沒(méi)有幻燈片標(biāo)題[0010]

1、,教師：陳彬，教授， chenb6@zju.edu.cn 航空航天學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)研究所作業(yè)、課件等相關(guān)信息網(wǎng)址： http://mypage.zju.edu.cn/en/chenbin,材料力學(xué)劉鴻文主編(第5版) 高等教育出版社,,,目錄,1,第七章作業(yè)1,7.1、7.2(a,c)、7.3(a,c,d)、7.4(b,c)7.8、7.10,2,,基本變形的研究步驟,應(yīng)力,,內(nèi)力,強(qiáng)度、剛度效核,截面尺寸

2、設(shè)計(jì),許可載荷確定,外力,變形,,,工程實(shí)際問(wèn)題,解決超靜定,強(qiáng)度條件,剛度條件,,,,,,,3,,基本變形框架圖,,,,4,,5,第七章 應(yīng)力應(yīng)變分析 強(qiáng)度理論,Mechanics of Materials,Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria,材料力學(xué),6,第七章 應(yīng)力和應(yīng)變分析 強(qiáng)度理

3、論Chapter7 Analysis of Stress and Strain Strength Theories,§7-1 應(yīng)力狀態(tài)概述 (Concepts of stress-state),§7-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法 (Analysis of plane stress-state),,,,§7-3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法(Analysis of plane stress-state

4、),§7-4 三向應(yīng)力狀態(tài)分析 (Analysis of three-dimensional stress-state),,7,§7-6 廣義虎克定律(Generalized Hook’s law),§7-7 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的變形比能 (Strain-energy density in general stress-state ),§7-8 強(qiáng)度理論 ( Failure criteria),&

5、#167;7-5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析 (Analysis of plane strain-state),,,,,§7-9 莫爾強(qiáng)度理論 (Mohr’s failure criterion),,8,§7-1 應(yīng)力狀態(tài)概述 (Introduction of stress-state),一、應(yīng)力狀態(tài)的概念 (Concepts of stresses-state),請(qǐng)看下面幾段動(dòng)畫(huà),1、低碳鋼和鑄鐵的拉伸實(shí)

6、驗(yàn)(A tensile test of low-carbon steel and cast iron),2、低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)(A torsional test of low-carbon steel and cast iron),9,低碳鋼(low- carbon steel),?,塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？,鑄鐵(cast-iron),低碳鋼和鑄鐵的拉伸,10,?,為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45º螺旋面斷開(kāi)

7、？,低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn),低碳鋼(low- carbon steel),鑄鐵(cast-iron),11,(1) 拉中有剪，剪中有拉; (2) 不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力; (3) 同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同; (4) 同一點(diǎn)不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同,3、重要結(jié)論（Important conclusions),哪一點(diǎn)？哪個(gè)方向面？,哪一個(gè)面上？哪一點(diǎn)？,4、一點(diǎn)的

8、應(yīng)力狀態(tài)（state of stresses of a given point),過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的情況，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（state of stresses of a given point)，亦指該點(diǎn)的應(yīng)力全貌.,12,二、應(yīng)力狀態(tài)的研究方法 (The method for investigating the state of stress),1、單元體（Element body）,2、單元體特征 (Element ch

9、aracteristic),3、主單元體(Principal body) 各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體,13,4、主平面(Principal plane) 切應(yīng)力為零的截面,5、主應(yīng)力(Principal stress) 主面上的正應(yīng)力,說(shuō)明: 一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體, 三個(gè)相互垂直的面均為主平面, 三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為 ?1 ,?2 , ?3 且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來(lái)排列,

10、 即,14,三、應(yīng)力狀態(tài)的分類(The classification of stresses-state),1、空間應(yīng)力狀態(tài)(triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ) 三個(gè)主應(yīng)力?1 、?2 、?3 均不等于零,2、平面應(yīng)力狀態(tài)(biaxial stress-state or plane stress-state) 三個(gè)主

