第1章電磁場的普遍規(guī)律

1、電動力學(xué) 復(fù)習(xí),山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,1,第一章 復(fù)習(xí),山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,2,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.1 電荷和電場1. 庫侖定律2、定義電場強(qiáng)度E, F=QE3、靜電場的散度和旋度,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,3,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.2 電流和磁場畢奧-薩伐爾（Biot-Savart）定律 磁場的散度和旋度,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建

2、,4,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.2 電流和磁場電荷守恒定律 ——電流連續(xù)性方程微分形式,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,5,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,真空中的靜電、靜磁場電磁感應(yīng)定律,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,6,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,位移電流假設(shè),山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,7,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.3真空中的Maxwell方程組,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,

3、8,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,9,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.4 介質(zhì)中的Maxwell方程組1、介質(zhì)的極化宏觀電偶極距分布用電極化強(qiáng)度矢量P描述，它等于物理小體積ΔV 內(nèi)的總電偶極距與ΔV 之比，式中pi為第i個(gè)分子的電偶極距，求和符號表示對ΔV內(nèi)所有分子求和。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,10,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,1、介質(zhì)的極化引入電位移矢量D,定義為 則，,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,

4、11,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,1、介質(zhì)的極化實(shí)驗(yàn)指出，各種介質(zhì)材料有不同的電磁性能，D和E的關(guān)系也有多種形式。對于一般各向同性線性介質(zhì)，極化強(qiáng)度P和E之間有簡單的線性關(guān)系,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,12,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,2、介質(zhì)的磁化介質(zhì)磁化后，出現(xiàn)宏觀磁偶極距分布，用磁化強(qiáng)度M表示，它定義為物理小體積ΔV內(nèi)的總磁偶極距與ΔV之比，,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,13,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,2、介質(zhì)的磁化引入

5、磁場強(qiáng)度H，定義為則，,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,14,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,2、介質(zhì)的磁化實(shí)驗(yàn)指出，對于各向同性非鐵磁物質(zhì)，磁化強(qiáng)度M和H之間有簡單的線性關(guān)系,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,15,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,3、介質(zhì)中的麥克斯韋方程組為 介質(zhì)方程為：,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,16,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,積分形式：,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,17,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,4、法向分量的躍

6、變,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,18,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,5、切向分量的躍變,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,19,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,矢量形式,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.5 電磁場的能量和動量能量守恒的積分形式是 相應(yīng)的微分形式為電磁場能量密度和能流密度表示式,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,20,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.5 電磁場的能量和動量動量守恒的積分形式是

7、相應(yīng)的微分形式為電磁場動量密度和動量流密度表示式,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,21,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,1、直接給出庫侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，寫明其中各個(gè)符號的物理意義。并推導(dǎo)出真空中靜電場散度和旋度的公式 。2、直接給出畢奧-薩伐爾定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，寫明其中各個(gè)符號的物理意義，并推導(dǎo)出真空中靜磁場散度和旋度的公式。3、直接給出法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式和微分形式，寫明其中各個(gè)符號的物理意義。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,

8、22,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,4、直接給出真空中麥可斯韋方程組的積分形式和微分形式，寫明其中各個(gè)符號的物理意義。5、場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的積分形式和微分形式，電磁場能量密度和能流密度表達(dá)式。6、場和電荷系統(tǒng)的動量守恒定律的積分形式和微分形式，動量密度和動量流密度表達(dá)式。7、設(shè)想存在孤立磁荷(磁單極子)，試改寫Maxwell方程組，以包括磁荷密度ρm和磁流密度Jm的貢獻(xiàn)。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,23,第1章 電磁場

9、的普遍規(guī)律,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,24,8、直接給出介質(zhì)電極化強(qiáng)度P的定義，并推導(dǎo)公式 9、直接給出介質(zhì)磁化強(qiáng)度M的定義，并推導(dǎo)公式 10、直接給出介質(zhì)中麥可斯韋方程組的積分形式和微分形式，寫明其中各個(gè)符號的物理意義，并給出反映介質(zhì)性質(zhì)的介質(zhì)方程。11、根據(jù)介質(zhì)中麥可斯韋

10、方程組，推導(dǎo)出介質(zhì)界面上E、D、B、H的邊值關(guān)系。,,,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,25,12、場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的積分形式和微分形式，電磁場能量密度和能流密度表達(dá)式。13、場和電荷系統(tǒng)的動量守恒定律的積分形式和微分形式，動量密度和動量流密度表達(dá)式。,,,第2章 復(fù)習(xí),§2.1 靜電場的標(biāo)勢,真空中Maxwell方程組中，靜電場的方程為：引入：則有：,27,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福

11、建,§2.1 靜電場的標(biāo)勢,ρ為自由電荷密度。上式是靜電勢滿足的基本微分方程，稱為泊松（Poisson）方程。給定邊界條件就可以確定電勢 的解。,28,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,§2.1 靜電場的標(biāo)勢,可以驗(yàn)證，電勢 是泊松（Poisson）方程 的一個(gè)特解。,29,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,30,標(biāo)勢的邊值關(guān)系,,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,31,標(biāo)勢的邊值關(guān)

