2015年化工工程師《基礎(chǔ)知識》高等數(shù)學(xué)第四章

1、2015年化工工程師年化工工程師《基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識》高等數(shù)學(xué)第四章高等數(shù)學(xué)第四章第四章第四章微分學(xué)的應(yīng)用微分學(xué)的應(yīng)用一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求（一）學(xué)習(xí)要求1.了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理.2.會用洛必達(dá)法則求未定式的極限.3.掌握利用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法.4.理解函數(shù)的極值概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法，會解簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用題.5.會用二階導(dǎo)

2、數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹性及拐點，能描繪簡單函數(shù)的圖形.重點重點用洛必達(dá)法則求未定式的極限，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與圖形凹性及拐點，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法以及求簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用題.（二）內(nèi)容提要（二）內(nèi)容提要1.1.三個微分中值定理三個微分中值定理⑴羅爾（Rolle）定理如果函數(shù)滿足下列三個條件：)(xfy?①在閉區(qū)間上連續(xù)][ba②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo))(ba③)()(bfaf?則至少存在一點使.)(ba??0)(???f

3、⑵拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函數(shù)滿足下列兩個條件：)(xfy?①在閉區(qū)間上連續(xù)；][ba②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo))(ba則至少存在一點，使得或.)(ba??)()()(abafbff?????))(()()(abfafbf?????⑶柯西（Cauchy）中值定理如果函數(shù)與滿足下列兩個條件：)(xf)(xg①在閉區(qū)間上連續(xù)；][ba②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且)(ba)(0)(baxxg???則在內(nèi)至少存在一點，使得)(ba?內(nèi)由小增大經(jīng)過

4、時，如果0x①由正變負(fù)，那么是的極大值點，是的極大值；)(xf?0x)(xf)(0xf)(xf②由負(fù)變正，那么是的極小值點，是的極小值；)(xf?0x)(xf)(0xf)(xf③不改變符號，那么不是的極值點.)(xf?0x)(xf⑸極值的第二充分條件設(shè)函數(shù)在點處有二階導(dǎo)數(shù)，且，，則是函數(shù)的)(xf0x??00??xf??00???xf0x)(xf極值點，為函數(shù)的極值，且有)(0xf)(xf①如果，則在點處取得極大值；0)(0???xf)

5、(xf0x②如果，則在點處取得極小值.0)(0???xf)(xf0x5.函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在著最大值和最小值.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值只可能在區(qū)間內(nèi)的駐點、不可導(dǎo)點或閉區(qū)間的端點處取得.6.函數(shù)圖形的凹、凸與拐點函數(shù)圖形的凹、凸與拐點⑴曲線凹向定義若在區(qū)間內(nèi)曲線各點的切線都位于該曲線的下方，)(ba)(xfy?則稱此曲線在內(nèi)是向上凹的（簡稱上凹，或稱下凸）；若曲線各點的切線都)(b

6、a)(xfy?位于曲線的上方，則稱此曲線在內(nèi)是向下凹的（簡稱下凹，或稱上凸）.)(ba⑵曲線凹向判定定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，)(ba①如果在區(qū)間內(nèi)，則曲線在內(nèi)是上凹的.)(ba0)(???xf)(xfy?)(ba②如果在區(qū)間內(nèi)，則曲線在內(nèi)是下凹的.)(ba0)(???xf)(xfy?)(ba⑶拐點若連續(xù)曲線上的點是曲線凹、凸部分的分界點，則稱點)(xfy?)(00yxP是曲線的拐點.P)(xfy?7.曲線的漸近線曲線的漸近線⑴水