1.3.1函數(shù)的基本性質(zhì)

1、1.3.1 函數(shù)的基本性質(zhì),教學(xué)目的,（1）通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；（2）學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；（3）能夠熟練應(yīng)用定義判斷數(shù)在某區(qū)間上的的單調(diào)性．教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義．教學(xué)難點(diǎn)：利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性．,觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：,1、觀察這三個(gè)圖象，你能說出圖象的特征嗎？2、隨x的增大，y的值有什

2、么變化？,,1.3.1 單調(diào)性與最大（小）值,請觀察函數(shù)y=x2與y=x3圖象，回答下列問題：,,,1、當(dāng)x∈[0，+∞)，x增大時(shí)，圖（1）中的y值 ；圖（2）中的y值 。2、當(dāng)x∈(－∞，0)，x增大時(shí)，圖（1）中的y值 ；圖（2）中的y值 。,增大,增大,增大,減小,3、分別指出圖(1)、圖(2)中，當(dāng)x ∈[0，+∞)和x∈(－∞，0)時(shí)，函數(shù)圖象是

3、上升的還是下降的？4、通過前面的討論，你發(fā)現(xiàn)了什么？,結(jié)論：若一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)圖象是上升的，則函數(shù)值y隨x的增大而增大，反之亦真； 若一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)圖象是下降的，則函數(shù)值y隨x的增大而減小，反之亦真。,觀察某城市一天24小時(shí)氣溫變化圖．,θ＝f (t)，t∈[0，24],問題：如何描述氣溫θ隨時(shí)間t的變化情況？,問題： 在區(qū)間[4，14]上，如何用數(shù)學(xué)符號語言來刻畫“θ隨t的增大而增大”這一特征

4、？,如圖，研究函數(shù)θ＝f(t)，t∈[0，24]的圖象在區(qū)間[4，14]上的變化情況．,在[4，14]上，取幾個(gè)不同的輸入值，例如t1＝5，t2＝6，t3 ＝8，t4＝10，得到相對應(yīng)的輸出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4時(shí)，有θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[4，14]上，θ隨t的增大而增大．,取區(qū)間內(nèi)n個(gè)輸入值t1，t2，t3，…， tn，得到相對應(yīng)的輸出值θ1，θ2，θ3，…，θn，在t1＜t2＜t3＜…＜tn時(shí)，

5、有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，所以在區(qū)間[4，14]上，θ隨t的增大而增大．,在[4，14]上任取兩個(gè)值t1，t2，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以說在區(qū)間[4，14]上，θ隨t的增大而增大．,問題： 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I?A,在區(qū)間I上，y隨x的增大而增大，該如何用數(shù)學(xué)符號語言來刻畫呢？,在[4，14]上內(nèi)任取兩個(gè)值t1，t2，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以說在區(qū)間[4，14]上，θ隨t

6、的增大而增大．,函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I?A，如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2， 當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間I稱為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.,問題： 如何定義單調(diào)減函數(shù)和單調(diào)減區(qū)間呢？,函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I ? A，如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值

7、x1，x2 當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，區(qū)間I稱為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.,1.函數(shù)y＝f(x)，x ∈[0，3]的圖象如圖所示．,區(qū)間[0，3]是該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間嗎？,概念辨析,2.對于二次函數(shù)f(x)＝x2，因?yàn)椋?，2∈(－∞，＋∞)，當(dāng)－1＜2時(shí)，f(－1)＜f(2)，所以函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間(－∞，＋∞)上是單調(diào)增

8、函數(shù)．,3.已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，若對于任意的x2＞0，都有f(x2)＜f(0)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)．,判斷,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮: 如果對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2, 當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＜ f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù),一、增函數(shù),如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間

9、具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮: 如果對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2, 當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＞ f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù),二、減函數(shù),三、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間,請問: 在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是__________, 減函數(shù)的圖象是______

10、____. (填“上升的”或“下降的”),上升的,下降的,想一想 ：如何從一個(gè)函數(shù)的圖象來判斷這個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？,如果這個(gè)函數(shù)在某個(gè)單調(diào)區(qū)間上的圖象是上升的，那么它在這個(gè)單調(diào)區(qū)間上就是增函數(shù)；如果圖象是下降的，那么它在這個(gè)單調(diào)區(qū)間上就是減函數(shù)。,1、增函數(shù)、減函數(shù)的三個(gè)特征：,（1）局部性：也就是說它肯定有一個(gè)區(qū)間。區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是其真子集，因此，