12、系,兩絕緣介質(zhì)之間：即，,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,32,標(biāo)勢的邊值關(guān)系,兩導(dǎo)電介質(zhì)之間：即，,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,33,標(biāo)勢的邊值關(guān)系,金屬表面：即，,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,34,標(biāo)勢的邊值關(guān)系,一邊是導(dǎo)電介質(zhì)、一邊是絕緣介質(zhì)：即，,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,35,§2.2 唯一性定理,1、可以均勻分區(qū)的單連通區(qū)域內(nèi)靜電場的唯一性可以均勻分區(qū)的區(qū)域V，即V可以分為若干個(gè)均勻區(qū)域 Vi ，

13、每一個(gè)區(qū)域的介電常數(shù)為 εi 。設(shè)V內(nèi)有給定的電荷分布 ρ（x）。電勢 φ 在均勻區(qū)域 Vi 內(nèi)滿足泊松方程在兩區(qū)域 Vi 和 Vj 的分界上滿足邊值關(guān)系,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,36,§2.2 唯一性定理,唯一性定理： 設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布，在V的邊界上S上給定（1）電勢φ | s 或 （2）電勢的法向?qū)?shù) ?φ /?n| s ，則V內(nèi)的電場唯一確定。也就是說，在V內(nèi)存在唯一的解，它在每個(gè)均勻

14、區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程，在兩均勻區(qū)域分界面上滿足邊值關(guān)系，并在V的邊界S上滿足該給定的φ或?φ /?n值。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,37,§2.2 唯一性定理,2. 有導(dǎo)體存在時(shí)的唯一性定理 當(dāng)有導(dǎo)體存在時(shí)，由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)我們知道，為了確定電場，所需條件有兩種類型：一類是給定每個(gè)導(dǎo)體上的電勢 φi ，另一個(gè)是給定每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷 Qi 。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,38,§2.2 唯一性定理,設(shè)在某區(qū)域V內(nèi)有

15、一些導(dǎo)體，我們把除去導(dǎo)體內(nèi)部以后的區(qū)域稱為V' ，因而V' 的邊界包括界面S以及每個(gè)導(dǎo)體的表面 Si 。設(shè)V' 內(nèi)有給定電荷分布 ρ ，S上給定φ|s 或 ?φ/?n|s值。對上述第一種類型的問題，每個(gè)導(dǎo)體上的電勢φi 亦給定，即給出了V' 所有邊界上的φ或 ?φ/?n 值，因而由上一小節(jié)證明了的唯一性定理可知，V' 內(nèi)的電場唯一地被確定。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,39,§2.2

16、唯一性定理,對于第二種類型的問題，唯一性定理表述如下：設(shè)區(qū)域V內(nèi)由一些導(dǎo)體，給定導(dǎo)體之外的電荷分布ρ，給定各導(dǎo)體上的總電荷 Qi 以及V的邊界S上的φ或 ?φ/?n 值，則V內(nèi)的電場唯一確定。也就是說，存在唯一的解，它在導(dǎo)體以外滿足泊松方程,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,40,§2.2 唯一性定理,在第i個(gè)導(dǎo)體上滿足總電荷條件 （n為導(dǎo)體面的外法線）和等勢面條件 φ|s= φi=常量以及在V的邊界S上具有給定的φ

17、|s 或 ?φ/?n|s 值。,§2.3 電像法,1、電像法的適用條件我們設(shè)想，導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷對空間中電場的影響用導(dǎo)體內(nèi)部某個(gè)或某幾個(gè)假想電荷來代替。注意我們在作這種代換時(shí)并沒有改變空間中的電荷分布（在求解電場的區(qū)域，即導(dǎo)體外部空間中仍然是只有一個(gè)點(diǎn)電荷Q），因而并不影響泊松方程，問題的關(guān)鍵在于能否滿足邊界條件。如果用這代換確實(shí)能夠滿足邊界條件，則我們所設(shè)想的假想電荷就可以用來代替導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷分布，從而問題的解可以

18、簡單地表示出來。,§2.3 電像法,思考題1：無限大導(dǎo)體上部有一個(gè)電偶極矩為P的電偶極子。求電勢、電場分布。,§2.3 電像法,思考題2：無限大導(dǎo)體的邊角處有點(diǎn)電荷。求電勢、電場分布。,§2.3 電像法,思考題2：無限大導(dǎo)體的邊角處有點(diǎn)電荷。求電勢、電場分布。,§2.3 電像法,,§2.3 電像法,,§2.4 分離變量法,對一般情況，設(shè)泊松方程的解為：則，

19、即：泊松方程的解為拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解,§2.4 分離變量法,拉氏方程在球坐標(biāo)系中的通解為式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 為任意常數(shù)，在具體問題中有邊界條件定出。Pnm（cosθ） 為締和勒讓德（Legendre）函數(shù)。,§2.4 分離變量法,若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，則電勢φ不依賴于方位角φ，這情形下通解為 Pn（cosθ）為勒讓德函數(shù)

20、，an和bn由邊界條件確定。,§2.4 分離變量法,Pn（cosθ）為勒讓德函數(shù),思考題,1、半徑為R0的介質(zhì)球置于均勻外電場E0中（真空），求空間電勢和電場分布。取介質(zhì)球球心處的電勢為零。2、具有均勻外電場E0的均勻介質(zhì)中有一個(gè)半徑為R0的空洞，求空間電勢和電場分布。3、半徑為R0的導(dǎo)體球置于均勻外電場E0中（真空），求電勢和導(dǎo)體上的電荷面密度。4、在均勻外電場E0中置人—帶均勻自由電荷 ρf 的介質(zhì)球(電容率 ε

