數列通項公式的應用論文

1、<p><b>　　緒論</b></p><p>　　數列是中學數學的一項重要內容，在中學數學體系中相對獨立，但有一定的綜合性和靈活性.高中數學中的數列知識主要涉及等差、等比數列的通項公式以及數列求和等內容，能力要求較高.數列的通項公式是高中數學中最為常見的題型之一,它既可考查轉化與化歸的數學思想,又能反映中學生對等差與等比數列理解的深度,具有一定的技巧性,因此經常滲透在數學競賽和

2、高考中.同時也是初等數學與高等數學的一個重要銜接點。 </p><p>　　一扇門，打開它的關鍵就是門上的鎖和鑰匙，而數列問題就像緊閉的門，數列的通項公式與它的推導思路就是開門的關鍵。數列可以看作是特殊的函數，特殊在可以看作定義域為正整數集的函數當自變量依次取值時對應的一系列的函數值，而數列的通項公式即這個函數的關系式。所以，推導數列的通項公式關鍵是找出與的關系。在本文中討論的方法也是函數中常用的技巧.</

3、p><p>　　在各類研究數列通項公式的資料中，推導數列通項公式的常用方法一般有：公式法，待定系數法，不動點法，累加法，累乘法，歸納猜想法，構造等差或等比數列法等.本文從實際出發(fā)，首先介紹在數列知識體系中的一些相關概念及公式，然后把上述方法比較系統的歸納為四大類：公式法、歸納猜想法、迭代法、構造新數列法.解題思路由簡單到復雜，難度一步步上升.不僅如此，內容安排上把方法和應用相結合，讓讀者更好的理解和掌握。</p

4、><p>　　在應用舉例中，有些一種類型的題可以用不同的方法解決，這種形式有利于開發(fā)中學生的發(fā)散思維能力，讓學生在解決數列問題時從多方面綜合考慮，以找出最簡便的解法。怎樣找準方法快速有效地推導呢？這就是本文所討論的問題。</p><p>　　1 數列的相關概念.</p><p><b>　　1.1 數列</b></p><p&g

5、t;　　數列：按某種規(guī)定排列的一列數稱為數列。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。排在第一位的數稱為這個數列的第1項（通常也叫做首項），排在第n位的數稱為這個數列的第n項 ，也叫數列的通項.</p><p>　　數列的通項公式：將數列{}的第n項用一個具體式子（含有參數n）表示出來，稱作該數列的通項公式。</p><p>　　通項可以看作是項數n的函數 .當然，不是所有的數列都能寫出它的通

6、項公式，如：一個學校的學生的考試成績由高到矮組成的數列，就很難寫出其通項公式.</p><p>　　1.2 基本數列的通項公式</p><p>　　高中學習的數列有兩種最基本的數列：等差數列與等比數列</p><p>　　等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列.這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母

7、d表示.</p><p>　　如果等差數列的首項為 ，公差為 d ，那么這個數列可以寫成</p><p>　　的形式，所以等差數列的通項公式為</p><p>　　等比數列：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比 ,通常用q 來表示。</p><p>　　如果等比數列的

8、首項為 ，公比為 q ，那么這個數列可以寫成</p><p>　　的形式，所以，等比數列的通項公式是</p><p>　　遞推數列：根據等差數列的概念，形成等差數列的條件可以看作任一項與前一項的差為常數，即，像這樣表示若干個相鄰項之間的關系式叫做數列的遞推式.一個數列的第n項與前面的項的關系稱為階遞推關系，由階關系及給定的前項的值所確定的數列叫做階遞推數列.</p><

9、p>　　在高中數學中，很多關于數列的題的題干都是以遞推式的形式給出，如、、等.這樣就加大了推導數列通項公式的難度。</p><p>　　2 數列通項公式的幾種推導方法</p><p><b>　　2.1公式法</b></p><p>　　類型一 若題型中已知數列{}為等差或等比數列，則可直接利用公式求.</p><p

10、>　　類型二 若已知數列的前項和與n的關系式,則利用公式</p><p><b>　　求出數列的通項.</b></p><p>　　這兩類型是數列問題中最直接，最簡單的解法。</p><p>　　2.2 歸納猜想法 </p><p>　　在數列的有關題型中，有些明確給出了一個數列的前幾項，如1，8,27,64,12

11、5，…要求求出這個數列的通項。這類題一般以選擇題或填空題的形式出現。解決此類型的題，快速準確是關鍵，所以，用猜想歸納的思想能有效的解決問題。 </p><p>　　首先，運用觀察法，從數列的前幾項中找出規(guī)律性的結論，歸納猜想得出或其相關項，然后把前幾項代入結論中檢驗其是否正確。</p><p>　　從上述的數列中可以觀察出，該數列為典型的立方數列，規(guī)律為：，，，，…，所以我們可以猜想出其通

