中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座及練習(xí)（第43講）根與

1、第四十三講第四十三講根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，那么反過(guò)來(lái)，如果x1，x2滿足x1x2=p，x1x2=q，則x1，x2是一元二次方程x2pxq=0的兩個(gè)根一元二次方程的韋達(dá)定理，揭示了根與系數(shù)的一種必然聯(lián)系利用這個(gè)關(guān)系，我們可以解決諸如已知一根求另一根、求根的代數(shù)式的值、構(gòu)造方程、證明等式和不等式等問(wèn)題，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)有用的工具1已知一個(gè)根，求另一個(gè)根已

2、知一個(gè)根，求另一個(gè)根利用韋達(dá)定理，我們可以通過(guò)方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根例1方程(1998x)219971999x1=0的大根為a，方程x2＋1998x1999=0的小根為b，求ab的值解先求出a，b由觀察知，1是方程(1998x)219971999x1=0的根，于是由韋達(dá)又從觀察知，1也是方程x2＋1998x1999=0的根，此方程的另一根為1999，從而b=1999所以ab=1(1999)=2000例2設(shè)a是給定的非零實(shí)數(shù)，解方程(

3、4)α3β3=(αβ)(α2αββ2)=(αβ)[(αβ)2αβ]例4設(shè)方程4x22x3=0的兩個(gè)根是α和β，求4α2＋2β的值解因?yàn)棣潦欠匠?x22x3=0的根，所以4α22α3＝0，即4α2=2α＋34α22β=2α32β=2(αβ)3=4例5已知α，β分別是方程x2＋x1=0的兩個(gè)根，求2α55β3的值解由于α，β分別是方程x2＋x1=0的根，所以α2α1=0，β2β1=0，即α2=1α，β2=1βα5=(α2)2α=(1α)2α