21、0)，求空間各點(diǎn)的電勢和電場分布。取介質(zhì)球球心處的電勢為零。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,52,§2.6 電勢的多極展開,設(shè) f（x ?x'）為 x ?x' 的任一函數(shù)，在 x點(diǎn)附近 f（x ?x'）的展開式為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,53,§2.6 電勢的多極展開,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,54,§2.6 電勢的多極展開,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,55,§2.6

22、電勢的多極展開,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,56,§2.6 電勢的多極展開,第三、四章 復(fù)習(xí),山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,58,根據(jù)矢量分析的定理（附錄Ⅰ.17式）, 若則 B 可表為另一矢量的旋度A 稱為磁場的矢勢。,第三章 復(fù)習(xí),山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,59,矢勢微分方程,把 B = ▽× A 代入得矢勢A的微分方程,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,60,矢勢微分方程,由矢量分析公式（附錄

23、Ⅰ.25式）， 若取A滿足規(guī)范條件 ▽· A = 0 ，得矢勢A的微分方程 ,又稱矢勢A的泊松方程。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,61,矢勢微分方程,對比靜電勢的解，可得矢勢A的泊松方程式特解 式中x‘是源點(diǎn)，x是場點(diǎn)，r為由x’ 到x的距離。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,62,矢勢的邊值關(guān)系,在兩介質(zhì)分解面上磁場的邊值關(guān)系為磁場邊值關(guān)系可以化為矢勢A的邊值關(guān)系。對于非鐵磁介質(zhì)，矢勢的邊值關(guān)系為,山東大學(xué)物

24、理學(xué)院 宗福建,63,矢勢的多級展開,給定電流分布在空間中激發(fā)的磁場矢勢為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,64,矢勢的多級展開,如果電流分布于小區(qū)域V內(nèi)，而場點(diǎn)x又距離該區(qū)域比較遠(yuǎn)，我們可以把A(x)作多級展開。取區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，把1/r的展開式得,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,65,矢勢的多級展開,展開式的第一項(xiàng)為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,66,矢勢的多級展開,展開式的第二項(xiàng)為,在一般情況下磁場不能用標(biāo)勢描述，而需要矢勢描述

25、。矢勢描述雖然是普遍的，但解矢勢A的邊值問題比較復(fù)雜，因此，我們考慮在某些條件下是否仍然存在著引入標(biāo)勢的可能性。,1、磁標(biāo)勢的引入,在解決實(shí)際問題時(shí)，我不考慮整個(gè)空間中的磁場，而只求某個(gè)區(qū)域的磁場。如果所有回路都沒有鏈環(huán)著電流，則,因而在這個(gè)區(qū)域內(nèi)可以引入標(biāo)勢。,例如一個(gè)圈，如果我們挖去線圈所圍著的一個(gè)殼形區(qū)域之后，則剩下的空間V中任一閉合回路都不鏈環(huán)著電流（如圖）。因此，在除去這個(gè)殼形區(qū)域之后，在空間中就可以引入磁標(biāo)勢來描述磁場.,在

26、J=0區(qū)域內(nèi)， 所滿足的微分方程,靜電場微分方程,用磁標(biāo)勢法時(shí)，H和電場中的E相對應(yīng)。,由此，可以引入磁標(biāo)勢?m，使,磁標(biāo)勢的邊值關(guān)系,磁標(biāo)勢的邊值關(guān)系,臨界溫度：圖示是汞樣品的電阻隨溫度變化關(guān)系。我們可以看到當(dāng)溫度4.2K以下時(shí)，電阻突然下降為零。這種電阻率為零的性質(zhì)稱為超導(dǎo)電性。開始出現(xiàn)超導(dǎo)電性的溫度稱為臨界溫度Tc，不同材料有不同的臨界溫度Tc。,（1）超導(dǎo)電性,當(dāng)物體處于超導(dǎo)狀態(tài)時(shí)，若加上磁場，當(dāng)磁場強(qiáng)度增大到某一臨界值Hc時(shí)，

27、超導(dǎo)性被破壞，超導(dǎo)體由超導(dǎo)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)檎B(tài)。Hc與溫度有關(guān)。,（2）臨界磁場,當(dāng)材料處于超導(dǎo)狀態(tài)時(shí)，隨著進(jìn)入超導(dǎo)體內(nèi)部深度的增加磁場迅速衰減，磁場主要存在于導(dǎo)體表面的薄層內(nèi)。對宏觀超導(dǎo)體，可把這個(gè)厚度看成是零。近似認(rèn)為超導(dǎo)體內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0。,（3）邁斯納效應(yīng)（ Meissner ）,超導(dǎo)體具有完全抗磁性稱之為理想邁斯納態(tài),不能理想化的狀態(tài)稱為一般邁斯納態(tài)。,（3）邁斯納效應(yīng)（ Meissner ）,1. 如果物理初始處于超導(dǎo)狀態(tài)，

28、當(dāng)外加磁場時(shí)，只要磁場不超過臨界值Hc，磁場B不能進(jìn)入超導(dǎo)體內(nèi)。,2. 若把正常態(tài)物體放入磁場內(nèi)，當(dāng)溫度下降使物體轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑢?dǎo)體時(shí)，磁場B被排出超導(dǎo)體外。,超導(dǎo)體的抗磁性與超導(dǎo)體所經(jīng)過的歷史無關(guān),超導(dǎo)體內(nèi)的電流超過某個(gè)臨界值，超導(dǎo)體變成正常態(tài)。對應(yīng)于：超過這個(gè)臨界值的電流產(chǎn)生超過臨界值的磁場。,（4）臨界電流,第一類超導(dǎo)體：元素超導(dǎo)體多屬于此。存在一個(gè)臨界磁場。,第二類超導(dǎo)體：合金和化合物多屬于此。存在兩個(gè)臨界磁場。在小臨界值以下，磁場完

