第二章 MATLAB編程

11、與作圖,3.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解,相似對(duì)角化及應(yīng)用 如果n階方陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則必存在正交矩陣P, 使得 P-1AP= ?, 其中?是A的特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣，P的列向量是對(duì)應(yīng)的n個(gè)正交特征向量。使用MATLAB函數(shù)eig求得的每個(gè)特征向量都是單位向量(即模等于1)，并且屬于同一特征值的線性無關(guān)特征向量已正交化，所以由此容易進(jìn)行相似對(duì)角化。,2024/2/29,17,第二章 MATLAB編程與作圖,3.3 計(jì)算

12、實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解,例3.3 用相似變換矩陣P將A相似對(duì)角化，并求,2024/2/29,18,第二章 MATLAB編程與作圖,3.4 建模實(shí)驗(yàn),設(shè)有n個(gè)經(jīng)濟(jì)部門，xi為部門i的總產(chǎn)出，cij為部門j單位產(chǎn)品對(duì)部門i產(chǎn)品的消耗，di為外部對(duì)部門i的需求，fj為部門j新創(chuàng)造的價(jià)值。分配平衡方程組消耗平衡方程組 i =1,2,…,n,20

13、24/2/29,19,第二章 MATLAB編程與作圖,投入產(chǎn)出分析,令 C =（cij），X = (x1, …, xn)',D = (d1, …, dn)’，F(xiàn)= (f1, …, fn)’, 則 X=CX+D令 A = E－C，E為單位矩陣，則 AX = DC稱為直接消耗矩陣A稱為列昂杰夫（Leontief）矩陣。,2024/2/29,20,第二章 MATL

14、AB編程與作圖,Y = [1,1,…,1] B,Y表示各部門的總投入，稱為投入向量。,新創(chuàng)造價(jià)值向量 F=X –Y ',B=C,B表示各部門間的投入產(chǎn)出關(guān)系，稱為投入產(chǎn)出矩陣。,2024/2/29,21,第二章 MATLAB編程與作圖,投入產(chǎn)出分析,例3.4 某地有三個(gè)產(chǎn)業(yè)，一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25元的運(yùn)輸費(fèi); 生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費(fèi)，0.0

15、5元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi); 創(chuàng)收一元錢的運(yùn)輸費(fèi),鐵路要支付0.55元的煤費(fèi)和0.10元的電費(fèi)，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對(duì)地方鐵路沒有需求。,2024/2/29,22,第二章 MATLAB編程與作圖,解：這是一個(gè)投入產(chǎn)出分析問題。設(shè)x1為本周內(nèi)煤礦總產(chǎn)值，x2為電廠總產(chǎn)值, x3為鐵路總產(chǎn)值, 則,問三個(gè)企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界需求？三個(gè)企業(yè)間相互支付多少金

16、額？三個(gè)企業(yè)各創(chuàng)造多少新價(jià)值?,2024/2/29,23,第二章 MATLAB編程與作圖,直接消耗矩陣C=,外界需求向量 D =,產(chǎn)出向量X =,則原方程為 (E-C)X=D,投入產(chǎn)出矩陣為 B=C*diag(X)總投入向量 Y= ones(1,3)*B 新創(chuàng)造價(jià)值向量 F=X-Y’,2024/2/29,24,第二章 MATLAB編程與作圖,表3.3 投入產(chǎn)出分析表(單位：元),2024/2/29,25,

17、第二章 MATLAB編程與作圖,后代是從父母體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和a控制，那么有三種基因型，,上表給出父母基因型的所有可能組合使其后代形成每種基因?qū)Φ母怕省?基因遺傳,2024/2/29,26,第二章 MATLAB編程與作圖,例5 設(shè)金魚某種遺傳病染色體的正?；?yàn)锳，不正?；?yàn)閍, 那么AA，Aa，aa分別表示正常金魚，隱性患者，顯性患者。設(shè)初始分布為90%正常金魚，10%