題目概率論

1、擲一枚硬幣，,或者,試驗目的不同時，樣本空間也會不同,記錄一臺電視機的壽命，,無限樣本空間，可列個樣本點,測量某物理量(長度、直徑等)的誤差，,某超市一天內的顧客數，,無限樣本空間，不可列個樣本點,有限樣本空間,從一批產品中每次取出一個產品進行檢驗，事件 表示第i次取到合格品(i=1,2,3),用事件的運算表示下列事件： ①三次都取到合格品; ②三次中至少有一次取到合格品; ③三次中恰有兩次取到合格品; ④三次中最多有一次取

2、到合格品。,三次中至少有一次取到合格品,三次中恰有兩次取到合格品,三次中至多有一次取得合格品,三次全部取到合格品：,解：,當n=50時，,當n=100時，,設A,B,C是三個事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。,解：設A、B、C分別表示甲、乙、丙抽到難簽。,10個考簽中有4個難簽，3人參加抽簽(不放回)，甲先，乙次，丙最后。求甲抽到難簽，甲、乙都

3、抽到難簽，甲沒抽到難簽而乙抽到難簽，甲乙丙都抽到難簽的概率。,解：用A表示“第一件是廢品”，B表示“第二件是廢品”,已知有一件是廢品，說明至少有一件廢品，即,若另一件也是廢品，則兩個都是廢品，即,10件產品中有4件廢品，不放回地連取2次，每次1件。若已知有一件是廢品，求另一件也是廢品的概率。,要求的是,因,設甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.9和0.8。求一次射擊中，目標被擊中的概率。,解：用A表示甲

4、擊中目標,B表示乙擊中目標。,目標被擊中，即至少有一人擊中，即,（因A與B獨立）,或由性質③,一名士兵用步槍射擊飛機，命中率為0.004。求：① 若250名士兵同時射擊，飛機被擊中的概率；② 多少名士兵同時射擊，才能使飛機被擊中的概率達 到99％？,解：用Ai表示第i名士兵擊中飛機，P(Ai)＝0.004,①,② 設有n名士兵同時射擊,某藥物對某病的治愈率為0.8，求10位服藥的病人中至少有6人治愈的概率。,解：設A表示至

5、少有6人治愈,＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10),正好有8人治愈的概率為,=0.302,(分賭注問題)甲、乙各下注a元，以猜硬幣方式賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。若甲贏得第一局后，賭博被迫中止，賭注該如何分？,解：,應按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注，,即在余下的四局中甲贏得2局以上即可。,甲最終獲勝的概率為,P4(2)+P4(3)+P4(4),,每局雙方獲勝的可能性均為,乙勝的概率為

6、 ，賭注應按11:5的比例分配,思考題： 甲, 乙兩人進行乒乓球比賽, 每局甲勝的概率為 問對甲而言,采用三局二勝制有利, 還是采用五局三勝制有利? 設各局勝負相互獨立。,鑰匙掉了，落在宿舍的概率為40%，這種情況下找到的概率為0.9；落在教室的概率為35%，找到概率為0.3；落在路上的概率為25%，找到概率為0.1。求找到鑰匙的概率。,解：分別用 表示鑰匙落在宿舍、教室和路上，用B 表示找

7、到鑰匙； 顯然 構成一個劃分，且,則,(抽簽的公正性)設10支簽中有4支難簽。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到難簽的概率。,解：分別用A、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。,某地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種檢測反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種檢測反應陽性的概率為0.04?，F(xiàn)抽查一人，檢測反應是陽性，問此人是癌癥患者的概率。,,解：,設A=“抽查的人患病”，B=“檢測結果為陽性”，欲求,由題意