29、全被排出。在兩臨界值之間，磁場以量子化磁通線的形式進(jìn)入樣品中，使之處于正常態(tài)和超導(dǎo)態(tài)的混合態(tài)，每一條磁通線穿過的線長區(qū)域處于正常態(tài)，其余區(qū)域處于超導(dǎo)態(tài)。每一條磁通線的磁通量為一個(gè)磁通量子。磁通線整條產(chǎn)生與湮滅。隨外磁場增大，穿過樣品內(nèi)部的磁通線逐漸增多，正常相區(qū)域逐漸擴(kuò)大。在上臨界值以上，無表面超導(dǎo)相的樣品整個(gè)轉(zhuǎn)變?yōu)檎B(tài)。此類超導(dǎo)具有較高的臨界溫度、臨界磁場、通過較大的超導(dǎo)電流，故應(yīng)用價(jià)值相應(yīng)較大。,（5）第一類和第二類超導(dǎo)體,實(shí)驗(yàn)發(fā)

30、現(xiàn)，第一類復(fù)連通超導(dǎo)體，如超導(dǎo)環(huán)、空心超導(dǎo)圓柱體，單連通和復(fù)連通的第二類超導(dǎo)體，磁通量只能是基本值?0=h/2e=2.07×10-15Wb的整數(shù)倍。 ?0稱為磁通量子，h為普朗克常數(shù)，e為電子電荷的值。,（6）磁通量子化,第四章 復(fù)習(xí),1. 電磁場波動方程 (真空中)令得,上一講復(fù)習(xí),此即為波動方程。由其解可知電磁場具有波動性，電磁場的能量可以從一點(diǎn)轉(zhuǎn)移到另一點(diǎn)。即脫離電荷、電流而獨(dú)立存在的自由電磁場總是以波動形式運(yùn)動

31、著。在真空中，一切電磁波（包括各種頻率范圍的電磁波，如無線電波、光波、X射線和γ射線等）都以速度C傳播，C就是最基本的物理常量之一，即光速。,上一講復(fù)習(xí),2. 時(shí)諧電磁波 研究時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M。在一定頻率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e?iωt 后得,上一講復(fù)習(xí),2. 時(shí)諧電磁波 在 ω ≠ 0 的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。取第一式的散度，由于 ▽ · （▽ ×

32、 E ） = 0 ，因而 ▽ · H = 0 ，即得第四式。同樣，由的二式可導(dǎo)出第三式。因此，在一定頻率下，只有第一、第二式是獨(dú)立的，其他兩式可由以上兩式導(dǎo)出。,上一講復(fù)習(xí),2. 時(shí)諧電磁波 亥姆霍茲（Helmholtz)方程,上一講復(fù)習(xí),2. 時(shí)諧電磁波 亥姆霍茲（Helmholtz)方程類似地，亦可以把麥質(zhì)方程組在一定頻率下化為,上一講復(fù)習(xí),3. 平面電磁波 任意傳播方向的平面電磁波在一般坐標(biāo)系下平面電磁波

33、的表示式是 式中k是沿電磁波傳播方向的一個(gè)矢量，其量值為 |k| = ω（με）1/2 。在特殊坐標(biāo)系下，當(dāng) k 的方向取為x軸時(shí)，有 k · x = k x,上一講復(fù)習(xí),3. 平面電磁波 E、B和k是三個(gè)各互相正交的矢量。E和B同相，振幅比為在真空中，平面電磁波的電場與磁場比值為,上一講復(fù)習(xí),3. 平面電磁波 概括平面波的特性如下：（1）電磁波為橫波，E和B都與傳播方向垂直，TEM波；（2）E和B互相

34、垂直，E×B沿波矢k方向；（3）E和B同相，振幅比為 υ 。,上一講復(fù)習(xí),4. 電磁波的能量和能流w和S都是隨時(shí)間迅速脈動的量，實(shí)際上我們只需要用到它們的時(shí)間平均值。,上一講復(fù)習(xí),5. 反射和折射定律 時(shí)諧情形下的麥克斯韋方程組的積分形式應(yīng)用到邊界上,并考錄到在絕緣介質(zhì)界面上，σ = 0 ,α = 0。 在一定頻率情形下，麥?zhǔn)戏匠探M不是完全獨(dú)立的，由第一、二式可導(dǎo)出其他兩式。與此相應(yīng)，邊值關(guān)系也不是完全獨(dú)立的。因此，在

35、討論時(shí)諧電磁波時(shí)，介質(zhì)界面上的邊值關(guān)系只需考慮以下兩式：,上一講復(fù)習(xí),5. 反射和折射定律兩邊同時(shí)進(jìn)行頻譜分析，得必然有：即，入射、反射和折射光的頻率相等。,上一講復(fù)習(xí),5. 反射和折射定律由于 x 和 y 是任意的，它們的系數(shù)應(yīng)各自相等，取入射波矢在 xz 平面上，有 ky = 0，由上式 ky‘ 和 ky“ 亦為零。因此，入射波矢、反射波矢和折射波矢都在同一平面上。,上一講復(fù)習(xí),5. 反射和折射定律這就

