概率論1.1

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計,第一章隨機(jī)事件及其概率,引 言,概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支.,所謂隨機(jī)現(xiàn)象，是相對于決定性現(xiàn)象而言的.,一定條件下必然發(fā)生(或出現(xiàn))某一結(jié)果的現(xiàn)象稱為決定性現(xiàn)象.,例如，在沒有外力作用下，作勻速直線運動的物體必然繼續(xù)作勻速直線運動；,又如在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100℃時必然會沸騰等等.,這些條件和結(jié)果之間存在著必然聯(lián)系的現(xiàn)象就是決定性現(xiàn)象.,在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中還廣泛存在著與決定性現(xiàn)象有著本質(zhì)區(qū)

2、別的一類現(xiàn)象，例如：,當(dāng)擲一枚硬幣時，可能出現(xiàn)正面朝上，也可能出現(xiàn)反面朝上；,每天上午8:00—9:00記錄一個電話交換臺收到用戶的呼叫次數(shù)，可能是0次，1次，2次……；,再如，同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射用同一工藝過程生產(chǎn)的炮彈； 因為炮彈制造時種種偶然因素對炮彈質(zhì)量有影響、炮筒位置有差異、空氣中氣流的變化……都影響著彈著點的位置，使彈著點在不同次發(fā)射中落在不同的位置.,這些現(xiàn)象的特點是：,（1）在基本條件不變的情況下，一系列試驗或觀察

3、會得到不同的結(jié)果. （2）每一次試驗或觀察之前，不能完全肯定會出現(xiàn)哪種結(jié)果. （3）究竟出現(xiàn)哪種結(jié)果，呈現(xiàn)出偶然性.,這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.,概率論研究隨機(jī)現(xiàn)象有其獨特的方法.,它不是企圖追索出現(xiàn)每一結(jié)果的物理因素，從而象研究確定性現(xiàn)象那樣確定無疑地預(yù)報在哪些條件下出現(xiàn)某一確定的結(jié)果，而是通過對隨機(jī)現(xiàn)象的大量觀察，揭示其規(guī)律性.,例如連續(xù)多次擲一枚硬幣，隨著投擲次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的頻率(出現(xiàn)正面的次數(shù)與投擲次數(shù)之比)逐漸穩(wěn)定于

4、1/2，從而揭示“出現(xiàn)正面”這一結(jié)果發(fā)生的可能性大小為1/2；,又如多次測量一物體的長度，其測量結(jié)果的平均值隨著測量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一個常數(shù)等等.,概率論有悠久的歷史，它的起源與賭博問題有關(guān).,16世紀(jì)，意大利的學(xué)者開始研究擲色子(骰子)等賭博中的一些簡單問題，例如比較兩個色子出現(xiàn)點數(shù)之和為9與10的可能性大小.,17世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡、費馬(P.de Fermat)及荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯基于排列組合方法，研究了一些較復(fù)雜的賭博

5、問題，他們解決了“分賭注問題”、“賭徒輸光問題”等.,隨著18、19世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展，人們注意到在某些生物、物理和社會現(xiàn)象與機(jī)會游戲之間有一種相似，從而由機(jī)會游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中，同時也大大推動了概率論本身的發(fā)展.,使概率論成為數(shù)學(xué)的一個分支的奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利(J.I.Bernoulli)，他建立了概率論中第一個極限定理，即伯努利大數(shù)定律，闡明了事件的頻率穩(wěn)定于它的概率.,隨后棣莫弗(A.de Moivre)和拉普拉

6、斯(P.S.Laplace)又導(dǎo)出了第二個基本極限定理(中心極限定理)的原始形式.,拉普拉斯在系統(tǒng)總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上寫出了《分析的概率理論》，明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有利的分析工具，將概率論推向一個新的發(fā)展階段.,19世紀(jì)末，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫、馬爾可夫、李亞普諾夫等人用分析方法建立了大數(shù)定律及中心極限定理的一般形式，科學(xué)地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布.,20世紀(jì)初受物理學(xué)的刺激，人們又開

7、始研究隨機(jī)過程.這方面柯爾莫哥洛夫、維納(N.Wiener)、馬爾可夫、辛欽、萊維及費勒(W.Feller)等人做了杰出的貢獻(xiàn).,如何定義概率，如何把概率論建立在嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)上，是概率論發(fā)展的困難所在，對這一問題的探索一直持續(xù)了三個世紀(jì).,二十世紀(jì)初完成的勒貝格測度(H.L.Lebesgue)與積分理論及隨后發(fā)展的抽象測度與積分理論，為概率公理體系的建立奠定了基礎(chǔ).,在這種背景下蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫1933年在他的《概率論基礎(chǔ)》一書