8、知,則,貝葉斯公式中， 可稱為先驗概率，它往往是根據以往經驗，在試驗前就已確定的； 稱為后驗概率，是試驗后對各種“原因”發(fā)生的可能性大小的新見解。,例3的進一步思考：這種檢測有沒有價值？,隨機抽一人，若不做檢測，對其患癌概率的認識為 0.005；做檢測且結果為陽性，對其患病概率的認識更新為0.1066；即使檢出陽性，也不必悲觀；若對第一次檢測陽性的人做第二次檢測，結果仍為陽性，問此人患病的概率？,現(xiàn)在

9、研究對象是第一次檢測呈陽性的人，我們對其患病概率的認識已經更新為,再做一次檢測，檢測的功效依然是“患者對檢測反應呈陽性的概率為0.95，正常人對檢測反應呈陽性的概率為0.04”，即,則二次陽性的患病概率為,離散型隨機變量幾種常見分布,1. (0-1)分布,設隨機試驗只有兩個結果：A和 ，且,令,X的分布律為,則X服從(0-1)分布，或兩點分布，記為,也可寫為,在n重伯努利試驗中，每次試驗事件A發(fā)生的概率為 ,記X為n次試驗中A發(fā)

10、生的次數，則,稱X服從參數為n,p的二項分布，記為,2. 二項分布,設 ，若,求,解：,由 知,所以,由此得,3. 泊松分布,設X的概率分布為,則稱X服從參數為 （>0）的泊松分布,記為,某一城市每天發(fā)生火災的次數X 服從參數 的泊松分布, 求該城市一天內發(fā)生3次或3次以上火災的概率.,解：,泊松分布和

11、二項分布,當n很大時，計算二項分布 的概率將變得困難，為此可設法用別的方法來近似取代二項分布的計算,當p較?。ㄒ话慵s定 ）和n較大，np大小適中時，我們有近似公式,這就是著名的泊松逼近,（參看教材P32泊松定理）,稱這種隨機變量服從幾何分布,某射手連續(xù)向一目標射擊, 直到命中為止, 已知他每發(fā)命中的概率是 , 求所需射擊發(fā)數 的概率分布.,X=1表示第一次射擊命中，,解：,X=2表示第二次命

12、中，第一次未中，,X=k表示第k次命中，前k-1次未中，,因此X的分布律為,易知,,,因為 ，所以對連續(xù)型變量,,連續(xù)型隨機變量 幾種常見的連續(xù)型分布,1. 均勻分布,若隨機變量X的密度函數為,,稱X在區(qū)間 上服從均勻分布，記為,,若X服從均勻分布，則X落在 中任一子區(qū)間的概率與該子區(qū)間的長度成正比，與子區(qū)間的位置無關。粗略地講就是X取 中任一點的可能性一樣,2. 指數分布,若隨機變量X的密度函

13、數為,,稱X服從參數為 的指數分布,指數分布的無記憶性,對于任意 有,證明：,3. 正態(tài)分布,若隨機變量X的密度函數為,,其中 和 都是常數, 則稱X服從參數為 和 的正態(tài)分布. 記為,,,,正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布, 在十九世紀前葉由德國數學家高斯加以推廣, 故又稱為高斯分布.,從圖形可見，密度函數關于 對稱，,越小，分布越集中在 附近，,越大，分布就越平坦,一般來說

14、，一個隨機變量如果受到許多隨機因素的影響，而其中每一個因素都不起主導作用（作用微小），則它服從正態(tài)分布. 這是正態(tài)分布在實踐中得以廣泛應用的原因. 例如, 產品的質量指標, 元件的尺寸, 某地區(qū)成年男子的身高、體重, 測量誤差, 射擊目標的水平或垂直偏差, 信號噪聲、農作物的產量等等, 都服從或近似服從正態(tài)分布.,設某項競賽成績 ，若按參賽人數的10%發(fā)獎，問獲獎分數線應定為多少？,解：設獲獎分數線為m，則,解出m即

15、可,4. 標準正態(tài)分布,標準正態(tài)分布N(0,1)的重要性在于, 任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.,,定理：設 ，則,正態(tài)分布當 時稱為標準正態(tài)分布其密度函數常用 表示：,分布函數的性質,①單調性：若 ，則,證明：,②,③ 右連續(xù)性：,,判別下列函數是否為某隨機變量的分布函數?,,注意：右連續(xù)性要求 至多有可