36、是我們熟知的反射定律和折射定律 對電磁波來說，υ = 1/(με)1/2，因此：n21為介質(zhì)2相對與介質(zhì)1的折射率。,上一講復(fù)習(xí),6. 振幅關(guān)系 菲涅耳（Fresnel）公式（1）E垂直入射面利用反射定律和折射定律得,上一講復(fù)習(xí),6. 振幅關(guān)系 菲涅耳（Fresnel）公式（2）E平行入射面利用反射定律和折射定律得,上一講復(fù)習(xí),6. 振幅關(guān)系 菲涅耳（Fresnel）公式在θ +θ" = 90

37、76;的特殊情況下，，E平行于入射面的分量沒有反射波，因而反射光變?yōu)榇怪比肷涿嫫竦耐耆窆?，這時(shí)光學(xué)中的布儒斯特（Brewster）定律，這情形下的入射角為布儒斯特角。,上一講復(fù)習(xí),6. 振幅關(guān)系 菲涅耳（Fresnel）公式菲涅耳公式同時(shí)也給出入射波、反射波和折射波的相位關(guān)系。在E垂直入射的情形，因?yàn)楫?dāng)ε2 > ε1時(shí)θ > θ"，因此E '/E為負(fù)數(shù)，即反射波電場于入射波電場反相，這現(xiàn)象稱為反射

38、過程中的半波損失。,上一講復(fù)習(xí),7. 全反射可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E垂直入射面情形，,上一講復(fù)習(xí),7. 全反射可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E平行入射面情形，,上一講復(fù)習(xí),一．導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷分布 上式表示當(dāng)導(dǎo)體某處有電荷密度ρ出現(xiàn)時(shí)，就有電流從該處向外流出。從物理上看這是很明顯的。因?yàn)榧偃缒硡^(qū)域有電荷積聚的話，電荷之間相互排斥，必然引起向外發(fā)散的電流。由于電荷外流，每一體元內(nèi)的電荷密度減小。ρ的

39、變化率由電荷守恒定律確定:,上一講復(fù)習(xí),一．導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷分布解此方程得由上式，電荷密度隨時(shí)間指數(shù)衰減，衰減的特征時(shí)間τ（ρ值減小到ρ0/e 的時(shí)間）為,上一講復(fù)習(xí),一．導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷分布 良導(dǎo)體條件: 只要電磁波的頻率滿足ω << τ ?1 = σ/ε，就可以認(rèn)為ρ（t）= 0。 對于一般金屬導(dǎo)體，τ的數(shù)量級為10?17s。 只要電磁波頻率不太高，一般金屬導(dǎo)體都可以看作良導(dǎo)體。

40、 良導(dǎo)體內(nèi)部沒有自由電荷分布，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上。,§4.3 有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播,二、 導(dǎo)體內(nèi)的電磁波 導(dǎo)體內(nèi)部 ρ = 0，J = σE，麥?zhǔn)戏匠探M為,§4.3 有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播,二、 導(dǎo)體內(nèi)的電磁波對一定頻率ω的電磁波，可令D = εE，B = μH，則有,§4.3 有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播,二、 導(dǎo)體內(nèi)的電磁波把這組方程和絕緣介質(zhì)的方程組（5.1---11）比較，

41、差別僅在于第二式右邊多了一項(xiàng)σE，這項(xiàng)是有傳導(dǎo)電流引起的。如果形式上引入導(dǎo)體的“復(fù)電容率” 與絕緣介質(zhì)的相應(yīng)方程形式上完全一致。因此只要把絕緣介質(zhì)中電磁波解所含的ε換作ε' ，即得導(dǎo)體內(nèi)的電磁波解。,§4.3 有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播,二、 導(dǎo)體內(nèi)的電磁波復(fù)電容率的物理意義 右邊兩項(xiàng)分別代表位移電流和傳導(dǎo)電流。傳導(dǎo)電流與電場同相位，它的耗散功率密度為1/2 Re（J*?E）= σE02/2。位移電流與電

42、場有90°相位差，它不消耗功率。相應(yīng)地，在所定義的復(fù)電容率中，實(shí)數(shù)部分ε代表位移電流的貢獻(xiàn)，它不引起電磁波功率的耗散，而虛數(shù)部分是傳導(dǎo)電流的貢獻(xiàn)，它引起能量耗散。,§4.3 有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播,二、 導(dǎo)體內(nèi)的電磁波在一定頻率下，對應(yīng)與絕緣介質(zhì)的亥姆霍茲方程，在導(dǎo)體內(nèi)部有方程，當(dāng)解滿足條件 ▽?E = 0 時(shí)代表導(dǎo)體中可能存在的電磁波。,上一講復(fù)習(xí),二、 導(dǎo)體內(nèi)的電磁波方程形式上也有平面波解k為復(fù)數(shù)，因

