數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文關(guān)于最小多項(xiàng)式的性質(zhì)研究及其應(yīng)用

1、關(guān)于最小多項(xiàng)式的性質(zhì)研究及其應(yīng)用關(guān)于最小多項(xiàng)式的性質(zhì)研究及其應(yīng)用何小燕何小燕摘要本文利用矩陣多項(xiàng)式討論了最小多項(xiàng)式的某些性質(zhì)，得到計(jì)算最小多項(xiàng)式的一種可行方法，并以最小多項(xiàng)式為工具解決一些有關(guān)矩陣和線性變換的問(wèn)題，其方法簡(jiǎn)單易懂.關(guān)鍵詞最小多項(xiàng)式零化多項(xiàng)式矩陣函數(shù)矩陣多項(xiàng)式0引言矩陣的最小多項(xiàng)式在矩陣相似、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣函數(shù)和矩陣方程中都有很重要的應(yīng)用，于是最小多項(xiàng)式的性質(zhì)也極其重要，但在文獻(xiàn)[4]中，對(duì)最小多項(xiàng)式的性質(zhì)討論較少，對(duì)它

2、的應(yīng)用也較少的介紹，丘維聲在文獻(xiàn)[1]中討論了線性變換的最小多項(xiàng)式及應(yīng)用，而史榮昌、魏豐編在文獻(xiàn)[2]中討論的是在復(fù)數(shù)域上矩陣最小多項(xiàng)式的性質(zhì)，這些文獻(xiàn)都只討論了最小多項(xiàng)式的一小部分性質(zhì)，對(duì)它的應(yīng)用也是較為模糊.為了更好的理解最小多項(xiàng)式以及它的應(yīng)用，本文較系統(tǒng)的討論了矩陣的最小多項(xiàng)式在數(shù)域F上的一些性質(zhì)，并將它在矩陣對(duì)角化及矩陣函數(shù)方面的應(yīng)用例舉出來(lái)，具有很好的使用性，且使它的性質(zhì)及應(yīng)用更加易懂而明了.本文約定，以下討論的矩陣A都是數(shù)域

3、上的n階矩陣.nnF?1預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)在文獻(xiàn)[1]中定義了域F上線性空間V的一個(gè)線性變換的最小多項(xiàng)式，它是線性變換A的所有零化多項(xiàng)式中次數(shù)最低且首相系數(shù)為1的那個(gè)零化多項(xiàng)式是線性變換的最小多AA項(xiàng)式，記為.??m?定理定理線性空間V上的線性變換的最小多項(xiàng)式是唯一的.[1]1A定理定理設(shè)是域F上線性空間V的線性變換，中的多項(xiàng)式是A的零化[1]2A??F???g?多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)是的最小多項(xiàng)式的倍式.??g?A??m?定理定理設(shè)是域F上有線

4、維線性空間V上的線性變換，則的最小多項(xiàng)式與[1]3AA??m?特征在F中有相同的根（重?cái)?shù)可以不同）.??f?引理引理1是維線性空間V上的線性變換.An(1)若在V的某基下的矩陣是某多項(xiàng)式的伴侶陣，則的最小多項(xiàng)式是AA??d?A；??d?(2)設(shè)的最高次的不變因子是，則的最小多項(xiàng)式是.A??d?A??d?2最小多項(xiàng)式的定義及其性質(zhì)最小多項(xiàng)式的定義及其性質(zhì)由上述線性變換最小多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)可以類似的定義矩陣A的最小多項(xiàng)式，為了引出矩陣A的

5、最小多項(xiàng)式的定義，首先給出數(shù)域上矩陣A的多項(xiàng)式定義.nnF?證明：設(shè)是A的最小多項(xiàng)式，則??m???????????120smAdiagmAmAmA???于是，即是的零化多項(xiàng)式，因此??????1200smAmAmA?????m?12sAAA?是的公倍式.??m???????12smmm????另一方面，若是的最小公倍式，則，若??m???????12smmm??????0mA?不是的公倍式，則.證畢??m???????12smmm??

6、????0mA?引理引理5級(jí)若爾當(dāng)塊ik11iiiiiikkJ???????????????????的最小多項(xiàng)式是.??ikix??定理定理7矩陣的最后一個(gè)不變因子即為其最小多項(xiàng)式.推論推論1域F上n階矩陣A的最小多項(xiàng)式與A的特征多項(xiàng)式在F中有相??m???f?同的根（重?cái)?shù)可以不同）.注：雖然，最小多項(xiàng)式和特征多項(xiàng)式的根相同，但由于重?cái)?shù)不一定相同，所以最小多項(xiàng)式不一定就是特征多項(xiàng)式推論推論2設(shè)A是域F上的階矩陣，域E包含F(xiàn).則A的最小多

7、項(xiàng)式與A的特證n??m?多項(xiàng)式在E中有相同的根（重?cái)?shù)可以不同）.??f?推論推論3設(shè)A是F域上的矩陣，域E包含域F，則如果是F域上的矩陣A的最??m?小多項(xiàng)式，那么把A看成E域上的矩陣，它的最小多項(xiàng)式仍然是.??m?引理引理6設(shè)A是上的n階矩陣.nnF?(6)若矩陣A是某多項(xiàng)式的伴侶陣，則A的最小多項(xiàng)式是；??d???d?(7)設(shè)A的最高次的不變因子是，則A的最小多項(xiàng)式是.??d???d?證明：(6)設(shè)??111nnnndaaa????