16、列個間斷點， 在其間斷點上右連續(xù)。,,等可能地在數軸上的有界區(qū)間 上投點, 記X為落點的位置(數軸上的坐標) , 求隨機變量X的分布函數.,解：,欲求,當 時，事件 表示點落在 外，這是不可能事件，故 ；,當 時，事件 的概率表示點落在 的概率，故 ；,當

17、時，事件 是必然事件，故 ；,離散型隨機變量的分布函數,設離散型隨機變量X的分布律為,,則X的分布函數為,,它是一個階梯函數（右連續(xù)），在每個 處有跳躍，躍度為,設 ，求,,解：,0,,連續(xù)型隨機變量的分布函數,設連續(xù)型隨機變量X的密度函數為,則,兩點說明：,①,,,② 若 在 處連續(xù)，則,不止是右連續(xù)的，而是整

18、個數軸上的連續(xù)函數,設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為,求：A，密度函數 ,,解：,因 是連續(xù)函數，故,設X的密度函數,求 F(x).,解：,正態(tài)分布的分布函數,正態(tài)分布 的分布函數,標準正態(tài)分布 的分布函數,標準正態(tài)分布表的使用,①表中給出了 時 的數值, 當 時,利用 正態(tài)分布的對稱性, 易見有,,,,②若 則,,,③若 ，則

19、 故X的分布函數,,,,,,解：,求X的分布函數,聯(lián)合分布函數的性質,1. 是 的不減函數，即,時，,時，,2.,3. 關于 均為右連續(xù)，即,4. 非負性 對任意的,從左圖可知,具有上述四條性質的二元函數一定是某個二維隨機 向量的分布函數 性質4是二維場合特有的，但性質4不能由前三條推出,二元函數 是不是分布函數？,解：,容易證明單調性、

20、有界性、右連續(xù)性滿足,但,不滿足性質4，故 不能成為某二維隨機向量的分布函數,聯(lián)合密度函數的性質,（4）,設隨機向量 的聯(lián)合密度函數為,求：常數Ｋ；　　　落在區(qū)域G的概率；,解：,G,二維均勻分布,設G是平面上的有界區(qū)域, 面積為S。若二維隨機向量 具有聯(lián)合密度函數,,則稱 在G上服從均勻分布,,,,設隨機變量,求

21、 的聯(lián)合分布律,,設 服從二維正態(tài)分布,求其關于X、Y的邊緣密度。,解：,設二維隨機向量 的聯(lián)合密度函數為,求：,解：,時，,時，,時，,時，,即,即,關于隨機變量的獨立性，有以下兩個定理：,定理1 隨機變量X與Y相互獨立的充要條件是X所生成的任何事件與Y生成的任何事件獨立, 即對任意實數集A,B 有,,定理2 如果隨機變量X與Y相互獨立, 則對任意函數

22、 ， 和 相互獨立。,,對離散型隨機變量 ，其獨立性的定義等價于：,,對 的所有可能取值 有,,即,,對連續(xù)型隨機變量 ，其獨立性的定義等價于：,對任意的 ，,,幾乎處處成立,設X、Y的聯(lián)合密度函數為,,X、Y是否相互獨立？,解：,當 時,當 或 時,同理,不獨立,已知X,Y相互獨立，分布律為,求X-Y的分布律。,

23、X-Y的取值可以為1，2，3，4,類似可算出其它概率,X-Y的概率分布表為,解：,（分賭本問題）甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當甲贏2局、乙贏1局時，中止了賭博.問如何分賭本?,因再賭兩局必分勝負，共四種情況： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4,解：,,設X的密度函數為 ，且,,求 與 的值。,解：,,,定理 設X是一個隨機變量