8、中第一次給出了概率的測度論式的定義和一套嚴(yán)密的公理體系.他的公理化方法成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，對近幾十年概率論的迅速發(fā)展起了積極的作用.,數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是概率論的一個姐妹學(xué)科，研究怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性質(zhì)的數(shù)據(jù)，以對所觀察的問題作出推斷和預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議.,統(tǒng)計學(xué)自古有之，例如人口統(tǒng)計、社會調(diào)查等.但它不是現(xiàn)代意義下的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)，只是數(shù)據(jù)的記錄和整理.,數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是隨著概

9、率論的發(fā)展而發(fā)展起來的.,當(dāng)人們認(rèn)識到必須把數(shù)據(jù)看成是來自一定概率分布的總體，所研究的對象是這個總體而不能局限于數(shù)據(jù)本身之日，也就是數(shù)理統(tǒng)計誕生之時.,在19世紀(jì)中葉以前已出現(xiàn)了若干重要的工作，特別是高斯(C.F.Gauss)和勒讓德關(guān)于觀測數(shù)據(jù)的誤差分析和最小二乘法.,但數(shù)理統(tǒng)計學(xué)發(fā)展成為一門成熟的學(xué)科，則是20世紀(jì)上半葉的事.,皮爾森(K.Pearson)、費希爾(R.A.Fisher)作出了重大貢獻(xiàn)，1946年，克拉默發(fā)表的《統(tǒng)計

10、學(xué)的數(shù)學(xué)方法》是第一部嚴(yán)謹(jǐn)且比較系統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計著作，可以把它作為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)進(jìn)入成熟階段的標(biāo)志.,數(shù)理統(tǒng)計學(xué)用到很多近代數(shù)學(xué)知識，但與其關(guān)系最密切的是概率論.,在很大程度上可以說概率論是數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計是概率論的一種應(yīng)用，并且補(bǔ)充和豐富了概率論.它們是兩個并列的數(shù)學(xué)分支，并無從屬關(guān)系.,目前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論與方法已廣泛的用于自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會科學(xué)及人文科學(xué)的各個領(lǐng)域.,近年來隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，它在經(jīng)濟(jì)、管理

11、、工程、技術(shù)、物理、氣象、海洋、地質(zhì)等領(lǐng)域中的作用愈益顯著.,隨著計算機(jī)的發(fā)展與普及，概率論與數(shù)理統(tǒng)計已成為處理信息、制定決策的重要理論和方法.,概率論與數(shù)理統(tǒng)計向各個領(lǐng)域滲透，產(chǎn)生了許多新的分支和邊緣科學(xué)，如生物統(tǒng)計、統(tǒng)計物理、數(shù)學(xué)地質(zhì)、教育統(tǒng)計等.,同時概率論與數(shù)理統(tǒng)計又是許多新的重要學(xué)科的基礎(chǔ)，如信息論、控制論、排隊論、預(yù)測論、可靠性理論及人工智能等.,概率論與數(shù)理統(tǒng)計，作為理論嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛、發(fā)展迅速的數(shù)學(xué)分支正日益受到人們的重

12、視并發(fā)揮著重大的作用.,第一章 隨機(jī)事件及其概率,1.1 隨機(jī)試驗、隨機(jī)事件、樣本空間,1. 必然現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象,人們在實踐活動中所遇到的現(xiàn)象，一般來說可以分為兩類：一類是必然現(xiàn)象，或稱確定性現(xiàn)象；另一類是隨機(jī)現(xiàn)象，或稱不確定性現(xiàn)象.,必然現(xiàn)象是指在相同條件下重復(fù)試驗，所得結(jié)果總是確定的現(xiàn)象；只要條件不變，試驗結(jié)果在試驗之前是可以預(yù)言的.,必然現(xiàn)象是指在相同條件下重復(fù)試驗，所得結(jié)果總是確定的現(xiàn)象.,例如：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，將純水加

