從幾何問題的邏輯結(jié)構(gòu)入手

1、本文發(fā)表于中學數(shù)學教學參考(中旬)2013年第12期幾何題的分析可以從邏輯關(guān)系入手幾何題的分析可以從邏輯關(guān)系入手——從一道中考錯題談起從一道中考錯題談起浙江舟山南海實驗初中浙江舟山南海實驗初中張宏政（張宏政（316021316021）在翻閱在翻閱20122012年各地中考試題的過程中年各地中考試題的過程中看到湖北恩施州初中學業(yè)考試數(shù)學試卷第看到湖北恩施州初中學業(yè)考試數(shù)學試卷第2323題的第題的第(3)(3)問存在明顯的問題問存在明顯的問

2、題文[1][1]業(yè)已通過不同的解法說明了它的錯誤原因業(yè)已通過不同的解法說明了它的錯誤原因.但引發(fā)筆者但引發(fā)筆者思考的是思考的是緣何這樣的重大錯誤命題者竟然沒有發(fā)現(xiàn)緣何這樣的重大錯誤命題者竟然沒有發(fā)現(xiàn)因此因此深入剖析產(chǎn)生問題的根源深入剖析產(chǎn)生問題的根源可能可能會給我們的幾何命題與解題帶來一些有益的啟示會給我們的幾何命題與解題帶來一些有益的啟示.例1(2012(2012恩施中考恩施中考)如圖如圖11ABAB是⊙O⊙O的弦的弦D為OAOA半徑

3、的半徑的中點中點過D作CD⊥OACD⊥OA交弦交弦ABAB于點于點E交⊙O⊙O于點于點F且CE=CBCE=CB（1）求證）求證:BCBC是⊙O⊙O的切線的切線（2）連接）連接AFAFBFBF求∠ABF∠ABF的度數(shù)的度數(shù)（3）如果）如果CD=15CD=15BE=10BE=10sinA=sinA=求⊙O⊙O的半徑的半徑讓我們從試題的內(nèi)在邏輯關(guān)系進行錯因分析讓我們從試題的內(nèi)在邏輯關(guān)系進行錯因分析.若圓的大小給定若圓的大小給定則當則當時弦13

4、5sin?AABAB的位置也隨之確定的位置也隨之確定從而從而DEDE的位置也惟一確定的位置也惟一確定于是為保證于是為保證BC=CEBC=CE則C點就惟一確定點就惟一確定(即為即為BEBE的中垂線與直線的中垂線與直線DEDE的交點的交點))從而說明從而說明CDCD的長是隨的長是隨BEBE的變化而變化的變化而變化.事實上事實上設(shè)OA=OA=過O作OH⊥ABOH⊥AB于HH過C作CG⊥ABCG⊥AB于GG則易知則易知AH=AH=AE=AE=r

5、r1312r2413rDE245?故EG=EG=從而從而CE=CE==rAEAHAEABEB62440721)(2121?????EG513r240407于是于是CD=CEDE=CD=CEDE=即CD=CD=.r240457BE40705941這就說明這就說明(3)(3)問中問中CD=15CD=15與BE=10BE=10這兩個條件中有一個是多余的這兩個條件中有一個是多余的.看來這里命題者好心看來這里命題者好心辦了壞事辦了壞事本想降低試題

6、難度本想降低試題難度但因給出的兩個條件不相容但因給出的兩個條件不相容以致出現(xiàn)了重大錯誤以致出現(xiàn)了重大錯誤.下面讓我們再來看一個引發(fā)老師困惑的問題下面讓我們再來看一個引發(fā)老師困惑的問題.例2如圖如圖2，在平面直角坐標系，在平面直角坐標系中已知拋物線已知拋物線與軸相交軸相交xoy431312????xxyy于BB與軸相交于軸相交于ACAC兩點兩點.x(1)(1)求A、B、C三點的坐標三點的坐標(2)(2)已知有一動點已知有一動點P從點從點A

7、沿線段沿線段ACAC以每秒以每秒1個單位長度個單位長度的速度移動的速度移動同時另一動點同時另一動點Q以同一速度從點以同一速度從點B沿BCBC移動移動當其當其中一個點到達端點時中一個點到達端點時另一個動點也隨之停止另一個動點也隨之停止設(shè)運動時間為設(shè)運動時間為秒.t①探究探究:是否存在是否存在值使得使得△PQC△PQC為等腰為等腰△.△.若存在若存在求出所有可能的求出所有可能的值若不存在若不存在請tt(圖1)1)GHAOCBxyPDQ(圖2