24、，Y=g(X),且E(Y)存在，則,⑴若X為離散型隨機變量，分布律為,則Y的數學期望為,⑵若X為連續(xù)型隨機變量，密度函數為,則Y的數學期望為,,上述定理可推廣到二維以上的情形, 即,,,,設 的密度函數為,,求,解：,,設 的聯(lián)合分布律為,,求,解：,,設 ，試利用期望的性質求,解：,引入隨機變量,則,故,將隨機變量分解成若干個隨機變量之和，一般會使數學期望的計算變得簡單,,一輛公共汽車上共有25名乘客，每個

25、乘客都等可能地在9個車站中任一站下車，并且他們下車與否相互獨立。公共汽車只有在有人下車時才停車，求公共汽車停車次數X的數學期望。,解：引入隨機變量,第i站有人下車,第i站無人下車,易知,按題意，任一乘客在第i站不下車的概率為 ,因此25名乘客都不在第i站下車的概率為,則 的分布律為,因此,故,,設 是一個隨機變量, 稱偏差平方 的數學期望 為 的方差，記為,方差的正平方根 稱為標準差或

26、均方差,它與 具有相同的度量單位, 在實際中經常使用.,方差的定義,離散型隨機變量,連續(xù)型隨機變量,方差(標準差)刻劃了隨機變量的取值與數學期望的偏離 程度,它的大小可以衡量隨機變量取值的波動性.,,從方差(標準差)的定義易見： ① 的取值越集中,方差越小; ② 的取值越分散,方差越大。 若X的數學期望存在，其方差不一定存在；但當X 的方差存在時， 必定存在。,,利用數學期望的性質, 易得計算

27、方差的一個 簡化公式：,,設隨機變量X的數學期望 和方差 都存在，且,,,記 則,,,,,即 的數學期望為0, 方差為1； 稱為X的標準化變量,,1. 常數的方差為0，即,方差的性質,2.,3.,特別地，若X,Y相互獨立，則,注：設 兩兩相互獨立，則,,設隨機變量X和Y相互獨立，試證,,證明：,,設隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律如下,

28、,求 的協(xié)方差（02年考研題）,解： 的聯(lián)合分布律為,,故,,協(xié)方差的性質,①,②,④,⑤,⑥ 若 相互獨立，則,⑦ 隨機變量和的方差與協(xié)方差的關系：,特別地，當X,Y獨立時,,若隨機變量Y=aX+b， ,求X和Y的相關系數。,解：,故,故 時,時,,1.,相關系數的性質,表明X和Y有近似線性關系,稱X和Y正相關；,稱X和Y負相關,設X，Y的聯(lián)合分布律為,,但

29、 故X,Y不獨立,事實上, X和Y具有關系 ,Y的值完全可由X的值所確定,故,已知X的密度函數為,求cov(X,|X|),X與|X|是否相關？是否獨立？,解：,于是,，即X和|X|不相關,,但顯然兩者不獨立,1.設 ，,求 的協(xié)方差矩陣,2.設,的協(xié)方差矩陣

30、 ,求相關系數矩陣,大數定律 生產實踐中, 人們認識到大量試驗數據、測量數據的 算術平均值具有穩(wěn)定性. 大數定律敘述隨機變量序列的算術平均值的收斂性 作為特例，它解決了頻率與概率間的收斂關系問題,中心極限定理 確定在什么條件下，大量隨機變量之和的分布函數會 收斂于正態(tài)分布函數. 從理論上說明了，在客觀世界中遇到的許多隨機變量 為什么往往服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布,切比雪夫不等式

31、,另一種常用形式：,越大,即，隨機變量X集中在期望附近的可能性越大，由此可見方差刻畫了隨機變量取值的離散程度。,⑵ 當方差已知時，切比雪夫不等式給出了X與它的期望 的偏差不小于 的概率的估計式，例如,取 ，則,故對任給的分布，只要期望和方差存在，則隨機變量X 取值偏離E(X)超過3倍標準差的概率小于0.111,設電網供電站有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，假設各盞燈的開、