12、項公式為.</p><p>　　當然，選擇題和填空題并不要求寫出其解答過程，歸納猜想出來的通項公式只是一個合理猜想，如若遇到解答題，我們猜想出來的公式就還需要用數學歸納法的思想去檢驗.</p><p><b>　　2.3迭代法</b></p><p>　　所謂迭代法，就是層層代入，用舊的變量遞推新變量的過程，用迭代法解決數列問題關鍵是尋找各等式

13、之間的聯系，從而求出數列的通項公式。最常見的方法是累加，累乘法.</p><p><b>　　2.3.1累加法</b></p><p>　　累加法，一般適用于遞推數列的類型，遇到此類型的題，一般題干中會告訴的值，解題思路為：首先把等式化為 </p><p><b>　　，</b></p><p>　

14、　再把當n=1,2,3,4…分別代入上述等式中得</p><p><b>　　…</b></p><p>　　第一式與第二式相加左邊消去了,再與第三式相加消去了,依次累加后得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以 </p><

15、p><b>　　，</b></p><p><b>　　變式得</b></p><p>　　注：的結果必然是關于n關系式.在求和過程中可能會涉及到等差、等比數列的求和方法。</p><p><b>　　2.3.2累乘法</b></p><p>　　累乘法的思想與累加法本質

16、上是一樣的， 在數列中如果遇到這種類型，通常先把等式化為，分別令，再層層代入等式中得</p><p>　　… </p><p><b>　　令各項累乘得</b></p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　化簡得&

17、lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由此可求出數列通項.</p><p><b>　　2.4構造新數列法</b

18、></p><p>　　構造法就是在解決某些數學問題的過程中，通過對條件與結論的充分剖析，有時會聯想出一種適當的輔助模型，以此促成命題轉換，產生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構造”。</p><p>　　在數列求通項的有關問題中，經常遇到即非等差數列，又非等比數列的求通項問題，特別是給出的數列相鄰兩項是線性關系，數列遞推式較復雜的題型。如果題型簡單，我們可以通過不完全歸納法進

19、行歸納、猜想，然后借助于數學歸納法予以證明，然而用數學歸納法證明雖然有固定的模式，但過程繁瑣，用時較多，而且在新版教材中，數學歸納法的思想很少提到，因而我們遇到這類問題，就要避免用數學歸納法的思想。構造新的數列，具有輔助計算的效果，一般是構造等差，等比數列，這樣就可以套用等差等比數列的固定通項模型來解決問題。主要方法有待定系數法，不動點法，特征根法等。</p><p>　　2.4.1 待定系數法 </p&

20、gt;<p>　　待定系數法主要適用于一階遞推式；（其中p，q均為常數，）、（p,q,c為常數，,）等.</p><p>　　類型一：（其中p，q均為常數，）</p><p><b>　　假設原遞推公式為</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中，計算出

21、t后，就構造成了一個以為首項，以p為公比的等比數列{}，從而推導出的通項公式。</p><p>　　類型二 （p,q,c為常數，,)</p><p>　　此類型為類型一的變式，既然類型一能化成等比數列，那么假設類型二也能構造成等比數列，假設原遞推公式為</p><p><b>　　，</b></p><p><

22、;b>　　化簡得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又因為</b></p><p>　　所以，系數對應相等得</p><p><b>　　解方程組得</b></p><p>　　由此計算出AB后

23、就構造了一個以為首項，p為公比的等比數列.</p><p>　　用待定系數法求解通項公式，它的核心是通過“待定”將遞推公式轉化為一種新的等比數列。通過求新等比數列的通項公式從而求出原數列的通項公式，其實類型一與類型二可歸結為，可以為常函數，一次函數，二次函數，指數函數，冪函數等，其基本解題思路是在遞推式兩邊加上相同性質的量，使之成為等差或等比數列.</p><p>　　2.4.2 不動點法

24、</p><p>　　方程=x稱為函數的不動點方程，其根稱為函數的不動點.對于較復雜的數列遞推式，用其他方法難以解決的，可以用不動點法推導數列的通項。如一階遞推式;分式遞推式：（其中p、q、r、h均為常數，且），都可建立不動點方程.</p><p>　　類型一：一階線性遞推式 ()（ 對問題中的遞推關系式作出一個方程，解出方程的解,在原遞推式兩邊同時減去，得到，構造出一個公比為p的等比數