8、)2)本文發(fā)表于中學數(shù)學教學參考(中旬)2013年第12期例4如圖如圖55兩個同心圓的半徑分別為兩個同心圓的半徑分別為與矩形矩形ABCDABCD的6234邊ABCDABCD分別為兩圓的弦分別為兩圓的弦.當矩形當矩形ABCDABCD的面積最大值時的面積最大值時求矩形求矩形ABCDABCD的周長周長.分析一、由于兩個同心圓的半徑確定分析一、由于兩個同心圓的半徑確定因此因此當ABAB變化時變化時ADAD也隨之變化也隨之變化即ADAD的值可以用

9、的值可以用ABAB的長來表示的長來表示從而想到用列函數(shù)解析式的方法求解從而想到用列函數(shù)解析式的方法求解.如圖如圖55設(shè)AB=2xAB=2x過O分別作分別作OE⊥ABOE⊥AB于EOF⊥CDEOF⊥CD于FF連結(jié)連結(jié)OAODOAOD則易知則易知AD=AD=于是于是，其中，其中.224824xx??)4824(222xxxSABCD????矩形620?x＜但如何求這個函數(shù)的最大值對初中生來說卻是難事但如何求這個函數(shù)的最大值對初中生來說卻是難

10、事必須另辟蹊徑必須另辟蹊徑.于是于是能否把求面積的兩能否把求面積的兩個變量轉(zhuǎn)化成用一個常量、一個變量表示就自然而然了個變量轉(zhuǎn)化成用一個常量、一個變量表示就自然而然了.分析二、考慮到本題中的不變量是直徑分析二、考慮到本題中的不變量是直徑(或半徑或半徑))因此因此設(shè)想用直徑設(shè)想用直徑(或半徑或半徑)來表示面來表示面積應(yīng)該是解題的突破口積應(yīng)該是解題的突破口.于是于是下面的想法就容易生成了下面的想法就容易生成了.如圖如圖66設(shè)BCBC交小圓于交

11、小圓于EE連結(jié)連結(jié)AEAE、DEDE、ODOD過D作DF⊥AEDF⊥AE于F，易知易知.DFDFAESSADEABCD642?????矩形從而從而當DFDF最大值時最大值時矩形矩形ABCDABCD的面積也最大的面積也最大.而DF≤OD=DF≤OD=34故當故當OD=DF=OD=DF=時矩形矩形ABCDABCD的最大面積為的最大面積為.34248此時此時ADAD=故AB=8AB=8從而矩形從而矩形ABCDABCD的周長為的周長為.2616

12、212?例5(20115(2011年全國初中數(shù)學聯(lián)賽二試年全國初中數(shù)學聯(lián)賽二試C組第組第2題)如圖如圖77已知已知P為銳角銳角△ABC△ABC內(nèi)一點內(nèi)一點過P分別作分別作BCACABBCACAB的垂線的垂線垂足分別為垂足分別為D、E、F，BMBM為∠ABC∠ABC的平分線的平分線MPMP的延長線交的延長線交ABAB于點于點N.N.若PD=PEPFPD=PEPF求證求證:CN:CN是∠ACB∠ACB的平分線的平分線分析分析:本題的關(guān)鍵顯然

13、是對本題的關(guān)鍵顯然是對P點位置的把握點位置的把握.若P點確定點確定那么它的具體位置那么它的具體位置在哪里在哪里若P點位置不確定點位置不確定則它的運動軌跡又是怎樣的則它的運動軌跡又是怎樣的先來考察特殊位置先來考察特殊位置易知易知M點就是符合點就是符合PD=PEPFPD=PEPF的一個點的一個點(此時此時PE=0)PE=0)從而從而∠ACB∠ACB的平分線與的平分線與ABAB的交點的交點也是符合條件的一點也是符合條件的一點(此時此時PF=0

14、)PF=0)從而從而N容易猜想容易猜想P點是否只能在線段點是否只能在線段上.若是若是則問題得證則問題得證.MN如圖如圖88過M分別作分別作ABBCABBC的垂線段的垂線段垂足為垂足為H、GG記MG=MH=MG=MH=過N’N’h分別作分別作ACBCACBC的垂線段的垂線段垂足為垂足為L、KK記.hKNLN??若P點在線段點在線段上則有相似易得則有相似易得MN1MNPNMNPMhPE???MNPNhPF?1)1)若與BCBC不平行不平行(