32、關相互獨立，試估計夜晚同時開著的燈數在6800和7200之間的概率。,解：用X表示同時開著的燈的數目，X～B(10000, 0.7),用切比雪夫不等式估計：,依概率收斂,與微積分學中收斂性的概念類似, 概率論中要考慮隨機變量序列的收斂性.,伯努利大數定律,,伯努利大數定律表明，當重復試驗次數充分大時, 事件A發(fā)生的頻率 依概率收斂于事件發(fā)生的概率p。 定理以嚴格的數學形式表達了頻率的穩(wěn)定性. 在實際應用中, 當試驗次數很大時,便可以

33、用事件發(fā)生的頻率來近似代替事件的概率。,如果事件的概率很小，則由伯努利大數定律知事件 發(fā)生的頻率也是很小的，或者說事件很少發(fā)生，即“概率很小的隨機事件在個別試驗中幾乎不會發(fā)生”， 這一原理稱為小概率原理，它的實際應用很廣泛。,但應注意到，小概率事件與不可能事件是有區(qū)別的. 在多次試驗中，小概率事件也可能發(fā)生。,辛欽大數定律,定理不要求隨機變量的方差存在; 伯努利大數定律是辛欽大數定律的特殊情況;,辛欽大數定律為尋找隨機變量的

34、期望值提供了一條實際可行的途徑。例如, 要估計某地區(qū)的平均畝產量, 可收割某些有代表性的地塊, 如n塊,計算其平均畝產量, 則當n較大時,可用它作為整個地區(qū)平均畝產量的一個估計。此類做法在實際應用中具有重要意義。,中心極限定理,實際問題中, 許多隨機現(xiàn)象是由大量相互獨立的隨機因素綜合影響所形成, 其中每一個因素在總影響中所起的作用是微小的，這類隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布。以一門大炮的射程為例, 影響大炮的射程的隨機因素包

35、括: 大炮炮身結構的制造導致的誤差, 炮彈及炮彈內炸藥在質量上的誤差, 瞄準時的誤差, 受風速、風向的干擾而造成的誤差等。其中每一種誤差造成的影響在總的影響中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互獨立的, 人們關心的是這眾多誤差因素對大炮射程所造成的總影響。因此需要討論大量獨立隨機變量和的問題.,中心極限定理回答了大量獨立隨機變量和的近似分布問題, 其結論表明: 當一個量受許多隨機因素(主導因素除外) 的共同影響而隨機取值, 則它的分

36、布就近似服從正態(tài)分布。,該定理表明:,,,只假設 獨立同分布、方差存在，不管原來的分布是什么，只要n充分大，就可以用正態(tài)分布去逼近隨機變量和的分布。,將林德伯格-勒維極限定理用于重復伯努利試驗場合，可得：,顯然棣莫佛—拉普拉斯定理是林德伯格—勒維定理的一個特例。 它還說明，二項分布的極限分布是正態(tài)分布。,某大型商場每天接待顧客10000人，設某位顧客的消費額(元)服從[100,1000]上的均勻分布，且顧客的消費額是獨立的

37、，試求該商場的銷售額超過600萬的概率。,解：設第i位顧客消費 元，商場銷售額為X,由林德伯格-勒維極限定理,對于一個學校而言, 來參加家長會的家長人數是一個隨機變量, 設一個學生無家長、1名家長、 2名家長來參加會議的概率分別0.05, 0.8, 0.15。若學校共有400名學生, 設各學生參加會議的家長數相互獨立, 且服從同一分布.(1)求參加會議的家長數超過450的概率;(2)求有1名家長來參加會議的學生數不多于34

38、0的概率.,解：（1）設第i位學生的家長數為,參加會議的家長總數為X，則,相互獨立,欲求,（2）引入隨機變量,有1名家長來參加會議的學生數為Y，則,欲求,設我們獲得了如下三個樣本：樣本A: 3,4,5,6,7；樣本B: 1,3,5,7,9； 樣本C: 1,5,9,① 如果將它們畫在數軸上，明顯可見它們的“分散程度” 不同：樣本A在這三個樣本中比較密集，而樣本C比較 分散。,③ 由于樣本方差的量綱與樣本的量綱不同，故常用樣

