數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文-函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p>　　題 目：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用</p><p>　　學(xué) 生： 李敬民 學(xué)號(hào)： 200940510616 </p><p>　　學(xué) 院：數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院</p><p>　　專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p>　　入學(xué)時(shí)間

2、： 2009 年 9 月 15 日</p><p>　　指導(dǎo)教師： 王志剛 職稱： 導(dǎo)師 </p><p>　　完成日期： 2013 年 3 月 25 日</p><p>　　函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用</p><p>　　摘要： 函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)隨自變量的變化而變化的函數(shù)值變化特點(diǎn)，

3、是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是解決如求值、解方程、求參數(shù)范圍等眾多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。在具體解題過(guò)程中，若能根據(jù)題目的特點(diǎn)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性并揭示函數(shù)值的變化特征，則可使我們的問(wèn)題在函數(shù)觀點(diǎn)下巧妙獲解。</p><p>　　關(guān)鍵詞：函數(shù)單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用</p><p>　　Abstract: monotonicity reflect the characteristics

4、of changes in the value of the function function change with the change of independent variables, is one of the important properties of the function, also to solve, such as seeking value, solving equations, the parameter

5、s range of many mathematical problems powerful tool. Specific problem-solving process, if the subject is characterized by constructing appropriate function, research monotonicity and reveal the variation of the function

6、value, wi</p><p>　　Keywords: function monotonicity; derivative; application</p><p><b>　　y</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　一、函數(shù)單調(diào)性概述錯(cuò)誤！未定義書簽

7、。</p><p>　　(一) 函數(shù)單調(diào)性的基本概念錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p>　　(二) 函數(shù)的圖像理解單調(diào)性的概念錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p>　?。ㄈ┖瘮?shù)單調(diào)性的基本性質(zhì)錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p>　　二、單調(diào)性的應(yīng)用錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p>　?。ㄒ唬├煤瘮?shù)單調(diào)性比較

8、函數(shù)值或自變量的大小錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p>　?。ǘ├脝握{(diào)性求參數(shù)值或取值范圍錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p>　?。ㄈ├脝握{(diào)性解不等式錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p>　?。ㄋ模├脝握{(diào)性求函數(shù)的最值錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p>　?。ㄎ澹?利用單調(diào)性求函數(shù)極值錯(cuò)誤！未定義書簽。</p>

9、<p>　?。├脝握{(diào)性證明不等式錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p>　　總結(jié)錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p>　　參考文獻(xiàn)：錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p><b>　　函數(shù)單調(diào)性概述</b></p><p>　　函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，它表明了世界中事物的普遍聯(lián)系，說(shuō)明了自變量和因變量之

10、間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。而函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上，隨著自變量的變化，函數(shù)值是增大還是減少的問(wèn)題，是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面。</p><p>　　(一)函數(shù)單調(diào)性的基本概念</p><p>　　在書中我們的定義比較嚴(yán)格，但是嚴(yán)格的語(yǔ)言雖然保證了科學(xué)嚴(yán)密性，但是很多人在讀定義時(shí)有些難以理解。所以在這里我們就用理解的話語(yǔ)來(lái)概述函數(shù)單，,當(dāng) 時(shí)，有 ，則稱此函數(shù)在 上是單調(diào)增加的， 叫

11、單調(diào)增區(qū)間；當(dāng) 時(shí)，有，則稱此函數(shù)在 上單調(diào)減少， 叫單調(diào)減區(qū)間。而還有一種理解是在單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，函數(shù)圖像隨 的增大而上升，在單調(diào)減區(qū)間內(nèi)，函數(shù)圖像隨 的增大而下降。這是從定性的角度對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的簡(jiǎn)單概括，我們會(huì)再下面分專節(jié)進(jìn)行講解。[1]</p><p>　　函數(shù)單調(diào)性這個(gè)概念的核心是任意性和恒定性。任意性是指，是函數(shù)定義域內(nèi)任意兩個(gè)自變量，恒定性是指不等式或是在的條件下恒成立的。在我們理解時(shí)，還要注意兩