13、熱到100℃,水必然沸騰； 用手向空中拋出的石子，必然下落； 作勻速直線運動的物體，如果沒有外力的作用，必然繼續(xù)作勻速直線運動等等，這些現(xiàn)象都是必然現(xiàn)象.,對這種現(xiàn)象來說，只要條件不變，試驗結(jié)果在試驗之前是可以預(yù)言的.,隨機(jī)現(xiàn)象是指在相同條件下重復(fù)試驗，所得結(jié)果不一定相同的現(xiàn)象，即試驗結(jié)果是不確定的現(xiàn)象： 對這種現(xiàn)象來說，在每次試驗之前哪一個結(jié)果發(fā)生，是無法預(yù)言的.,例如：新生嬰兒，可能是男孩，也可能是女孩； 向一個

14、目標(biāo)進(jìn)行射擊，可能命中目標(biāo)，也可能不命中目標(biāo)； 測量某個物理量，由于許多偶然因素的影響，各次測量的結(jié)果不一定相同等等，這些現(xiàn)象都是隨機(jī)現(xiàn)象.,對隨機(jī)現(xiàn)象，是否有規(guī)律可尋呢？,人們經(jīng)過長期的反復(fù)實踐，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象雖然就每次試驗結(jié)果來說，具有不確定性，但大量重復(fù)試驗，所得的結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.,例如：(1)擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，當(dāng)投擲次數(shù)很大時，就會發(fā)現(xiàn)正面和反面出現(xiàn)的次數(shù)幾乎各占1/2.,歷史上，蒲豐(Buffon) 擲過40

15、40次，得到2048次正面；皮爾遜(K.Pearson) 擲過24000次，得到12012次正面.,(2)對一個目標(biāo)進(jìn)行射擊，當(dāng)射擊次數(shù)不多時，彈孔的分布看不出有什么規(guī)律性；,但當(dāng)射擊次數(shù)非常多時，就可以發(fā)現(xiàn)彈孔的分布呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性： 彈孔關(guān)于目標(biāo)的分布略呈對稱性，且越靠近目標(biāo)的地方彈孔越密，越遠(yuǎn)離目標(biāo)的地方彈孔越稀.,,,,,x,O,y,,,,,,(3)從分子物理學(xué)的觀點來看，氣體分子對器壁的壓力是氣體分子對器壁碰撞的結(jié)果.,

16、由于分子是時刻不停地、雜亂無章地運動著地，運動的速度和軌道都是隨機(jī)的，因而氣體分子對器壁也是隨機(jī)的.,初看起來器壁所受的壓力是不穩(wěn)定的；可是實驗證明，由于分子的數(shù)目非常大，各分子運動所具有的隨機(jī)性在集體中互相抵消、互相平衡了，使得器壁所受的總壓力呈現(xiàn)一種穩(wěn)定性.分子的數(shù)目越大，壓力就越穩(wěn)定.,從上述的幾個例子可以看到，隨機(jī)現(xiàn)象也具有規(guī)律性，這種規(guī)律性可在相同條件下的大量重復(fù)試驗或觀察中呈現(xiàn)出來.這種規(guī)律性稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.,

17、概率論和數(shù)理統(tǒng)計就是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.,2 隨機(jī)試驗與事件、樣本空間,對隨機(jī)現(xiàn)象的研究，總是要進(jìn)行觀察、測量或做各種科學(xué)實驗(為了敘述方便，統(tǒng)稱為試驗).,例如，擲一枚硬幣，觀察哪面朝上；,向一個目標(biāo)進(jìn)行射擊，觀察是否命中；,從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個產(chǎn)品，檢查它是否合格；,向坐標(biāo)平面內(nèi)任投一銀針，測量此針的針尖指向與x軸正向之間的交角等等；,這些都是試驗.通過仔細(xì)的分析，可以發(fā)現(xiàn)，這些試驗具有如下的共同特點：,（a）

18、試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；,（b）試驗的所有可能的結(jié)果不止一個，而且是事先已知的；,（c）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但究竟出現(xiàn)哪一個結(jié)果，試驗之前是不能確切預(yù)言的.,如擲硬幣的例子，試驗是可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行的，試驗的可能的結(jié)果有兩個，即正面和反面；每次試驗必出現(xiàn)其中之一，但投擲之前是不可能預(yù)言正面出現(xiàn)還是反面出現(xiàn).,人們將滿足上述（a）、（ b ）、（ c ）三個條件的試驗，稱為隨機(jī)試驗，簡稱為試驗，以字母