39、本 標準差表示分散程度，即,同樣有,則順序統(tǒng)計量與極差的觀測值為,,,,,,,分布的概率密度為：,,其中 為Gamma函數，,卡方分布是只取非負值的偏態(tài)分布。當自由度n增大時，卡方分布密度函數的圖形逐漸接近于正態(tài)分布的密度曲線,分布的性質,設 是來自總體 的樣本, 又設,,,,試求常數C, 使CY服從卡方分布。,解：,同樣可得,且 與

40、 相互獨立,于是,定理1：,t 分布,t 分布的密度函數：,,,定義2 設 且 與 相互獨立，則稱,服從自由度為n的 t 分布，記為,,1. 的圖形關于縱軸對稱，且,,,2. 當n充分大時，t分布近似于標準正態(tài)分布。 一般,時，t分布可用 近似。,t 分布的性質,分布的分位數,設 對給定的實數

41、 稱滿足條件,的點 為 分布的上(側) 分位點,由密度函數 的對稱性，知,設 是來自正態(tài)總體 的一個樣本，證明,證明：,而,與 相互獨立,定理2：,F 分布,F 分布的密度函數：,,定義3 設 且 與 相互獨立，則稱,服從自由度為m與n的F分布，記為,F分布的性質,1. 若 則,2

42、. 若 則,設總體X服從標準正態(tài)分布, 是來自總體X的一個樣本, 試問統(tǒng)計量,,服從何種分布?,解：,且兩者相互獨立,定理4及推論：,,,,估計量 是一個隨機變量, 是樣本的函數，即是一個統(tǒng)計量;對不同的樣本值, 的估計值 一般是不同的.,,因為由大數定律知, 當總體的k階矩存在時,樣本的k階矩依概率收斂于總體的k階矩,用矩法估計事件

43、發(fā)生的概率p,解：,設 為一組樣本,其中m為事件發(fā)生次數,即可用事件發(fā)生的頻率來估計概率,設總體X在[a,b]上服從均勻分布，a,b未知. 是來自X的樣本, 試求a,b的矩估計量.,,解：,令,解出,設總體X的密度函數為,,其中 是未知參數， 是取自X的樣本, 求參數 的矩估計.,,,解：,

44、令,解出,設總體X的密度函數為,是取自X的樣本, 求參數 的矩估計.,解：,令,解出,另外,令,解出,這說明矩估計可能不唯一，通常應盡量用低階矩來給出未知參數的估計,最大似然估計,,某同學與一位獵人一起去打獵,一只野兔從前方竄過, 只聽一聲槍響, 野兔應聲倒下, 試猜測是誰打中的?,由于只發(fā)一槍便打中,而獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率, 故猜測這一槍是獵人射中的.,,,最大似然估計法的思想: 在已經得到實驗結果的情況下

45、, 應該尋找使這個結果出現(xiàn)的可能性最大的那個 作為 的估計 .,下面分別就離散型總體和連續(xù)型總體情形作具體討論.,,,,,似然函數 的值的大小意味著該樣本值出現(xiàn)的可能性大小，在已得到樣本值 的情況下, 應該選擇使 達到最大值的那個 作為 的估計 . 這種求點估計的方法稱為最大似然估計法（MLE）.,用最大似然法估計事件發(fā)生的概率p,解：,設 為一組樣本

46、,取對數得,求駐點，令,解出,這是唯一可能的極值點，也是最大值點,即由最大似然法，可以由頻率估計概率。,設總體X的密度函數為,,若有一組樣本,16，29，50，68，100，130，140，270，280，340，410，450，520，620，190，210，800，1100,求參數 的最大似然估計。,解：用 表示樣本觀測值,,解出,§2 估計量的評選標準,,對同一參數 ,可以用不同的方法