數(shù)列通項(xiàng)公式求法學(xué)案

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法學(xué)案一、觀察歸納法觀察歸納法：觀察數(shù)列的特征，橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例1寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。⑴14916251017?⑵11111371531???⑶371531481632?⑷21203200520007，…；⑸0.20.220.2220.2222，…；⑹1010，…；⑺31517123456?二、公式法公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通

2、項(xiàng)公式例2等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)??nanS931aaa255aS?列的通項(xiàng)公式.??na解：設(shè)數(shù)列公差為??na)0(?dd∵成等比數(shù)列，∴，931aaa9123aaa?即)8()2(1121daada???dad12??∵，∴………………………………①0?dda?1∵∴…………②255aS?211)4(2455dada?????由①②得：，531?a53?d∴nnan5353)1(53?????練一練：練

3、一練：1.已知等差數(shù)列的公差大于且是方程的兩根數(shù)列nad052aa027122???xxnb的前項(xiàng)和為且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；nnTnnbT211??nanb三、累加法：三、累加法：若求，f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函1()nnaafn???na數(shù)、分式函數(shù)形式的函數(shù)。（1）若f(n)f(n)是常數(shù)，則為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可；若是常數(shù)，則為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可；若f(n)f(n)是關(guān)于是關(guān)于n

4、的一次函數(shù)，累加后轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和。一次函數(shù)，累加后轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和。例3已知na的首項(xiàng)11?a，naann21???（Nn?）求通項(xiàng)公式。解：解：)1(21????naann)2(221?????naann)3(232?????naann……2223???aa1212????aannnaan????????21)]1(21[2?∴12???nnan練習(xí)：已知數(shù)列滿足，，則=________；na11a?naann???1(2)n?

5、na（2）若f(n)f(n)是二次函數(shù)形式，累加后利用分組求和。是二次函數(shù)形式，累加后利用分組求和。例4已知數(shù)列滿足求（補(bǔ)充：na21112.nnaaannn??????na）2222(1)(21)1236nnnn????????（3）若f(n)f(n)是含指數(shù)函數(shù)形式，累加后轉(zhuǎn)化等比數(shù)列求和。是含指數(shù)函數(shù)形式，累加后轉(zhuǎn)化等比數(shù)列求和。例5已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。na112313nnnaaa??????，na解：由得則1231n

6、nnaa?????1231nnnaa?????遞推公式為令，則且)3(231????nnaa3??nnab4311???ab23311??????nnnnaabb所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則所以.??nb41?b11224?????nnnb321???nna練習(xí)練習(xí)1已知，求；11132nnaaa????na(2)(2)形如：形如：(其中其中q是常數(shù)，且是常數(shù)，且n01)01)nnnqapa????1?①若p=1時(shí)，即：，累加

7、即可.nnnqaa???1②若時(shí)，即：，1?pnnnqapa????1求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列1?np即：令，則然后類型1，累加求nnnnnqppqapa)(111?????nnnpab?nnnqppbb)(11????通項(xiàng).ii.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。即：令1?nqqqaqpqannnn111?????nnnqab?則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型(1)來(lái)解，qbqpbnn

8、11????iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過(guò)比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).)(11nnnnpapqa??????????注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否則待定系數(shù)法會(huì)失效。?例9已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。na1112431nnnaaa??????，??na解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，比較系數(shù)得，11123(3nnnnaa?????????)1242?????則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，?

9、?143nna???111435a?????所以，即114352nnna???????114352nnna??????解法二（兩邊同除以）：兩邊同時(shí)除以得：，下面解法略1?nq13n?112243333nnnnaa?????解法三（兩邊同除以）：兩邊同時(shí)除以得：，下面解法略1?np12?nnnnnnaa)23(342211?????練習(xí)：1、已知na中，111222(2)nnnnaaana??????求擴(kuò)展視野：（擴(kuò)展視野：（3）形如）