物理競賽電磁學習題講解

1、電磁學典型習題講解,例: 求電偶極子在其中垂線上和電偶極子軸線延長線上某點的電場強度.,電偶極子:一對等量異號電荷相距一定距離形成電偶極子,解:先計算電偶極子軸線延長線上某點的電場強度.,如上圖所示:令電偶極子軸線的中點O到場點A的距離為r(r>>L),由點電荷場強公式,有:,則A點的合場強為:,電偶極子軸線延長線上某點的場強,如右下圖所示:令電偶極子中點O到中垂線上的場點B的距離為r(r>>L),由點電荷場

2、強公式,有:,電偶極子中垂線上某點的場強,解：均勻帶電球體的電場也具有球?qū)ΨQ性,即同一球面上場強相等,方向沿徑向。故選取同心的球面為高斯面。,練習題：-----割補法證明：電荷體密度為?的均勻帶電球體中挖 出一個球形空洞內(nèi)的電場為均勻場。,證明：如圖所示，由高斯定理可求，均勻帶電球體內(nèi)任一點的場強為：,球體無洞時：,洞位置帶-?的球體內(nèi)：,練習題：電荷體密度為?的無限長圓柱體，其中有一個圓柱孔，試求孔中任

3、意點的電場。,解：如圖所示，由高斯定理可知：均勻帶電圓柱體內(nèi)任一點的場強為：,帶?的大圓柱體在空腔內(nèi)任意點產(chǎn)生的電場為：,帶-?的小圓柱體在空腔內(nèi)任意點產(chǎn)生的電場為：,例 有一外半徑 和內(nèi)半徑 的金屬球殼，在球殼內(nèi)放一半徑 的同心金屬球，若使球殼和金屬球均帶有 的正電荷，

4、問 兩球體上的電荷如何分布？球心的電勢為多少？,解 根據(jù)靜電平衡的條件求電荷分布,作球形高斯面,,作球形高斯面,根據(jù)靜電平衡條件,,,例2、 兩個大帶電導體平面A 、B平行放置，板面積為S，現(xiàn)給A板帶電QA ，B板帶電QB ， 且QA > QB >0. 求靜電平衡時,金屬板上的電荷分布和周圍空間的電場分布(忽略邊緣效應). 如果金屬板B接地,情況又是如何?,解：靜電平衡后，導體內(nèi)部無凈電荷,電荷只能分布于導體表面.設(shè)金屬

5、板各面所帶電荷面密度如圖所示:,同理：,（1）由電荷守恒得：,解得：,可見金屬板A,B相背的兩面帶等量的同號電荷,相對的兩面帶等量的異號電荷.,金屬板A的左側(cè)的場強為:,金屬板A,B之間的場強為:,金屬板B右側(cè)的場強為:,如果將金屬板B接地,由于金屬板A帶正電荷,所以金屬板B只帶負電荷,而正電荷都流入大地.即:,與前面一樣的解題思路,有:,電荷守恒：,,單位長度的電容,解 設(shè)兩金屬線的電荷線密度為,例 兩半徑為 的平行長直導線中心間

6、距為 ，且 , 求單位長度的電容 .,例： 一平行平板電容器充滿兩層厚度各為 和 的電介質(zhì)，它們的電容率分別為 和 , 極板面積為 .當極板上的自由電荷面密度的值為 時，求；（1）各電介質(zhì)內(nèi)的電位移和場強. （2）電容器的電容,解（1）設(shè)這兩層電介質(zhì)中的場強和電位移矢量分別為E1,E2;D1,D2.由高斯面S1可知：,由高斯面S2可知：,（2）

7、：板間電勢差為：,電容器電容為：,例4 （1）計算：帶電量為Q，半徑為R的孤立導 體球的靜電能.（球外真空） （2）在多大半徑的球面內(nèi)所儲存的能量 為總能量的一半？,解（1）由高斯定理得,（2）設(shè)離球心R0遠的空間范圍內(nèi)所儲存的 能量是總能量的一半，即：,可見：電場越強的地方，電場能量密度越大；相同的體積中儲存