19、E來表示.,為了研究隨機(jī)試驗，首先要知道這個試驗的所有可能的結(jié)果是哪些.,隨機(jī)試驗的每一個可能的結(jié)果稱為基本事件，也稱作樣本點，用字母e表示.,隨機(jī)試驗E的全體基本事件所構(gòu)成的集合，稱為E的的樣本空間，記為S.,在討論一個隨機(jī)試驗時，首先要明確它的樣本空間。對一個具體的試驗來說，其樣本空間可以由試驗的具體內(nèi)容確定.,下面看幾個例子.,例1 擲一枚質(zhì)量均勻?qū)ΨQ的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)情況，這是個隨機(jī)試驗.,可能的結(jié)果有兩個：正(正面朝上)，

20、反(反面朝上).,故樣本空間 S={正，反},例2 將一枚質(zhì)量均勻?qū)ΨQ的硬幣投擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)情況，這也是個隨機(jī)試驗.,可能的結(jié)果有四個： (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).,這里括號內(nèi)的第一個和第二個字，分別表示第一次和第二次擲的結(jié)果.,故樣本空間S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.,例3 記錄某電話交換臺在一段時間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，這是個隨機(jī)試驗.,它的基本事件(記錄的結(jié)果)是一個非負(fù)的

21、整數(shù)，,由于難以確定一個呼叫的上界，所以樣本空間S={0,1,2,…},例4 從一批燈泡中抽取一只燈泡，測試它的使用壽命，這是個隨機(jī)試驗.,設(shè)t表示燈泡的使用壽命，則樣本空間S={t|t≥0}.,例5 觀察某個地區(qū)一晝夜的最低溫度x和最高溫度y.,設(shè)這個地區(qū)的溫度不會小于T0也不會大于T1，則樣本空間S={(x,y):T0≤x<y≤T1}.,在試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情稱為隨機(jī)事件，簡稱為事件，以字母A，B，C，…等來

22、表示.,有了樣本空間的概念便可以用集合的語言來定義事件.,下面先從一個例子來分析.,例6 將一枚質(zhì)量均勻?qū)ΨQ的硬幣投擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)情況，這是個隨機(jī)試驗.,在這個隨機(jī)試驗中，若設(shè)A表示事件“第一次出現(xiàn)正面”.,在一次試驗中，A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)在這次試驗中出現(xiàn)基本事件(正，正)，(正，反)中的一個.,這樣可以認(rèn)為A是由(正，正)，(正，反)組成的，而將A定義為它們組成的集合A={(正，正)，(正，反)}.,又如事件B表示“兩次

23、出現(xiàn)同一面”,在一次試驗中，B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)在這次試驗中基本事件(正，正)，(反，反)中的一個出現(xiàn).,這樣可以認(rèn)為B是由(正，正)，(反，反)組成的，而將B定義為它們組成的集合B={(正，正)，(反，反)}.,類似地，事件C=“至少有一次出現(xiàn)正面”，可定義為集合,C={(正，正)，(正，反)，(反，正)}.,事件D=“第一次出現(xiàn)反面”，可定義為集合,D={(反，正)，(反，反)}.,一般地，人們將事件定義為基本事件的某個集合，即樣本

24、空間的某個子集，稱事件A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)A中的某一個基本事件出現(xiàn).,特殊事件,樣本空間S和空集Φ作為S的子集也看作事件.,由于S包含所有的基本事件，故在每次試驗中，必有一個基本事件e?S發(fā)生，即在試驗中，事件S必然發(fā)生；因此,S是必然事件.,又因在Φ中不包含任何一個基本事件，故在任何一次試驗中,Φ永遠(yuǎn)不會發(fā)生；因此,Φ是不可能事件.常用S ,Φ分別表示必然事件與不可能事件.,必然事件與不可能事件可以說不是隨機(jī)事件，但是為了研究的方便，還是

25、把它們作為隨機(jī)事件的兩個極端情形來處理.,再看幾個事件的例子,例7 在例3的“記錄某電話交換臺在一段時間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)”這個隨機(jī)試驗中，若設(shè)A=“呼叫次數(shù)不超過三次”，B=“呼叫次數(shù)大于五次”，則,A={0,1,2,3}，B={6,7,8,…}.,例8 在例4的“從一批燈泡中抽取一只燈泡，測試它的使用壽命”這個隨機(jī)試驗中，若設(shè)A=“燈泡的壽命小于五小時”則,A={t:0≤t<5}.,例9 在例5的“觀察某個地區(qū)一晝夜