11、應(yīng)力?1 、?2 、?3 中有兩個(gè)不等于零,3、單向應(yīng)力狀態(tài)(uniaxial stress-state or simple stress-state ) 三個(gè)主應(yīng)力 ?1 、?2 、?3 中只有一個(gè)不等于零,15,,例題 1 畫(huà)出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體.,16,S平面,,,,F,17,例題 2 畫(huà)出如圖所示梁 危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 單元體,18,y,x,z,19,例題3 分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時(shí)的

12、應(yīng)力狀態(tài),,,薄壁圓筒的橫截面面積,(1)沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為F,20,,,,(2)假想用一直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環(huán)為研究對(duì)象,21,例4:圓球形薄壁容器，壁厚為 t，內(nèi)徑為D，承受內(nèi)壓p作用。,,22,平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示 .單元體上有?x ,?xy 和 ? y ,? yx,§7-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法(Analysis of plane stress-state),,23,一、斜

13、截面上的應(yīng)力(Stresses on an oblique section),1、截面法 (Section method) 假想地沿斜截面 ef 將單元體截開(kāi),留下左邊部分的單體元 eaf 作為研究對(duì)象,24,(1)由x軸轉(zhuǎn)到外法線n，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)則?為正,(2)正應(yīng)力仍規(guī)定拉應(yīng)力?為正,(3)切應(yīng)力對(duì)單元體內(nèi)任一點(diǎn)取矩，順時(shí)針轉(zhuǎn)?為正,2、符號(hào)的確定 (Sign convention),25,設(shè)斜截面的面積為 dA , ae的面

14、積為 dAcos? ,af 的面積為 dAsin?,3、任意斜截面上的應(yīng)力(The stress acting on any inclined plane),對(duì)研究對(duì)象列 n和 t 方向的平衡方程得,26,化簡(jiǎn)以上兩個(gè)平衡方程最后得,不難看出,即兩相互垂直面上的正應(yīng)力之和保持一個(gè)常數(shù),27,二、最大正應(yīng)力及方位(Maximum normal stress and it’s direction),,1、最大正應(yīng)力的方位(The dir

15、ection of maximum normal stress ),令,,?0 和 ?0+90°確定兩個(gè)互相垂直的平面，一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面.,28,2、最大正應(yīng)力(Maximum normal stress ),將 ?0和 ?0+90°代入公式,得到 ?max 和 ? min (主應(yīng)力）,,下面還必須進(jìn)一步判斷?0是?x與哪一個(gè)主應(yīng)力間的夾角,29,(1)當(dāng)?x> ?y 時(shí)

16、 ， ?0 是?x與?max之間的夾角,(2)當(dāng)?x<?y 時(shí) ， ?0 是?x與?min之間的夾角,(3)當(dāng)?x=?y 時(shí) ，?0 =45°，主應(yīng)力的方向可由單元體上 切應(yīng)力情況直觀判斷出來(lái),則確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則如下,若約定 | ?0 | < 45°即?0 取值在±45°范圍內(nèi),30,二、最大切應(yīng)力及方位(Maximum she

17、aring stress and it’s direction),1、最大切應(yīng)力的方位(The direction of maximum shearing stress ),令,,?1 和 ?1+90°確定兩個(gè)互相垂直的平面，一個(gè)是最大切應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小切應(yīng)力所在的平面.,31,2、最大切應(yīng)力(Maximum shearing stress ),將 ?1和 ?1+90°代入公式,得到 ?max和?min,

18、可見(jiàn),,32,例題4 簡(jiǎn)支梁如圖所示.已知 mm 截面上A點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為? =-70MPa，? =50MPa .確定A點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面的方位.,,解：,把從A點(diǎn)處截取的單元體放大如圖,33,因?yàn)??x < ?y ，所以 ?0= 27.5° 與 ?min 對(duì)應(yīng),,34,例題5 圖示單元體，已知 ?x =-40MPa， ?y =60MPa，?xy=-50MPa.試求 ef 截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的