12、點(diǎn):1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；2)函數(shù)的單調(diào)性反映函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化情況。而在高等數(shù)學(xué)中單調(diào)性的定義是：如果在某個(gè)鄰域內(nèi)，函數(shù)的增量的符號(hào)與自變量的增量的符號(hào)相同(或者相異)，則稱在點(diǎn)處增加(或減少)。由此推出的引理是：如果函數(shù)在點(diǎn)處存在正(或負(fù))的有限導(dǎo)數(shù)，那么函數(shù)在該點(diǎn)就是增加(或減少)的。所以可以看出，高等數(shù)學(xué)的定義更加的規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)。[2]</p><p>　　(二)函數(shù)的圖像理解單調(diào)性的概念

13、</p><p>　　通過(guò)函數(shù)的圖像也可以判別函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。主要是利用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)，從定量的角度來(lái)判別函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增加，還是單調(diào)減少。如果函數(shù) 在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)增加；反之，如果時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)減少。同時(shí)，可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的個(gè)別點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零，并不影響函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。如函數(shù)在內(nèi) ，該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)仍是單調(diào)增加的。有了上述理論依據(jù)，對(duì)可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性的研究

14、便可轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的解不等式或。因此，對(duì)于一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，我們會(huì)求其導(dǎo)數(shù)，那么它的單調(diào)性問(wèn)題就不是問(wèn)題了。以往我們覺(jué)得較復(fù)雜的函數(shù)和含參函數(shù)等的單調(diào)性問(wèn)題就變得很容易處理了。</p><p>　　我們也可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性研究函數(shù)的單調(diào)性：</p><p>　　I.利用函數(shù)自身圖象的對(duì)稱性：①奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以奇函數(shù)表現(xiàn)出來(lái)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致。例如:若是奇函數(shù)且在區(qū)間上遞增

15、，則在區(qū)間上遞增。②偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以偶函數(shù)表現(xiàn)出來(lái)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反。例如:若是偶函數(shù)且在區(qū)間上遞增，則在區(qū)間上遞減。[3]</p><p>　　II.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性：①函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于y軸軸對(duì)稱，所以函數(shù)與函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。例如:若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則在區(qū)間上遞減。</p><p>　?、诤瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于軸軸對(duì)稱，所以函數(shù)與函數(shù)在同一區(qū)間上的單調(diào)性

16、相反。例如:若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則函數(shù)在區(qū)間上遞減。</p><p>　?、酆瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以函數(shù)與函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致。例如:若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則函數(shù)在區(qū)間上遞增。</p><p>　?、芎瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性一致(在此注明是分別在各自的單調(diào)區(qū)間上)。例如:若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋以谏线f增，則反函數(shù)在上遞增。[4]</p

17、><p>　　利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性是我們的重難點(diǎn)。其步驟一般可分解為:</p><p>　　1)對(duì)其取值:即設(shè)，是該區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)值，且；</p><p>　　2)作差變形:求，并對(duì)它們進(jìn)行有利于判斷符號(hào)的變形，如因式分解、配方法、有理化等，有時(shí)可能還要分類討論；</p><p>　　4)判斷:根據(jù)定義作出結(jié)論。</p>

18、;<p>　　其中2)和3)是重點(diǎn)，有時(shí)變形需要技巧，確定符號(hào)也要有邏輯推理，嚴(yán)防直觀簡(jiǎn)單的判斷。</p><p>　　例1　用定義證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。</p><p><b>　　證明　 取且，則</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　∵，∴。要

19、證明函數(shù)是減函數(shù)，只要證明即可。這里，符號(hào)未定。要對(duì)，的正、負(fù)進(jìn)行討論。</p><p><b>　　若，則=。</b></p><p>　　若，則，中只有一個(gè)為零，所以；</p><p><b>　　若，則；</b></p><p>　　故不論何種情況，總有。</p><p&g

20、t;<b>　　∴，即。</b></p><p>　　因此，在上是減函數(shù)。</p><p>　　最后，在此闡述下單調(diào)區(qū)間的求解方法，這也是單調(diào)性范圍中的重要方法：</p><p>　　1)函數(shù)的單調(diào)性只是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言，有些函數(shù)在整個(gè)定義域上不是單調(diào)的，但是在定義域的某些區(qū)間上卻存在單調(diào)性，即：函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)局部的性質(zhì)。所以單調(diào)區(qū)間是定義