25、列，由此推導出數列的通項公式.</p><p>　　類型二：分式遞推式，</p><p>　　數列的特征方程為，由，解出不動點設為m , n</p><p>　　1.若不動點m = n ，原遞推式兩邊同時減去m，化解后得,推出一個新等差數列{}，公差為.由此推導出.</p><p>　　若不動點 ,遞推式兩邊分別同時減去m,n,再用兩式相除得

26、：，其中，推出一個新等比數列{}，公比為.</p><p>　　2.4.3 其他構造方法</p><p>　　一種類型的題可以有不同的解法，在構造新數列的過程中，最重要的是轉化思想，上述的針對遞推式的待定系數法，不動點法在高中數學中相對比較容易理解，下面介紹幾種不常用的構造新數列的方法.</p><p><b>　　特征根法</b></p

27、><p>　　類型一 ：一階遞推式，針對問遞推關系式作出一個方程稱之為特征方程，特征根為.</p><p><b>　　若則</b></p><p>　　若，則，其中是以為公比的等比數列，即.</p><p>　　類型一 對于由二階遞推式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程.</p><p>　　

28、（1） 當方程有兩相同的特征根，數列的通項為，其中A，B由決定,即把，代入，得到關于A、B的方程組，解出A,B后，就得到數列的通項.</p><p>　?。?）當特征方程有兩個相異的特征根時，數列的通項為，其中A，B由決定，即把和，代入，得到關于A、B的方程組，解出A,B后，就得到數列的通項.</p><p>　　類型二，對于分式遞推式，可作特征根方程，</p><p&

29、gt;　?。?） 當特征方程有兩相同的特征根時，</p><p><b>　　若則</b></p><p><b>　　若，則其中</b></p><p>　?。?）當特征方程有兩個相異的特征根時，則，</p><p><b>　　其中.</b></p><

30、p>　　特征根法主要針對這三類型的遞推式，有固定的公式，相比迭代法，待定系數法，無技巧可言.但計算簡單，所以，當遇到此類型的題若要用此方法時，最好正確的記住每種類型的公式,然后再進行解題.</p><p>　　換元法高中函數一章節(jié)中我們經常用換元法來解決當函數式中有根號的情況，數列是特殊的函數，用換元法解題省去了繁長的計算</p><p>　　倒數法：數列中有形如的關系，如可在等式兩

31、邊同乘以，構造一個新等差數列，求出</p><p>　　3.數列通項公式方法的應用</p><p>　　例1：（2012年普通高等學校招生全國統一考試湖北卷）已知等差數列</p><p>　　前三項的和為3，前三項的積為8，求等差數列{}的通項公式。</p><p>　　解：設等差數列的公差為d，則</p><p>&

32、lt;b>　　由題意得</b></p><p><b>　　解得</b></p><p>　　或 </p><p>　　所以，由等差數列通項公式可得</p><p><b>　　或<

33、;/b></p><p>　　此題解題方法為公式法的類型一.由題意可知，該數列為等差數列，所以可以直接套用等差數列的公式來求通項，</p><p>　　例2：已知數列{}的前n項和，求.</p><p><b>　　解:當n=1時 </b></p><p><b>　　當時 </b></

34、p><p><b>　　,</b></p><p>　　由于不適合于此等式 ，所以 </p><p>　　此題解題方法是公式法的類型二，但需要注意的是求出的首項要代入通項中檢驗是否也符合.</p><p>　　例3.寫出下列數列的通項.</p><p>　　(1)0,7,26,63,124,…<

35、/p><p><b>　　(2),1,,,…</b></p><p>　　解：（1）中通過觀察可以化為，，，…所以通項.</p><p>　　(2)中是分數的數列，分子分母從表面上觀察不出規(guī)律，但把1和通分后可以看出分母是以2為首項的等差數列，分子是從1開始的奇數，且項數為奇數時為負，所以.</p><p>　　歸納猜想法的

36、應用關鍵在于如何利用有限的信息猜出通項，要做好這一點需要清楚數列的本質，它是項數與項之間的函數關系，通過已知的有限項去建立一種數學模型，如一次式、二次式、分式、指數式、對數式等形式。</p><p>　　例4：已知數列滿足，（），求。</p><p>　　分析：觀察題干，，此題明顯可用迭代法中的累加法進行求 解.</p><p><b>　　解：由題意得

37、</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　= （1） </p><p>　　令n=2,3,…代入（1）式得</p><p><b>　　…</b></p><

