§4對(duì)稱矩陣的相似矩陣_第1頁(yè)
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1、§4 對(duì)稱矩陣的相似矩陣,定理5 對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).,證 設(shè)復(fù)數(shù) λ 為對(duì)稱矩陣 A 的特征值 , 復(fù)向量 x 為 λ 對(duì)應(yīng)的特征向量,即Ax = λ x , x≠0 。,兩式相減,得,是實(shí)系數(shù)方程組,由,知必有實(shí)的基礎(chǔ)解　 系,所以對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量.,定理6,證,定理7 設(shè) A為 n階對(duì)稱矩陣,λ是A的特征方程的r重根,則矩陣A－λ E的秩R(A－λE)=n－r,從而對(duì)應(yīng)特征值λ恰有

2、r個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,定理8 設(shè)A為 n 階對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣P，使 P-1AP=Λ 其中Λ是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.,證 設(shè) A的互不相等的特征值為,它們的重?cái)?shù)依次為,根據(jù)定理5及定理7知,對(duì)應(yīng)特征值,把它們施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化,,知這樣的特征向量共可得n個(gè).,按定理6知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交,故這 n個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?。于是以它

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