21、域的子集。</p><p>　　2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間不能寫成并集，區(qū)間端點(diǎn)可有可無(wú)。</p><p>　　3)掌握復(fù)合單調(diào)區(qū)間的求法：</p><p>　　①把復(fù)合函數(shù)拆成兩個(gè)或者幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，一般為兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)；</p><p>　?、诜謩e判斷兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性（在此注意自變量的取值范圍）；</p><p>

22、　?、圻\(yùn)用“同增異減”的口訣確定單調(diào)區(qū)間，即增增增，增減減，減增減，減減增。在此說(shuō)明“同增異減”是指:若在函數(shù)的某區(qū)間上，函數(shù)與的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)；若函數(shù)與的單調(diào)性相異，則復(fù)合函數(shù)在該區(qū)間是減函數(shù)。</p><p>　?、茏罱K順利寫出所求單調(diào)區(qū)間。</p><p>　　例2　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。</p><p>　　解：　其中設(shè)取復(fù)合函數(shù)的符號(hào)

23、為。</p><p>　　可知，函數(shù)是由函數(shù)和復(fù)合的。</p><p>　　由 即，解得。即函數(shù)的定義域?yàn)椤?lt;/p><p><b>　　對(duì)稱軸。</b></p><p>　　二次函數(shù)的單調(diào)性，可知在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)。而在其定義域上單調(diào)增；。</p><p>　　所以說(shuō)明函數(shù)在區(qū)

24、間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)。[5]</p><p>　?。ㄈ┖瘮?shù)單調(diào)性的基本性質(zhì)</p><p>　　這里借鑒書中的定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可知在上一定有最大值和最小值。</p><p>　　如果最大（?。┲翟趨^(qū)間的內(nèi)部取得，那么這個(gè)最大（?。┲狄欢ㄊ呛瘮?shù)的極大（小）值。如果在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)取得極值的必要條件，可知這個(gè)最大（

25、?。┲抵荒茉诤瘮?shù)的駐點(diǎn)處取得。由書中的這個(gè)定理又演變出了三個(gè)性質(zhì)，這些性質(zhì)可以用來(lái)方便我們更好的理解定理。</p><p>　　性質(zhì)1:設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，則在必存在最大(小)值，若在。</p><p>　　性質(zhì)2:若在處取上最小值，則。</p><p>　　性質(zhì)3:若在處取上的最大值，則。</p><p>　　這一個(gè)定理和三個(gè)性質(zhì)說(shuō)明了函數(shù)的單調(diào)性

26、基本性質(zhì)，我們單從字面上比較難以理解，下面給出一些例題來(lái)進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明，加深大家對(duì)其理解。</p><p>　　例3　求函數(shù)的最大值。</p><p>　　解 函數(shù)的定義域?yàn)椤?lt;/p><p>　　對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，推出 ，</p><p><b>　　令，得駐點(diǎn)。</b></p><p>　　因?yàn)楫?dāng)

27、時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以判斷是函數(shù)的極大值點(diǎn)。</p><p>　　由于函數(shù)在內(nèi)只有唯一的一個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值為。</p><p>　　通過(guò)這道簡(jiǎn)單的例題，我們可以明白單調(diào)性可以應(yīng)用于我們來(lái)求解最值問(wèn)題。下面我們著重來(lái)介紹下函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。</p><p><b>　　單調(diào)性的應(yīng)用</b></p><p&

28、gt;　　函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題是反映函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減小）的變化規(guī)</p><p>　　律，因此，在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果涉及函數(shù)的變化問(wèn)題，不妨考查該函數(shù)的單調(diào)性，這往往能使問(wèn)題簡(jiǎn)化。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)重要的性質(zhì)，這一性質(zhì)貫穿函數(shù)學(xué)習(xí)的始終。很多類型的問(wèn)題都隱含著函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)中能夠正確的分析和正確的解題思路，那么就能夠準(zhǔn)確而又快速的得到正確答案。 這一類問(wèn)題往往需要構(gòu)造函數(shù)，把解不等

