高等數學緒論 (1)

1、高等數學緒論,,1/30,,主講：凌巍煒,高等數學,江西應用技術職業(yè)學院 數學教研室 制作,一道有意義的計算題！,如果令 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V 

2、;W X Y Z 分別等于百分之         1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3、 19 20 21 22 23 24 25 26 那么  Hard work （努力工作） 　　  H+A+R+D+W+O+R+K= 8+1+18+4+23+15+18+11 = 98% 　　  Knowledge（知識） 

4、;　　 K+N+O+W+L+E+D+G+E = 11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96%  　　 Love（愛情） 　　 L+O+V+E = 12+15+22+5 = 54% 　　 Luck（好運） 　　 L+U+C+K = 12+21+3+11 = 47%     

5、   什么能使得生活變得圓滿？ 　             是  Money（金錢）嗎? ... 　    M+O+N+E+Y = 13+15+14+5+25 = 

6、;72% 　     是  Leadership（領導能力）嗎? ... 　    L+E+A+D+E+R+S+H+I+P = 12+5+1+4+5+18+19+9+16 = 89%        &#

7、160; 那么，什么能使生活變成100%的圓滿呢？       ATTITUDE（心態(tài)）        A+T+T+I+T+U+D+E  = 1+20+20+9+20+21+4+5 = 100%,,3/30,,（老）教練說：,訓練從今天開始，訓練場上沒有更多的安慰，訓練場

8、上不存在風和日麗，訓練場上摔破頭皮還要被申斥。,朋友語：,既來之則安之；抱怨解決不了任何問題；是金子總會發(fā)光。,態(tài)度決定一切?。?！,,2/30,,學習要求,1、調整狀態(tài)，適應新環(huán)境,自由時間多；上課時間長、進度快；自我管理…,2、注意學習方法,預習：重點、難點、疑點心中有數，培養(yǎng)自學能力,聽課：積極、主動思考,記筆記：重點、疑點、應注意的問題,,4/30,,復習：1）鉆進去，找問題；2）鉆出來，理頭緒,做作業(yè)：“眼過十遍不如手過一

9、遍”,答疑：相互交流的好時機,不搞題海戰(zhàn)術，要多思考，領悟精神實質 猶如練拳與練功,總評成績：平時30%考試70%（期中30%，期末70%）,,5/30,,學習要求,、數學是什么？,蜂巢：由一個個正六邊形組成。為什么？,因為蜜蜂懂得:只有這樣才能用最少的建筑材料營造最大的居住空間。,一條柔軟的繩子兩端固定，使其自然下垂，這條繩子形成什么樣的曲線？,為什么？,因為只有這樣才能使繩子的總位能最小，從而使繩子最穩(wěn)定！,,懸鏈

10、線,光的傳播：,反射定律：,折射定律：,為什么？,因為光懂得:只有這樣才能使傳播時的用時最少！,數學是什么？,（1）上帝是按數學的法則創(chuàng)造世界的， 數學的規(guī)律是宇宙格局的精髓， 數學是開啟宇宙奧妙之門的鑰匙。,（2）數學是一種語言，是一切科學的共同語言 伽利略：“展現在我們眼前的宇宙像一本用數學語言寫成的大書，如不掌握數學符號語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也看不清?！?愛因

11、斯坦在研究廣義相對論時遇到了難題，他求助于研究數學的朋友格洛斯曼，后者將黎曼關于彎曲空間的研究工作告訴了他，才使廣義相對論的研究得以繼續(xù)。,（3）數學是一種工具、一種思維的工具 諾貝爾化學獎獲得者哈特曼的晶體結構研究：… 哈特曼在獲得諾貝爾獎后說過：“其實我這一生只學過一門化學，那就是大學一年級時所學的的化學?！?然而哈特曼卻用數學解決了困擾許多化學家40多年的難題！ 諾貝爾經濟學獎獲得者阿洛的一般均衡模型：…

12、 哈佛大學的一位數學教授看了阿洛的論文后說：“他用的數學很基本，我們哈佛一年級的學生就能完成…”。 然而阿洛用的是什么樣的數學這一點并不重要，重要的是他將數學與經濟學成功的相結合，用數學建立了重要的經濟學模型！,從公元前3世紀Euclid的《幾何原本》起到17世紀，稱為初等數學時期。又稱常量數學時期。主要研究對象： 1.勻速的運動（速度不變）；2.勻加速的運動（速度均勻變化） ；3.直邊圖形（不彎曲）； 4.圓弧邊