8、的能量也就越多。,例題: 證明轉(zhuǎn)動帶電圓盤的磁矩 。,解：,等效圓電流：,寫成矢量式：,如右圖：,I3對環(huán)路上各點的磁感應強度有貢獻嗎？,I3對圖中磁感應強度的環(huán)路積分有貢獻嗎？,前者沒有貢獻，后者有貢獻,例：同軸電纜的內(nèi)導體圓柱半徑為R1，外導體圓筒內(nèi)外半徑分別為R2、 R3，電纜載有電流I，求磁場的分布。,解：同軸電纜的電流分布具有軸對稱性在電纜各區(qū)域中磁力線是以電纜軸線為對稱軸的同心圓。,r < R1時, 取沿半徑 r 的

9、磁感應線為環(huán)路,,R1< r < R2 , 同理,,,,,,,R2,R3,,I,,,,,R1,,,,I,r,,,R2< r < R3 ,,,,,,,,R2,R3,,I,,,,,R1,,,,I,r,,,r > R3 ,,B = 0,結(jié)論: 均勻磁場中，任意形狀剛性閉合平面通電線圈所受的力和力矩為：,磁矩：,穩(wěn)定平衡,不穩(wěn)定平衡,1） 方向與 相同,2）方向相反,3）方向垂直,力矩最大,解：建立

10、如圖所示的坐標系,x,例題：一矩形線圈處在無限長載流直導線的磁場中，線圈平面和直導線共面，且一邊與直導線平行，相關(guān)參數(shù)如圖。線圈匝數(shù)為N，試求（1）：電流I1在線圈平面的磁通量和對線圈的磁力；（2）：當線圈從d1平移到d2的過程中，磁力對線圈所作的功。,,,,,,,,,,,,,,,,解：如圖建立坐標，取寬為dx的面積元，則通過該面積元的磁通量為：,整個線圈的磁通量為：,,,,,上下兩邊所受磁力相互抵消，左右兩邊所受磁力不等，整個線圈所受

11、的合力為：,,,,,,,,,,,,,由上式可知，線圈所受的合力為一個變力，一般情況下，當線圈左邊距離長直導線的距離為x時，線圈所受的合力為：,相應的元功為：,當線圈從d1平移到d2的過程中，磁力對線圈所作的功為：,,,,,,,,,,,,,也可以利用磁力作功的公式直接求解：,當線圈從d1平移到d2的過程中，磁力對線圈所作的功為：,,線圈在d1位置時的磁通量為：,線圈在d2位置時的磁通量為：,例題：一導線ab與長直導線AB共面且相互垂直，當

12、ab以速度V平行于電流方向運動時，求它產(chǎn)生的動生電動勢。相關(guān)參數(shù)如圖。,解：一、以定義法求解,以a到b為積分路徑。如圖建立坐標。取微元dx，有：,整個導線上的電動勢為：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解：二、由法拉第感應定律求解。如圖建立閉合回路。設(shè)想ab邊與另一部分假想的固定軌道bcda構(gòu)成回路，設(shè)回路方向為abcda，開始時刻ab邊與cd邊重合。則任意時刻，穿過回路的磁通量為：,所以感應電動勢為：,,,,,,,,,負號表示感

13、應電動勢方向與規(guī)定的回路方向相反，即沿adcba方向。a為高電勢點。,設(shè)螺線管通有電流I，管內(nèi)磁感應強度,通過每匝線圈的磁通量,通過整個螺線管的磁鏈,所以螺線管的自感系數(shù),例1、有一長度為l的長直螺線管，單位長度的匝數(shù)為n，截面積為S，其中充滿磁導率為 的磁介質(zhì)。試求該螺線管的自感系數(shù)。,長直螺線管的自感系數(shù)：,例2. 如圖，計算無限長直導線與一矩形線圈共面，參數(shù)如圖。求二者的互感系數(shù)和線圈中產(chǎn)生的互感電動勢。,由直導線產(chǎn)生

14、穿過線圈的磁通量為：,互感系數(shù)為：,,,,,,,,,,,,,,,,線圈中產(chǎn)生的互感電動勢為：,例1 有一圓形平行平板電容器, .現(xiàn)對其充電,板間電場強度以, 的變化率增加，兩板間為真空，略去邊緣效應, 求（1）兩極板間的位移電流;（2）兩極板間離開軸線的距離為r 處的磁感應強度 .,解（1）：,（2）：電容器兩極板間