29、式和不等式證明等幾方面的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題， 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。下面我們從幾個(gè)方面來(lái)論述函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。[7]</p><p>　　（一）利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值或自變量的大小</p><p>　　若已知函數(shù)單調(diào)性的情況下，要比較函數(shù)值的大小，可先比較兩個(gè)自變量的大小，再根據(jù)單調(diào)性推知函數(shù)值的大小。若已知兩個(gè)函數(shù)值的大小，也可在單調(diào)區(qū)間內(nèi)推知函數(shù)值的大小。</p>

30、;<p>　　例4 已知 在 上是增函數(shù)，試比較 與 的大小。</p><p><b>　　解析： ，。</b></p><p>　　又 ∵在 上是增函數(shù)</p><p><b>　　。</b></p><p>　　通過(guò)以上簡(jiǎn)單的例題，我們可以理解到在此類問(wèn)題中函數(shù)單調(diào)性的重要運(yùn)

31、用。下面再舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，加深我們對(duì)比較大小的理解。</p><p>　　例5 將下列數(shù)依從小到大的次序排列出來(lái)，，，，</p><p><b>　　解： </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性比較大小是常見(jiàn)的題型，其思路方法是不用求出各函數(shù)

32、的大小等構(gòu)造一類函數(shù)，通過(guò)這類函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)來(lái)說(shuō)明不同的自變量取值時(shí)其函數(shù)值的大小關(guān)系。[8]</p><p>　?。ǘ├脝握{(diào)性求參數(shù)值或取值范圍</p><p>　　運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可確定方程或不等式中參數(shù)的取值范圍。在解與不等式或方程有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，我們往往由于忽略變換的等價(jià)性，如果能恰當(dāng)?shù)乩煤瘮?shù)單調(diào)性，則會(huì)避開(kāi)這種錯(cuò)誤，下面舉例說(shuō)明。</p><p>　　

33、例6 已知函數(shù) 在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。</p><p>　　解： ∵函數(shù) 圖像的對(duì)稱軸為 </p><p>　　∴函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為</p><p>　　∴由已知條件可得，解得 。</p><p><b>　　利用單調(diào)性解不等式</b></p><p>　　利用單調(diào)性解

34、題時(shí)，一定要看懂題意，找準(zhǔn)題目隱含的意思，然后針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解題，最終得到求解值的范圍。</p><p>　　例7 已知函數(shù) 的定義域?yàn)椋覞M足下列條件：在定義域上單調(diào)遞增；求實(shí)數(shù) 的取值范圍。</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　推出 </b></p><p

35、>　　又∵函數(shù)的定義域?yàn)?，在定義域上單調(diào)遞增</p><p>　　∴ 滿足-1<1-a<1，</p><p><b>　　推出 </b></p><p>　　利用單調(diào)性求函數(shù)的最值</p><p>　　利用函數(shù)的單調(diào)性，我們可以求出函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問(wèn)題。</p><p>　

36、　例8　設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，對(duì)任意都有，且時(shí)，，求在上最大值和最小值。</p><p>　　解：　 設(shè)，則x2-x1>0，即，判定函數(shù)在上是減函數(shù)。</p><p><b>　　，推出，。</b></p><p><b>　　在上是減函數(shù)，</b></p><p><b>　　∴在上，。

37、</b></p><p>　　本題是求抽象函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，關(guān)鍵是先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再求最值，最后注意的是要充分利用進(jìn)行轉(zhuǎn)換。</p><p>　?。ㄎ澹?利用單調(diào)性求函數(shù)極值</p><p>　　運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性可求出函數(shù)的極值，先求得函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，再考察這些點(diǎn)處的左右兩側(cè)單調(diào)性是否相同，若在駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的兩側(cè)單調(diào)性不同則說(shuō)明這

38、一點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)。[10]</p><p>　　例9 求函數(shù) 的極值。</p><p>　　解 由函數(shù)的定義域是</p><p><b>　　求出</b></p><p><b>　　令 </b></p><p>　　將定義域分為三個(gè)區(qū)間。</p>&