11、我們說增函數(shù)、減函數(shù)時(shí)，必須指明它所在的區(qū)間。如y=x+1 (X∈Z)不具有單調(diào)性,（2）任意性：它的取值是在區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量，決不能理解為很多或無窮多個(gè)值。,（3）一致性,增函數(shù)：,f( ) f( ),減函數(shù)：,f( ) ＞ f( ),,＜,＜,＜,例1.下圖是定義在 閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間

12、,以及在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上, y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)?,解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù),在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù).,分析：按題意，只要證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)即可。,例2、物理學(xué)中的玻意耳定律 告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大

13、。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。,證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且V1<V2，則,由V1，V2∈ (0，+∞)且V10, V2- V1 >0,又k>0,于是,所以，函數(shù) 是減函數(shù).也就是說，當(dāng)體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.,取值,定號,結(jié)論,例：證明函數(shù)f(x)= x3在R上是增函數(shù).,證明：設(shè)x1,x2是R上任意兩個(gè)

14、 實(shí)數(shù)， 且x10 所以 f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2) 所以f(x)= x3在R上是增函數(shù).,探究：畫出反比例函數(shù) 的圖象。（1）這個(gè)函數(shù)的定義域I是什么？（2）它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論。,通過觀察圖象，先對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想

15、的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法。,證明：,設(shè)x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則,f（x）在定義域上是減函數(shù)嗎？,取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-1＜1f（-1）＜f（1）,用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:,(1). 設(shè)x1＜x2, 并是某個(gè)區(qū)間上任意二值;,(2). 作差 f(x1)－f(x2) ;,(3). 判斷 f(x1)－f(x2) 的符號:,(4). 作結(jié)論.,① 分解因式,

16、 得出因式(x1－x2,② 配成非負(fù)實(shí)數(shù)和。,方法小結(jié),③有理化。,5、討論函數(shù)f(x)= x +,,1x,在(0,+∞) 上的單調(diào)性.,解：設(shè) 0 <x1 < x2 則 f (x1) – f ( x2) =（x1 - x2）+,,1 x1,,,1 x2,=,,-(x1 –x2) (x1 x2 –1) x1·x2,∵0 0,⑴當(dāng)0 f (

17、x2)∴ f (x)= x +,,1x,在(0,1]上是減函數(shù).,⑵當(dāng)1 1， ∴ x1 x2 –1 > 0 ∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0 即 f ( x1) < f ( x2)∴ f (x)= x +,,1x,在[1，+∞）上是增函數(shù).,例3求函數(shù)f(x)=x+ （k>0）在x>0上的單調(diào)性,,解：對于x2>x1>0,f(x2)-f(x1)=x

18、2-x1+,-,=,(x1x2-k),因,>0,X12-k,<x1x2-k,<x22-k,故x22-k≤0即x2≤,時(shí)，f(x2)<f(x1),同理x1≥,時(shí)，f(x2)>f(x1),總之，f(x)的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是,圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)（0,0），即對于任意的 ，都有,圖象沒有最低點(diǎn)。,畫出下列函數(shù)的草圖，并根據(jù)圖象解答下列問題：,1 說出y=f(x)

19、的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性；2 指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？,(1) (2),,,,1．最大值,一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：,（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M,那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值,2．最小值,一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

20、,（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M,那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值,2、函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑?，即對于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．,注意：,1、函數(shù)最大（小）值首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；,例3、“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)(大約是在距地面高度25m到30m處

21、)時(shí)爆裂. 如果在距地面高度18m的地方點(diǎn)火，并且煙花沖出的速度是14.7m/s.,寫出煙花距地面的高度與時(shí)間之間的關(guān)系式.,(2) 煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻?這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1m).,解: (1)設(shè)煙花在t秒時(shí)距地面的高度為h m,則由物體運(yùn)動(dòng)原理可知： h(t)= -4.9t2+14.7t+18,(2)作出函數(shù)h(t)= -4.9t2+14.7t+18的圖象(如右圖).顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是