26、的最低溫度和最高溫度”這個隨機(jī)試驗中，若設(shè)A=“最高溫度與最低溫度之差不超過10℃”，則,A={(x,y):y?x ≤10，T0≤x<y≤T1}.,3.事件的關(guān)系和運算,在實際問題中，往往要在同一個試驗中同時研究幾個事件以及它們之間的聯(lián)系.,詳細(xì)分析事件之間的關(guān)系，不僅可以幫助人們更深入地認(rèn)識事件的本質(zhì)，而且可以大大簡化一些復(fù)雜的事件.,在下面的敘述中，為直觀起見，用平面上的一個矩形域表示樣本空間S.,,矩形內(nèi)的每一點表示樣本

27、點e(基本事件).,在下面的敘述中，為直觀起見，用平面上的一個矩形域表示樣本空間S.,用矩形S內(nèi)的個圓表示事件A.,在下面的敘述中，為直觀起見，用平面上的一個矩形域表示樣本空間S,矩形內(nèi)的每一點e表示樣本點(基本事件)，并用矩形內(nèi)的兩個圓分別表示事件A和事件B.,1.事件的包含和相等,若事件A中的每一個樣本點都屬于事件B(圖1.1 )，,圖1.1 A ? B,則稱事件B包含事件A，,記作,A?B,或,B?A .,顯然，這時事件A發(fā)

28、生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生.,故B包含A，也常定義為：“若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，則稱B包含A”.,例如，在例6將一枚質(zhì)量均勻?qū)ΨQ的硬幣投擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)情況，這個隨機(jī)試驗中，若,設(shè)A表示事件“第一次出現(xiàn)正面”C表示事件“至少有一次出現(xiàn)正面”,由于A={(正，正)，(正，反)}C={(正，正)，(正，反)，(反，正)},故有A?C.,對任意的事件A，有Φ?A?S.,如果A?B,且B?A,則稱A與B相等,記作A=B.,2.事件的

29、積(或交),同時屬于A和B的樣本點的集合(圖1.2 )，,圖1.2 A ∩B,稱為A與B之積(或交)，,記作,A ∩ B,或,AB.,顯然，事件AB發(fā)生等價于事件A與事件B同時發(fā)生，常稱AB為A與B同時發(fā)生的事件.,在例7的“記錄某電話交換臺在一段時間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)”這個隨機(jī)試驗中，若設(shè)A=“呼叫次數(shù)不超過三次”，B=“呼叫次數(shù)大于五次”，則,由于A={0,1,2,3}，B={6,7,8,…}，從而AB=Φ.,對任

30、意的事件A，有SA=A；,若A?B，則有AB=A.,3.互不相容事件,若AB=Φ，即A與B不能同時發(fā)生(圖1.3)，,圖1.3 AB=Φ,則稱A與B為互不相容的事件(或互斥事件).,例如，在例7的“記錄某電話交換臺在一段時間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)”這個隨機(jī)試驗中，若設(shè)A=“呼叫次數(shù)不超過三次”，B=“呼叫次數(shù)大于五次”，則,由于A={0,1,2,3}，B={6,7,8,…}，從而AB=Φ，因此A與B為互不相容的事件.

31、,再如必然事件S與不可能事件Φ是互不相容的事件.,如果A1,A2,…,An中的任意兩個事件是互不相容的，則稱A1,A2,…,An是互不相容的.,如果A1,A2,…,An,…中的任意兩個事件是互不相容的，則稱A1,A2,…,An,…是互不相容的.,4.事件的和(或并),至少屬于A和B二者之一的所有樣本點組成的集合 (圖1.4)，,圖1.4 A ∪ B,稱為A與B之和(或并)，,記作,A∪B,顯然，事件A∪B發(fā)生，表示A發(fā)生或B發(fā)生或

32、A與B同時發(fā)生，即A與B中至少有一個發(fā)生.,因此，常稱A∪B為A與B中至少有一個發(fā)生的事件.,若A與B是互不相容的事件，則它們的和A∪B也記為A+B.,例如，在例6的“將一枚質(zhì)量均勻?qū)ΨQ的硬幣投擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)情況”這個隨機(jī)試驗中，若設(shè)A表示事件“第一次出現(xiàn)正面”，B表示事件“兩次出現(xiàn)同一面”，D表示事件“第一次出現(xiàn)反面”，則由于,A={(正，正)，(正，反)}B={(正，正)，(反，反)} D={(反，正)，(反，反)}故