19、方位.,(1) 求 ef 截面上的應(yīng)力,35,(2) 求主應(yīng)力和主單元體的方位,?x = -40MPa ?y =60 MPa ?x = -50MPa?=-30°,因?yàn)??x < ?y ，所以 ?0= -22.5° 與 ?min 對(duì)應(yīng),36,37,解 （1）求主平面方位,,因?yàn)??x = ?y ，且 ?x > 0,例題6 求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位.,,,,,,?xy,所

20、以?0= -45°與 ?max 對(duì)應(yīng),（2）求主應(yīng)力,?1 = ? ， ?2 = 0 ， ?3 = - ?,,38,第七章作業(yè)2：,7.13、7.17、7.18,39,7.19、7.21、7.28,§7-3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法 (Analysis of plane stress-state with graphical means),一、莫爾圓(Mohr’s

21、 circle),將斜截面應(yīng)力計(jì)算公式改寫(xiě)為,+,40,,,因?yàn)?x ，?y ，?xy 皆為已知量，所以上式是一個(gè)以??，??為變量的圓周方程。當(dāng)斜截面隨方位角 ? 變化時(shí), 其上的應(yīng)力?? ， ?? 在? - ? 直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)圓 .,1、圓心的坐標(biāo)(Coordinate of circle center),2、圓的半徑（Radius of circle),此圓習(xí)慣上稱為 應(yīng)力圓( plane stress cir

22、cle) , 或稱為莫爾圓(Mohr’s circle),,41,(1) 建 ? - ? 坐標(biāo)系 ,選定比例尺,二、應(yīng)力圓作法（The method for drawing a stress circle),1、步驟（Steps),42,,o,?,?,,,,(2) 量取,OA= ? x,AD = ? xy,得 D 點(diǎn),OB= ?y,(3) 量取,BD′= ?yx,得 D′ 點(diǎn),,(4) 連接 DD′兩點(diǎn)的直線與? 軸相交于 C

23、 點(diǎn),(5)以C為圓心, CD 為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓,,43,(1)該圓的圓心 C 點(diǎn)到 坐標(biāo)原點(diǎn)的 距離為,(2)該圓半徑為,2、證明(Prove),44,三、應(yīng)力圓的應(yīng)用（Application of stress-circle),1、求單元體上任一 截面上的應(yīng)力(Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle),從應(yīng)力圓

24、的半徑 CD 按方位角 ? 的轉(zhuǎn)向 轉(zhuǎn)動(dòng) 2? 得到半徑 CE.圓周上 E 點(diǎn)的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力 ?? 和切應(yīng)力 ?? 。,45,證明：,,,,,,,,,46,47,,2、求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置 (Determine principle stress and the direction of principle plane by using stress circle),(1)主應(yīng)力數(shù)值,,,A1 和 B1

25、 兩點(diǎn)為與主平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo) 為主應(yīng)力 ?1 ，?2,48,,,,（2）主平面方位,由 CD順時(shí)針轉(zhuǎn) 2?0 到CA1,所以單元體上從 x 軸順時(shí)針轉(zhuǎn) ?0 （負(fù)值）即到 ?1對(duì)應(yīng)的主平面的外法線,?0 確定后， ?1 對(duì)應(yīng)的主平面方位即確定,49,,3、求最大切應(yīng)力(Determine maximum shearing stress by using stress circle),,G1 和 G 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分

26、別代表最大和最小切應(yīng)力,因?yàn)樽畲笞钚∏袘?yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑,50,例題7 從水壩體內(nèi)某點(diǎn)處取出的單元體如圖所示,?x = - 1MPa , ?y = - 0.4MPa , ?xy= - 0.2MPa , ?yx = 0.2MPa ,,(1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓,(2)確定此單元體在 ? =30°和? = - 40°兩斜面上的應(yīng)力。,解: (1) 畫(huà)應(yīng)力圓,量取OA= ?x= - 1 , AD = ?XY= -