22、煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度.,由于二次函數(shù)的知識，對于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有:,于是，煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最佳時(shí)刻,這時(shí)距地面的高度為29 m.,例3.求函數(shù) 在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．,解：設(shè)x1,x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2,則,由于20,(x1-1)(x2-1)>0,于是,所以，函數(shù)

23、 是區(qū)間[2,6]上的減函數(shù).,因此,函數(shù) 在區(qū)間[2,6]上的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值和最小值，即在點(diǎn)x=2時(shí)取最大值，最大值是2，在x=6時(shí)取最小值，最小值為0.4 .,（二）利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值的方法,1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大(小)值,2. 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值,3.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值,如果函數(shù)y=

24、f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b) ；,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；,課堂練習(xí),1、函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間(-∞，6]內(nèi)遞減，則a的取值范圍是( )A、a≥3 B、a≤3C、a≥-3

25、 D、a≤-3,D,2、在已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上遞減，在[-2,+∞)上遞增，則f(x)在[1,2]上的值域____________.,[21,39],歸納小結(jié),1、函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x．,2、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大（?。┲担?證明：函數(shù)f(x)=1/x 在(0，+∞)上是減函數(shù)。,證明：設(shè)x1,x2是(0，+∞)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則,f(x1)- f(x

26、2)=,由于x1,x2 得x1x2>0,又由x10所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2),因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是減函數(shù)。,取值,判斷符號,變形,作差,下結(jié)論,例題講解：,例1 設(shè)函數(shù) f(x) =x2-2x-3.3在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為g(t)，求g(t)的解析式。,分析,解：f(x)=(x-1)2-4.3

27、，對稱軸為x=1,(2)當(dāng)0≤t ≤1時(shí)，則g(t)=f(1)=-4.3;,(1)當(dāng)t>1時(shí)，則g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;,(3)當(dāng)t+1<1，即t<0時(shí)，則g(t)=f(t+1)=t2-4.3;,,例2 求 f(x) =x2-ax+a在區(qū)間[-1，1]上的最值。,分析,例2 求 f(x) =x2-ax+a在區(qū)間[-1，1]上的最值。,分析,解：f(x)=(x- )2+a- ，對稱軸為x=,

28、(1)若 ，即a≤-2時(shí)， f(x)min=f(-1)=1+2a，f(x)max=f(1)=1;,(4)若 , 即a≥2時(shí)， f(x)min=f(1)=1， f(x)max=f(-1)=1+2a;,(2)若-1< <0 ,即-2<a<0時(shí)，f(x)min=f( )=a-a2/4，f(x)max=f(1)=1;,(3)若0 ≤

29、 <1 ,即0≤a<2時(shí)，f(x)min=f( )= a-a2/4， f(x)max=f(-1)=1+2a;,一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值（maximum value）。,四、函數(shù)的最大值,注意：①函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個(gè)函

30、數(shù)值，即存在 ，使得 ；,②函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑模磳τ谌我獾?，都有 ．,例1：“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂．如果煙花距地面的高度hm與時(shí)間ts之間的關(guān)系為 ，那么煙花沖出后什么時(shí)候是

31、它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）？,分析：由函數(shù) 的圖象可知，函數(shù)在區(qū)間[2,6]上遞減.所以，函數(shù)在區(qū)間[2,6]的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值和最小值。,（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題．畫出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？① ②③

32、 ④,,,,,1．函數(shù)最大（?。┲刀x,最大值：一般地 ，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 ．那么，稱M是函數(shù) 的最大值．思考：依照函數(shù)最大值的定義，結(jié)出函數(shù) 的最小值的定義．,,,,,,,,注意：①函數(shù)最

33、大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在 ，使得 ；,,,②函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑?，即對于任意的 ，都有 ． 2．利用函數(shù)單調(diào)性來判斷函數(shù)最大（小）值的方法．①配方法 ②換元法 ③數(shù)形結(jié)合法,,,例1：“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂．如果

34、煙花距地面的高度hm與時(shí)間ts之間的關(guān)系為 ，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）？,例2．將進(jìn)貨單價(jià)40元的商品按50元一個(gè)售出時(shí)，能賣出500個(gè)，若此商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量減少10個(gè)，為了賺到最大利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少？解：設(shè)利潤為 元，每個(gè)售價(jià)為 元，則每個(gè)漲（ －50）元，從而銷售量減少 ∴