13、圖形（均勻彎曲）；5.有限次四則運算。兩大分支： 1.幾何學； 2.代數學。,二、什么是高等數學？,變量數學和近代數學時期：,偉大功績：實現了幾何與代數間的一一對應。,1. 點(幾何基本元素)與有序數組(代數基本元素),（靜態(tài)對應）,2. 動點的軌跡(幾何基本元素)與二元方程(代數基本元素),（動態(tài)對應）,法國數學家Descartes引進了直角坐標系。,Newton和Leibniz各自獨立的創(chuàng)造了微積分,Newton應用微積分的

14、方法證明了,的一一對應。,的一一對應。,Kepler行星運動三定律：1.行星以橢圓軌道繞太陽旋轉，太陽在橢圓的一個焦點上。2.在相同的時間里，行星的向徑掃過相同的面積.3.行星公轉周期的平方與橢圓軌道長半軸的立方比是常數.Newton進一步指出：這些定律是能量守恒、角動能守恒的具體表現形式。 Leibniz德國數學家,實現了微積分內容與形式的完美統(tǒng)一。微積分的方法迅速的在天文學、力學、物理學和工程技術中被廣泛應用。,高等數

15、學,以微積分為主要內容的學科,微分學,積分學,無窮級 數,微分方程,一元函數微分學,多元函數微分學,一元函數積分學,多元函數積分學,,,,,,,,,高等數學,空間解析幾何與向量代數,,同濟版的教材的基本結構,微積分的基本方法：微元分析法,例1 Galileo通過實驗 確立了,自由落體運動規(guī)律：,問：在時刻 t 時，落體的速度v(t)是什么？,時間：,路程：,三、微積分的基本思想和方法,速度：,非勻速問題,勻速問題,近似解,平均速度：

16、,例2 計算由 y=0 , x=1 ,,所圍成的曲邊形的面積。,,將區(qū)間[0,1] n 等分，,用小矩形面積之和代替曲邊形的面積,曲邊問題,直邊問題,近似解,極限概念是微積分的“源”！,初等數學與高等數學的區(qū)別：,初等數學主要采用形式邏輯的方法，靜止地、孤立地、一個一個問題進行研究；高等數學卻不然，它不是個別地討論問題，而是普遍地解決問題。,,9/30,,小結：高數思想,問題1：求變速直線運動的瞬時速度（微觀）,勻速直線運動：

17、,問題2：求變速直線運動的位移問題（宏觀）,勻速直線運動：,S=vt,導數微分,積分,在微小局部“以勻代非勻”，將問題轉化為勻速，求得近似值，通過求極限轉化為精確值,,10/30,,四、學習數學的重要性,1、名人名言,,英國哲學家培根：數學是打開科學大門的鑰匙,馬克思：一種科學，只有當它成功地運用數學時， 才能達到真正完善的地步。,前美國國家數學教育開發(fā)部主任戴維：

18、 高科技實質是數學技術。,,11/30,,一個國家的科學進步可以用它消耗的數學來衡量,四大數學家,阿基米德 古希臘前287--前212,牛 頓 英 國1642--1727,歐 拉 瑞 士1707--1783,高 斯 德 國1777--1855,英國詩人亞歷山大?鮑勃為牛頓逝世撰寫的墓志銘,自然與自然的法則潛藏在黑暗中：上帝說，把牛頓造出來吧！于是一切都變得光明。,,12/30

19、,,2、學習高等數學（微積分）的兩種用途,微積分對許多工程技術的重要性就象望遠鏡之于天文學，顯微鏡之于生物學一樣,微積分是學好其它理工課程（如大學物理、力學、電工基礎、經濟學等）的基礎，也是學好專業(yè)課的工具（自動化專業(yè)的同學曾說“到后來大家拼的是數學”）,（1）工具——后續(xù)課程、考研,,13/30,,（2）素質教育,數學除了鍛煉敏銳的理解力，發(fā)現真理外，它還有另一個訓練全面考查科學系統(tǒng)的頭腦的開發(fā)功能。,培養(yǎng)科學素質和理性思