39、lt;p><b>　　現(xiàn)列表如下:</b></p><p>　　由表可知函數(shù)的極大值為，極小值為。</p><p>　?。├脝握{(diào)性證明不等式</p><p>　　通過(guò)利用構(gòu)造輔助函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性，可以證明不等式。</p><p><b>　　例10 證明 </b></p&

40、gt;<p>　　證明： 設(shè)，在區(qū)間上連續(xù)。</p><p><b>　　在上單調(diào)減少</b></p><p>　　上述題型是簡(jiǎn)單的證明題，利用求導(dǎo)，基本說(shuō)清楚了單調(diào)性證明不等式的應(yīng)用。</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　函數(shù)的單調(diào)性在比較函數(shù)值或自變量的

41、大小、求參數(shù)值或取值范圍、解不等式、求函數(shù)的最值、求函數(shù)極值、證明不等式等多方面都有應(yīng)用，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意不斷總結(jié)并且做到靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性。其中，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。</p><p>　　在上面的例題中沒(méi)有直接給出函數(shù)的解析式而是通過(guò)分析，構(gòu)造函數(shù)，再通過(guò)證明和判斷其函數(shù)的單調(diào)性從而解決問(wèn)題。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法可以用單調(diào)性的定義判定或者用導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)判定，判定單調(diào)性的過(guò)程也是這類問(wèn)題解題的一

42、部分。運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和分析問(wèn)題，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化和明了化。</p><p>　　總之，函數(shù)的單調(diào)性的研究得到了數(shù)學(xué)家們的充分重視，它在研究數(shù)學(xué)領(lǐng)域起著很大的作用。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]付罄雨.用函數(shù)單調(diào)性生研究不等式[J].大觀周刊,2011(51).</p><p>

43、;　　[2]游曉荔.函數(shù)單調(diào)性的巧用[J].科技信息,2011(20).</p><p>　　[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)(第二版)[M].高等教育出版社,1993.</p><p>　　[4] 岳嶸.一個(gè)有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的命題推廣.高等數(shù)學(xué)研究[M].2007, 5: 33- 35.</p><p>　　[5] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法(第2

44、版)[M].高等教育出版社,2006.2.</p><p>　　[6]覃英.淺談運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解題的技巧[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2011(12).</p><p>　　[7]姚宗貴.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[J].考試周刊,2011(46).</p><p>　　[8]胡周華 談利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的解題策略[J]-數(shù)學(xué)大世界（教師適用）,2010(5).</p

45、><p>　　[9]藍(lán)軍峰.理解函數(shù)的單調(diào)性 求解函數(shù)類綜合題[J].高中數(shù)理化,2011(22).</p><p>　　[10]王斌.如何判斷函數(shù)的單調(diào)性[J]-試題與研究,新課程論壇2012(5).</p><p>　　[11]劉新春 函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化,高中版2011(9).</p><p>　　[12]唐中建.函數(shù)的單

46、調(diào)性學(xué)習(xí)指津[J].試題與研究(教學(xué)論壇),2011(4).</p><p>　　[13]孫繼云.剖析函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[J].教育界,2011(29).</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本文是在王志剛老師的悉心指導(dǎo)下完成的。從畢業(yè)設(shè)計(jì)題目的選擇、到選到課題的研究和論證，再到本畢業(yè)設(shè)計(jì)的編寫、修改，每一步都有

47、王老師的細(xì)心指導(dǎo)和認(rèn)真的解析。在王老師的指導(dǎo)下，我在各方面都有所提高，老師以嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)，一絲不茍的治學(xué)態(tài)度和勤勉的工作態(tài)度深深感染了我，給我巨大的啟迪，鼓舞和鞭策，并成為我人生路上值得學(xué)習(xí)的榜樣。使我的知識(shí)層次又有所提高。同時(shí)感謝所有教育過(guò)我的專業(yè)老師，你們傳授的專業(yè)知識(shí)是我不斷成長(zhǎng)的源泉也是完成本論文的基礎(chǔ)。也感謝我同一組的組員和班里的同學(xué)是你們?cè)谖矣龅诫y題是幫我找到大量資料，解決難題。再次真誠(chéng)感謝所有幫助過(guò)我的老師和同學(xué)。通過(guò)這次畢業(yè)