27、 0.2,定出 D點(diǎn);,,,OB =?y= - 0.4和， BD′ = ?yx= 0.2 , 定出 D′點(diǎn) .,,以 DD′ 為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。,51,將 半徑 CD 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 2? = 60°到半徑 CE, E 點(diǎn)的坐標(biāo)就代表 ? = 30°斜截面上的應(yīng)力。,(2) 確定 ? = 30°斜截面上的應(yīng)力,,,(3) 確定 ? = - 40°斜截面上的應(yīng)力,將 半徑 CD順時(shí)針轉(zhuǎn)

28、 2? = 80°到半徑 CF, F 點(diǎn)的坐標(biāo)就代表? = - 40°斜截面上的應(yīng)力。,52,例題8 兩端簡(jiǎn)支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試?yán)L出截面 c 上 a , b 兩點(diǎn)處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。,53,解: (1) 首先計(jì)算支反力, 并作出 梁的剪力圖和彎矩圖,Mmax = MC = 80 kN?m,FSmax =FC左 = 200 kN,54,(2

29、)橫截面 C上a 點(diǎn)的應(yīng)力為,a點(diǎn)的單元體如圖所示,55,,由 ?x ，? xy 定出 D 點(diǎn),由 ?y ，? yx 定出 D′ 點(diǎn),以 DD′為直徑作應(yīng)力圓,,O,,(3)做應(yīng)力圓,?x =122.5MPa，? xy =64.6MPa,?y=0，? yx =-64.6MPa,A1，A2 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表 a 點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力 ? 1 和 ? 3,A1 點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單元體上 ?1 所在的主平面,56,,(4)橫截面 C上b點(diǎn)的應(yīng)力

30、,b點(diǎn)的單元體如圖所示,57,,b 點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為,?1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的橫截面 C,,58,,已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力 ?1、?2、?3,利用應(yīng)力圓確定該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。,一、 空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力(the maximum normal stress and shear stress in three-dimensional stress-state),,§

31、7-4 三向應(yīng)力狀態(tài)分析(analysis of three-dimensional stress-state),首先研究與其中一個(gè)主平面 (例如主應(yīng)力?3 所在的平面)垂直的斜截面上的應(yīng)力,,,,,,,,,,,,,?1,?2,?2,用截面法，沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對(duì)象,,,主應(yīng)力 ?3 所在的兩平面上是一對(duì)自相平衡的力， 因而該斜面上的應(yīng)力 ? , ? 與 ?3 無(wú)關(guān), 只由主應(yīng)力 ?1

32、, ?2 決定,,與 ?3 垂直的斜截面上的應(yīng)力可由 ?1 , ?2 作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來(lái)表示,,,,,,該應(yīng)力圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于與?3 所在主平面垂直的所有斜截面上的應(yīng)力,?,?,O,,與主應(yīng)力 ?2 所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力?, ? 可用由 ?1 ,?3 作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來(lái)表示,,與主應(yīng)力 ?１ 所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力 ?, ? 可用由 ?2 ,?3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來(lái)表示,,,,,該截面上應(yīng)力 ?

33、 和 ? 對(duì)應(yīng)的 D點(diǎn)必位于上述三個(gè)應(yīng)力圓所圍成 的陰影內(nèi),abc 截面表示與三個(gè)主平面斜交的任意斜截面,,,,,,,,,?1,?2,?1,?2,?3,結(jié)論,三個(gè)應(yīng)力圓圓周上的點(diǎn)及由它們圍成的陰影部分上的點(diǎn)的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力,該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點(diǎn)的橫坐標(biāo) ?1,最大切應(yīng)力則等于最大的 應(yīng)力圓的半徑,最大切應(yīng)力所在的截面與 ?2 所在的主平面垂直，并與?