43、此k是一個(gè)復(fù)矢量，即它的分量一般為復(fù)數(shù)。,上一講復(fù)習(xí),二、 導(dǎo)體內(nèi)的電磁波導(dǎo)體中電磁波的表示式為 由此式可見，波矢量k的實(shí)部β描述波的傳播的相位關(guān)系，虛部α描述波幅的衰減。β稱為相位常數(shù)，α稱為衰減常數(shù)。,上一講復(fù)習(xí),三、平面波從介質(zhì)入射到導(dǎo)體表面,（即 分界面指向?qū)w內(nèi)部，波沿 方向衰減）,上一講復(fù)習(xí),三、平面波從介質(zhì)入射到導(dǎo)體表面對于良導(dǎo)體情形，這些公式還可以簡化。k2的虛部與實(shí)部之比為σ/εω，在良導(dǎo)

44、體情形此值>>1，因而k2的實(shí)部可以忽略,上一講復(fù)習(xí),四、趨膚效應(yīng)和穿透深度波幅降至原值1/e的傳播距離稱為穿透深度δ。由上式,上一講復(fù)習(xí),五、導(dǎo)體表面上的反射反射系數(shù)R定義為反射能流與入射能流值比。由上式得,由上式可見，電導(dǎo)率愈高，則反射系數(shù)愈接近于1。,上一講復(fù)習(xí),1、只要電磁波頻率不太高，一般金屬導(dǎo)體都可以看作良導(dǎo)體。良導(dǎo)體內(nèi)部沒有自由電荷分布，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上。 2、導(dǎo)體中電磁波的表示式為

45、波矢量k的實(shí)部β描述波的傳播的相位關(guān)系，虛部α描述波幅的衰減。β稱為相位常數(shù)，α稱為衰減常數(shù)。,上一講復(fù)習(xí),3、對于高頻電磁波，電磁場以及和它相互作用的高頻電流僅集中于表面很薄一層內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。4、對于微波或無線電波，反射系數(shù)接近于1，只有很小一部分電磁能量透入導(dǎo)體內(nèi)部而被吸收掉，絕大部分能量被反射出去。因此，在微波或無線電波情形下，往往可以把金屬近似地看作理想導(dǎo)體，其反射系數(shù)接近于1。,§4.4 波導(dǎo)管、諧振

46、腔,二、理想導(dǎo)體邊界條件理想導(dǎo)體界面邊界條件可以形象地表述為，在導(dǎo)體表面上，電場線與界面正交，磁感應(yīng)線與界面相切。我們可以應(yīng)用這個(gè)規(guī)則來分析邊值問題中的電磁波圖像。,§4.4 波導(dǎo)管、諧振腔,二、理想導(dǎo)體邊界條件在邊界面上，若取x，y 軸在切面上，z 軸沿法線方向，由于該處Ex = Ey = 0，因此方程 ▽?E = 0 在靠近邊界上為 ?Ez/?z = 0 ，即,§4.4 波導(dǎo)管、諧振腔,三、諧振腔 對每

47、一組（m，n，p）值，由兩個(gè)獨(dú)立的波模。諧振頻率ωmnp稱為諧振腔的本征頻率。,§4.4 波導(dǎo)管、諧振腔,三、諧振腔 若m，n，p中有兩個(gè)為零，則場強(qiáng)E = 0。若L1 ≥ L2 ≥ L3，則最低頻率的諧振波模為（1，1，0），其諧振腔頻率為相應(yīng)的電磁波波長為,§4.4 波導(dǎo)管、諧振腔,五、矩形波導(dǎo)中的電磁波 2、結(jié)果分析及物理意義橫磁波 橫電波對一定的（m，n），如果選取適當(dāng)?shù)腁1,A2

48、,使Hz = 0，則該波模的A1/A2 = kx/ky 就完全確定，對Hz = 0的波模， Ez ≠ 0 。通常選波模為Hz = 0的波，稱橫磁波（TM）。,§4.4 波導(dǎo)管、諧振腔,五、矩形波導(dǎo)中的電磁波 2、結(jié)果分析及物理意義因此，在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波模有如下特點(diǎn)；電場E和磁場H不能同時(shí)為橫波。,§4.4 波導(dǎo)管、諧振腔,六、截止頻率 若激發(fā)頻率降低到k < ( kx2 + ky2 )

49、1/2 ，則kz變?yōu)樘摂?shù)，這時(shí)傳播因子exp(ikzz)變?yōu)樗p因子。在這種情形下，電磁場不再是沿波導(dǎo)傳播的波，而是沿z軸方向振幅不斷衰減的電磁振蕩。能夠在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波的最低頻率ωc稱為該波模的截止頻率。（m，n）型的截止角頻率為,§4.4 波導(dǎo)管、諧振腔,六、截止頻率 若a > b，則TE10波有最低截止頻率若管內(nèi)為真空，此最低截止頻率為c/2a，相應(yīng)的截止波長為,第五、六章 復(fù)習(xí),山東大學(xué)

50、物理學(xué)院 宗福建,126,第五章 電磁輻射,§5.1 訊變電磁場的矢勢和標(biāo)勢,返回,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,127,第五章 電磁輻射,§ 5.1 訊變電磁場的矢勢和標(biāo)勢達(dá)郎貝爾方程 推遲勢解,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,128,第五章 電磁輻射,§5.1 諧變勢的多極展開及電偶極輻射場 1. 計(jì)算輻射場的一般公式 當(dāng)交變電流分布給定時(shí),計(jì)算輻射場的基礎(chǔ)是推遲勢公式