20、維,歸納思維、類比思維、發(fā)散思維、逆向思維,,14/30,,,五、學點數學史,1、數學萌芽時期（從遠古——公元前五世紀）,算術、幾何形成時期——尚未完整、嚴格，缺乏邏輯性,,2、常量（初等）數學時期（公元前五世紀—— 17世紀中葉）,算術、初等幾何、初等代數、三角學都成為分支,3、變量（高等）數學時期（ 17

21、世紀中葉—— 19世紀中葉）,變量、函數,解析幾何、微積分、概率論、射影幾何,,15/30,,,4、近代數學時期（ 19世紀中葉——二次大戰(zhàn)）,非歐幾何、抽象代數、復變、集合論、微分方程、微分幾何、點集拓撲 …,5、現代數學時期（ 20世紀40年代以來）,原子能應用、計算機的發(fā)明、空間技術的興起、廣義函數

22、論、微分拓撲、模糊數學、計算數學…,,16/30,,恩格斯：在一切理論成就中未必再有什么象17世紀下半葉微積分學的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了。只有微積分學才能使自然科學有可能用數學來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程運動。,,17/30,,六、數學具有三個顯著的特點,1、高度的抽象性,（1）1是什么？,（2）處處稠密而又并不連續(xù)的有理數,（3）處處稠密而又并處處連續(xù)的實數,（4）[0，1]分成若干份，每一份有無窮多個實數,（

23、5）n維空間,（6）5.1207×10 位的自然數,,18/30,,2、嚴謹的邏輯性,嚴格性對于數學家，就如道德之對于人,3、廣泛的應用性,華羅庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速、 化工之巧、地球之變、生物之謎、 日用之繁，無處不用數學。,,19/30,,七、數學史中的三次數學危機,1、第一次數學危機與無理數的發(fā)現,發(fā)生在古希臘時期，畢達哥拉斯學派,基本信條：宇宙間的一切現象都能歸結為

24、 整數或整數比,希伯索斯發(fā)現等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比 （正方形對角線與一邊之比）不能用 所謂的整數比來表示。,限制了代數，強調幾何。把代數與幾何看成不相干,,20/30,,2、第二次數學危機與極限理論,發(fā)生在微積分建立的開初階段,微分：求曲線上某一點的切線斜率（的研究）積分：起源于求曲線所包圍的面積的研究（先）,數學方法的主要基

25、礎：無窮小分析,達郎貝爾（法國，1717——1783）柯西（法國，1789——1857）,極限的方法,,25/30,,3、第三次數學危機與集合論,將薩維爾村上有刮臉習慣的所有人分成兩類，一類是自己給自己刮臉的人，另一類是自己不給自己刮臉的人。該村有一個有刮臉習慣的理發(fā)師給自己規(guī)定：“給而且只給村子里那些自己不給自己刮臉的人刮臉?！痹噯枺骸斑@個理發(fā)師屬于上述兩類人中的哪一類？”（這理發(fā)師自己給自己刮不刮臉？）,,27/30,

26、,形容詞“短的”是短的。 形容詞“中文的”是中文的。 形容詞“多音節(jié)的”是多音節(jié)的。 （這三個例子稱為屬于第一類的）,問：形容詞“屬于第二類的” 是屬于第一類的形容詞還是屬于第二類的形容詞？,“長的”不是長的形容詞。 “英文的”不是英文的形容詞。 “單音節(jié)的”不是單音節(jié)的形容詞。 （這后三個例子稱為屬于第二類的）,,28/30,,羅素悖論只涉及幾個最重要的集合論概念：,集合、元

27、素、屬于、一個基本的集合論原則——概括原則,涉及到一向被認為極為嚴謹的兩門科學：,數學與邏輯學,拓撲學權威布勞威爾（Brorwer）—— 自己過去的工作全部是廢話,,29/30,,4、數學危機的實質,（1） 導致三次數學基礎危機的根本原因 都在于認識上的片面性和絕對化,（2） 數學基礎危機只是一種認識上的危機 而并非數學本身的危機,促進數學理論進