34、1和 ?3所在的主平面成 450角。,例題9 單元體的應(yīng)力如圖所示 ,作應(yīng)力圓, 并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位.,解: 該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力,因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力 ?z 無(wú)關(guān), 依據(jù) x 截面和 y 截面上的應(yīng)力畫(huà)出應(yīng)力圓. 求另外兩個(gè)主應(yīng)力,由 ?x ，? xy 定出 D 點(diǎn),由 ?y ，? yx 定出 D′ 點(diǎn),以 DD′為直徑作應(yīng)力圓,A1，A2 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表另外兩個(gè)主應(yīng)力

35、 ? 1 和 ? 3,,? 1 =46MPa,? 3 =-26MPa,該單元體的三個(gè)主應(yīng)力,? 1 =46MPa,? 2 =20MPa,? 3 =-26MPa,根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個(gè)應(yīng)力圓,,,,§ 7-5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析(Analysis of plane strain-state),平面應(yīng)力狀態(tài)下，已知一點(diǎn)的應(yīng)變分量?x 、?y 、 γxy ，欲求?方向上的線應(yīng)變?α和切應(yīng)變?? ,可根據(jù)彈性小變形的幾何條件，分別

36、找出微單元體（長(zhǎng)方形）由于已知應(yīng)變分量?x 、?y 、 γxy在此方向上引起的線應(yīng)變及切應(yīng)變，再利用疊加原理.,一、任意方向的應(yīng)變(The strain of any direction),在所研究的 O 點(diǎn)處, Oxy 坐標(biāo)系內(nèi)的線應(yīng)變 ?x , ?y , ?xy 為已知.求該點(diǎn)沿任意方向的線應(yīng)變 ?? .,將Oxy 坐標(biāo)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)? 角，得到一個(gè)新 Ox' y'坐標(biāo)系.,,并規(guī)定 ? 角以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

37、時(shí)為正值，反之為負(fù)值.,?? 為 O 點(diǎn)沿 x‘方向的線應(yīng)變,?? 為直角 ? x‘Oy’的改變量，即切應(yīng)變.,假設(shè):,（1）O點(diǎn)處應(yīng)變是均勻的;,（2）變形在線彈性范圍內(nèi)都是微小的, 疊加原理成立;,分別計(jì)算 ? x ,?y ,?xy 單獨(dú)存在時(shí)的線應(yīng)變 ?? 和切應(yīng)變 ?? ，然后疊加得這些應(yīng)變分量同時(shí)存在時(shí)的 ??和 ?? .,,1、推導(dǎo)線應(yīng)變 ?? ( Derive the linear strain),,從O點(diǎn)

38、沿 x′方向取出一微段 OP = dx′, 并以它作為矩形 OAPB 的對(duì)角線.,該矩形的兩邊長(zhǎng)分別為 dx 和 dy,,x',（1）只有正值 ?x 存在,,,,y',x',假設(shè) OB 邊不動(dòng)，矩形 OAPB 變形后成為 OA'P'B,,,O點(diǎn)沿 x'方向的線應(yīng)變 ??1 為,?,（2）只有正值 ?y存在,,,,y',x',,P,,假設(shè) OA 邊不動(dòng),矩形 OAPB

39、 變形后為 OAP"B',,的伸長(zhǎng)量為,O點(diǎn)沿 x'方向的線應(yīng)變 ??2 為,?,（3）只有正值 切應(yīng)變?chǔ)脁y存在,A,B,dx,dy,x,y,O,,,,y',x',,P,使直角增大的 ? 為正,假設(shè) OA 邊不動(dòng),矩形 OAPB 變形后為 OAP"'B",γxy,?,的伸長(zhǎng)為,,O 點(diǎn)沿 x′方向的線應(yīng)變?yōu)?根據(jù)疊加原理，?x , ?y 和 ?xy 同時(shí)存在時(shí)，O