38、p><b>　　，</b></p><p><b>　　各式累加得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　即 （2）</p><p>　　因為

39、，代入（2）式得</p><p>　　例5：已知數列滿足，（），求.</p><p>　　分析：這道題求數列的193項具體值，雖然題干中沒有明確說明是求通項，但如果把首項依次代入中來求答案顯然不可能，所以觀察可知，設，很明顯可以用迭代法中的累乘法求數列的通項公式.然后再求.</p><p>　　解：由題意可知，因為 </p><p><

40、b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　分別令,有</b></p><p><b>　　…</b></p><p><

41、b>　　.</b></p><p><b>　　各項等式相乘，有</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　又因為，代入上式得</b></p><p><b>　　，</b></p><

42、;p><b>　　所以</b></p><p>　　. </p><p>　　例4與例5是典型的數列類求通項的題，當遇到與類型時，用迭代的思想解決快速又簡單.</p><p>　　例6.已知數列{}中，，，求{}的通項。</p><p>　　解題思路：中可以看成是，很顯然是一階

43、遞推式的類型，推導這種類型的通項公式，可以用待定系數法.</p><p><b>　　解：由題意得</b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　假設存在A,使得</b></p><p><b>　　(1)</b></

44、p><p>　　化解有 </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　=,</b></p><p><b>　　所以 </b></p>

45、;<p><b>　　(2)</b></p><p>　　把（2）代入（1）得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以，數列{}是以為首項，為公比的等比數列，該數列通項公式為</p><p><b>　　=（），</b></p>

46、;<p><b>　　又因為，所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　此題中因為中的為指數型函數，所以待定系數法最為合適，若為常數函數，如，則此題可以用待定系數法、不動點法、以及特征根法解決，其中以待定系數法最為方便簡單.</p><p>　　例8已知數列中，，，求的通項。&

47、lt;/p><p>　　解：因為的特征函數,由, ，</p><p><b>　　所以或</b></p><p>　　解法一（不動點法）-1和-2為相異的不動點，所以設存在k,使得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b&g

48、t;</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　化簡有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以有</b></p><p><b>　　.</b>

49、;</p><p>　　因此數列是以為首項，公比為的等比數列.其通項公式為</p><p>　　即 </p><p>　　解法二：（特征根法）因為兩相異的特征根為，，所以</p><p><b>　　,</b></p><p><b>

50、　　其中</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　=.</b></p><p><b>　

51、　結論</b></p><p>　　在上述推導數列通項公式的方法中應用中，有些是用現有的公式直接求解，如例1，例2.這類型的題是數列類問題中屬于比較簡單的，根據題意直接帶入公式計算即可。而稍加復雜，具有一定技巧性的為歸納猜想法，累加法，累乘法的應用，如例3 例4 例5，但只要清楚題型是屬于哪種類型的，尋找相應的方法問題就迎刃而解.在本文中最復雜，最多變，技巧性較高的類型應該是構造新數列法。根據給出的遞

52、推關系式構造出新的數列，一階遞推式可以采用待定系數法，不動點法以及特征根法，二階遞推式可以用特征根法，分式遞推式可以用不動點法和特征根法，每種方法都具有較高的技巧性，需要注意其轉化思想的應用。當然，數列的題型千姿百態(tài)，有些上述的方法不一定都適用，所以在解題思想方法上要懂得隨機應變，找到合適的解決途徑。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　

53、[1] 昊成福.遞推數列通項公式求解策略[J].青海教育.2002,第八期,69-70.</p><p>　　[2] 茂木勇.數列與極限[M].高子平、梁國儀、李成仁.北京文化教育出版社，1981，122.</p><p>　　[3] 矢野健太郎.數學解題技巧[M].顏秉海、顏建設.哈爾濱：黑龍江人民出版社.1983,56</p><p>　　[4] 曾慶榮

54、.數列通項公式的八種常規(guī)求法[J]廣東教育綜合版.2006,第24期,1-3.</p><p>　　[5] 陳傳理、張同君.競賽數學教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2005,95-119.</p><p>　　[6] 孫景年.中學數學的概念、公式和例題[M]上海：上?？萍技夹g出版社,1981,116.</p><p>　　[7] 師達.奧賽急先鋒[M

55、].北京：中國少年兒童出版社,2002,112-113.</p><p>　　[8] 李生濱.高中數理化生公式定理.大連理工大學出版社,2008,35.</p><p>　　[9] 畢唐書.全線突破.高考總復習· 數學（理科版）[M].北京：中國社會出版社，2005,13.</p><p>　　[10] 余元希.初等代數研究（下冊）[M].北京：高等