51、若電流J是一定頻率的交變電流,有則,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,129,第五章 電磁輻射,§5.1 諧變勢的多極展開及電偶極輻射場 1. 計(jì)算輻射場的一般公式因子eikr是推遲作用因子,它表示電磁波傳至場點(diǎn)時(shí)有相位滯后kr。,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,130,第五章 電磁輻射,2. 矢勢的展開式 選坐標(biāo)原點(diǎn)在電荷分布區(qū)域內(nèi)，則|x‘|的數(shù)量級為l。以R表示由原點(diǎn)到場點(diǎn)x的距

52、（R =|x|），r為由原點(diǎn)x ’到x的距離。有, n為沿R方向的單位矢量。,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,131,第五章 電磁輻射,2. 矢勢的展開式 把A對小參數(shù)x‘/R 和x’/λ展開．在計(jì)算遠(yuǎn)場時(shí)，只保留1/R的最低次項(xiàng)，而對x‘/λ的展開則保留各級項(xiàng)。我們會看到，展開式中各項(xiàng)對應(yīng)于各級電磁多極輻射。,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,132,第五章 電磁輻射,3.電偶極輻射研究展開式的第一項(xiàng),返回,

53、山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,133,第五章 電磁輻射,1、對靜電場，為什么能引入標(biāo)勢φ ，并推導(dǎo)出φ的泊松方程。給出φ的解析解。2、給出靜磁場矢勢A的物理意義，由矢勢A可以確定磁場B，但是由磁場B并不能唯一確定矢勢A，試證明對矢勢A可加輔助條件：A的散度為0，并推導(dǎo)出矢勢A滿足的微分方程。給出A的解析解。3、根據(jù)麥可斯韋方程組，推導(dǎo)滿足洛倫茲規(guī)范的達(dá)郎貝爾方程。給出A和φ的推遲勢解。利用電荷守恒定律，驗(yàn)證A和φ的推遲勢滿足洛倫茲條

54、件。4、推遲勢的物理意義？,返回,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,134,第六章 狹義相對論,相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)：在總結(jié)新的實(shí)驗(yàn)事實(shí)之后，愛因斯坦（Einstein）提出了兩條相對論的基本假設(shè)： （1）相對性原理 所有慣性參考系都是等價(jià)的。物理規(guī)律對于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。也就是不論通過力學(xué)現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或其他現(xiàn)象，都無法覺察出所處參考系的任何“絕對運(yùn)動”。相對性原理是被大量事實(shí)所精確檢驗(yàn)過的物理學(xué)基本原理。

55、（2）光速不變原理 真空中的光速相對于任何慣性系沿任意方向恒為c，并與光源運(yùn)動無關(guān)。,返回,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,135,第六章 狹義相對論,洛倫茲變換：,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,136,第六章 狹義相對論,§ 6.2 相對論時(shí)空觀 ：1、洛倫茲變換下間隔不變性S2=c2t2-x2-y2-z2=c2t2-r2事件P相對與事件O的時(shí)空關(guān)系可作如下的絕對分類：（1）類光間隔 s2=0，（2

56、）類時(shí)間隔 s2>0，（a）絕對未來，即P在O的上半光錐內(nèi)；（b）絕對過去，即P在O的下半光錐內(nèi)；（3）類空間隔s2<0，P與O絕對異地。,返回,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,137,第六章 狹義相對論,§ 6.2 相對論時(shí)空觀 ：,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,138,第六章 狹義相對論,§ 6.2 相對論時(shí)空觀 ：2. 因果律和相互作用的最大傳播速度若事件P在O上半光錐內(nèi)（

57、包括錐面），則對任何慣性系P保持在O得上半光錐內(nèi)，即P為O的絕對未來。這種間隔的特點(diǎn)是P與O可用光波或低于光速的作用相聯(lián)系。因此，如果不存在超光速的相互作用，這樣O與P的先后次序在各參考系中相同，因而因果關(guān)系是絕對的。,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,139,第六章 狹義相對論,§ 6.2 相對論時(shí)空觀 ：3. 同時(shí)相對性具有類空間隔的兩事件，由于不可能發(fā)生因果關(guān)系，其事件次序的先后或者同時(shí)，都沒有絕對意義，因

58、不同參考系而不同。在不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩事件不可能有因果關(guān)系，因此同時(shí)概念必然是相對的。若兩事件對Σ同時(shí)，即t2 =t1，則一般而言，t2'≠ t1'，即對Σ'不同時(shí)。,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,140,第六章 狹義相對論,§ 6.2 相對論時(shí)空觀 ：4. 運(yùn)動尺度的縮短5. 運(yùn)動時(shí)鐘的延緩,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,141,第六章 狹義相對論,

59、67; 6.2 相對論時(shí)空觀 ：6. 速度變換公式,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,142,第六章 狹義相對論,§ 6.3 相對論理論四維的形式沿x軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為,返回,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,143,第六章 狹義相對論,§ 6.3 相對論理論四維的形式逆變換矩陣為,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,144,第六章 狹義相對論,§ 6.3 相對論理

60、論四維的形式四維標(biāo)量例如間隔為洛倫茲標(biāo)量。固有時(shí) 也是洛倫茲標(biāo)量。,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,145,第六章 狹義相對論,§ 6.3 相對論理論四維的形式四維速度矢量因?yàn)樗运木S速度的分量是,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,146,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學(xué)的相對論不變性 四維電流密度矢量電荷守恒定律 用四維形式表示為,

61、返回,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,147,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學(xué)的相對論不變性 四維勢矢量洛倫茲規(guī)范條件可以用四維形式表示為,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,148,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學(xué)的相對論不變性 達(dá)郎貝爾方程,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,149,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學(xué)的相對論不變性 四維形式的達(dá)郎貝