33、有,A∪B={(正，正)，(正，反)，(反，反)},A+D={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.,5.事件的差,包含在A中而不包含在B中的所有樣本點組成的集合 (圖1.4)，,圖1.5 A -B,稱為A與B之差，,記作,A?B.,顯然，事件A?B發(fā)生，表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生.,例如，在例6的“將一枚質(zhì)量均勻?qū)ΨQ的硬幣投擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)情況”這個隨機(jī)試驗中，若設(shè)A表示事件“第一次出現(xiàn)正面”，B表示事件“兩次出

34、現(xiàn)同一面”，C表示事件“至少有一次出現(xiàn)正面”，D表示事件“第一次出現(xiàn)反面”，則由于,A={(正，正)，(正，反)}B={(正，正)，(反，反)}C={(正，正)，(正，反)，(反，正)} D={(反，正)，(反，反)}故有,A?B={(正，反)}，A?C=Φ，A?D=A.,對任意的事件A，有A?A=Φ， A?Φ=A，A?S=Φ.,6.對立事件,S與A之差S?A (圖1.6)，,圖1.6 Ac,稱為A的對立事件，,記作,Ac

35、 .,或,由定義可知，在任意一次試驗中，A與Ac不可能同時發(fā)生，但它們二者之中必然有一個發(fā)生.因而，Ac就是“A不發(fā)生”，且(Ac)c=A，即,顯然，若事件A、B滿足AB=Φ，A∪B=S，則A、B互為對立事件： B=Ac，A=Bc，即,此外，對任意兩事件A、B有：A?B=ABc即,事件的和與事件的積可以推廣到n個事件及可列無限多個事件上去.,用A1∪A2∪…∪An或,表示“A1,A2,…,An中至少有一個發(fā)生”的事件，稱之

36、為A1,A2,…,An的和.,當(dāng)A1,A2,…,An互不相容時，它們的和可以寫成A1+A2+…+An或,用,表示“A1,A2,…,An,… 中至少有一個發(fā)生”的事件，稱之為A1,A2,…,An,…的和.,用,表示“A1,A2,…,An同時發(fā)生”的事件，稱之為A1,A2,…,An的積.,用,表示“A1,A2,…,An,…同時發(fā)生”的事件，稱之為A1,A2,…,An,…的積.,上面利用集合的概念描述了事件的概念、關(guān)系及運算，為了將它們與集合

37、論中的相應(yīng)的部分對照，列表如下.,表,事件與集合的概念、關(guān)系及運算對照表,事件與集合的概念、關(guān)系及運算對照表續(xù),由于事件、事件的關(guān)系及運算與集合、集合的關(guān)系及運算是相當(dāng)?shù)模矢鶕?jù)集合的運算性質(zhì)可以推得事件的運算性質(zhì)如下：,（1）交換律: A∪B=B∪A ， AB=BA ；,（2）結(jié)合律： (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ， (AB)C=A(BC) ；,（3）分配律: (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) ， (A∩B)∪C=

38、(A∪C)∩(B∪C) ；,（4）對偶原理：(AB)c=Ac∪Bc， (A∪B)c=Ac∩Bc ；即,都發(fā)生的對立事件是至少一個不發(fā)生；至少一個發(fā)生的對立事件是都不發(fā)生.,對偶原理在事件的運算中經(jīng)常用到，它可以推廣到更多個事件的情況，即,用語言表述為：事件和的對立事件等于對立事件的積，事件積的對立事件等于對立事件的和.,例10 在檢查某種圓柱形零件時，要求它的長度和直徑都必須合格.,設(shè)A、B、C分別表示事件“直徑合格”，“長度合格

39、”，“產(chǎn)品合格”，則,(a)C?A,C?B；(b) Cc,Bc,Ac分別表示“產(chǎn)品不合格”，“長度不合格”，“直徑不合格”；(c) C=A∩B；(d) Cc=Ac∪Bc；(e) C=A?Bc.,例11 某射手向一個目標(biāo)進(jìn)行三次射擊，令,則,再看幾個事件的例子,例12 選擇題：若隨機(jī)事件A、B滿足AB =AcBc 則( ).(A) A∪B=Φ； (B) A∪B=S；(C) A∪B=A； (D) A∪B=