62、爾方程可以表示為,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,150,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學(xué)的相對論不變性 引入一個(gè)反對稱四維張量電磁場構(gòu)成一個(gè)四維張量——電磁場張量,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,151,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學(xué)的相對論不變性 用電磁場張量可以把麥克斯韋方程組寫為明顯的協(xié)變形式。方程組中的一對方程 可以合寫為,返回,上一頁,山東大

63、學(xué)物理學(xué)院 宗福建,152,第六章 狹義相對論,§6.4 電動力學(xué)的相對論不變性 另一對方程可以合寫為,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,153,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學(xué)的相對論不變性 導(dǎo)出電磁場的變換關(guān)系,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,154,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學(xué)的相對論不變性 導(dǎo)出電磁場的逆變換關(guān)系,返回,上一頁,山東大

64、學(xué)物理學(xué)院 宗福建,155,第六章 狹義相對論,§ 6.5 相對論力學(xué)方程利用四維速度矢量可以定義四維動量矢量這四維矢量的空間分量和時(shí)間分量是,返回,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,156,第六章 狹義相對論,四維矢量pμ 稱為動量-能量四維矢量，或簡稱四維動量。由pμ可構(gòu)成不變量在物體靜止系內(nèi)，p=0，W=m0c2因而不變量為 ?m0c2。因此,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,157,第

65、六章 狹義相對論,物體的靜止質(zhì)量m0和靜止能量W0的關(guān)系,稱為質(zhì)能關(guān)系式。 靜止能量的存在是相對論最重要的推論之一。它指出靜止粒子內(nèi)部仍然存在著運(yùn)動。一定質(zhì)量的粒子具有一定的內(nèi)部運(yùn)動能量。反過來，帶有一定內(nèi)部運(yùn)動能量的粒子就表現(xiàn)出有一定的慣性質(zhì)量。,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,158,第六章 狹義相對論,引入則， 用這種表示方法時(shí)，動量形式上和非相對論的公式一樣 ，但現(xiàn)在m不是一個(gè)不

66、變量，而是一個(gè)隨運(yùn)動增大的量。m可以看作一種等效質(zhì)量，稱為“運(yùn)動質(zhì)量”，而不變量m0稱為靜止質(zhì)量。,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,159,第六章 狹義相對論,動量和能量構(gòu)成四維矢量pμ。如果用固有時(shí)dτ量度動量-能量變化率，則 是一個(gè)四維矢量。因此，如果外界對物體的作用力可以用一個(gè)四維力矢量Kμ描述，則力學(xué)基本方程可寫為協(xié)變性式,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,160,第六章 狹義相對論,若定義力為

67、則相對論力學(xué)方程可以寫為 ， 第一式表示力F 等于動量變化率，第二式表示F 所作的功率等于能量的變化率，兩式形式上和非相對論力學(xué)方程一致。,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,161,第六章 狹義相對論,1． 相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)是什么？2． 愛因斯坦提出的兩條相對論的基本假設(shè)是什么？3． 為什么說，慣性系的概念本身要求從一個(gè)慣性系到另一個(gè)慣性系的時(shí)空坐標(biāo)變換必須是線性的？4.

68、有兩個(gè)慣性系Σ和Σ’，選兩坐標(biāo)系的x 軸和 x’ 軸都沿Σ’ 相對于Σ的運(yùn)動方向， Σ’慣性系相對于Σ慣性系以速度v沿x 軸正方向運(yùn)動，在時(shí)刻t=t’=0 時(shí)，兩慣性系的原點(diǎn)重合。設(shè)某事件在慣性Σ系中的表示為（x,y,z,t），該事件在Σ’ 中的描述為（x’,y’,z’,t’），請直接給出 Σ → Σ’ 及 Σ ’→ Σ 的坐標(biāo)變換表達(dá)式。,返回,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,162,第六章 狹義相對論,5．  相對論的時(shí)空結(jié)

69、構(gòu)是如何劃分的（類光間隔、類時(shí)間隔、類空間隔各有什么特點(diǎn)）？6．  試證明具有類空間隔的兩個(gè)事件的先后次序隨慣性系的選擇不同而不同，其時(shí)間次序的先后或同時(shí)，都沒有絕對意義。7．  試證明，按狹義相對論理論，運(yùn)動物體上發(fā)生的自然過程比起靜止物體的同樣過程時(shí)間延緩了。物體運(yùn)動速度愈大，所觀察到的它的內(nèi)部過程進(jìn)行的愈緩慢。,返回,上一頁,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,163,第六章 狹義相對論,8．  試證明

70、，按狹義相對論理論，當(dāng)局限于勻速運(yùn)動時(shí)，時(shí)間延緩效應(yīng)是相對的。 Σ參考系上看固定于Σ’ 上的時(shí)鐘變慢；同樣， 參考系Σ’ 上也看到固定于Σ上的時(shí)鐘變慢。9．  試證明，按狹義相對論理論，運(yùn)動物體沿運(yùn)動方向長度縮短了。10．  試證明，按狹義相對論理論，長度縮短效應(yīng)是相對的，在Σ上觀察固定于Σ’上的物體長度縮短了；同樣，在Σ’ 上觀察固定于Σ上的物體長度也是縮短了的。11．  由洛倫茲變換公式推導(dǎo)出相對