排列組合76093

1、1排列組合的一般解法舉例排列組合的一般解法舉例排列、組合問題的思考方法和解題方法都具有概念性強(qiáng)、靈活性強(qiáng)、思維方法新穎等特點(diǎn)解題過程極易犯“重復(fù)”或“遺漏”的錯(cuò)誤并且數(shù)目較大無法一一檢驗(yàn)因此給同學(xué)們學(xué)習(xí)帶來一定困難.解決這類問題的關(guān)鍵是加深對(duì)概念的理解掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別注重知識(shí)點(diǎn)的整理使之系統(tǒng)化和條理化并注重相應(yīng)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法應(yīng)用.一2個(gè)原理個(gè)原理2個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān)一個(gè)與分步有關(guān).如果完成一件事有n類辦法這n類辦

2、法彼此之間是相互獨(dú)立的無論哪一類辦法中哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事求完成這件事的方法種數(shù)則用分類計(jì)數(shù)原理如果完成一件事需要n個(gè)步驟缺一不可而完成每一步各有若干種不同方法求完成這件事的方法種數(shù)則用分步計(jì)數(shù)原理.在利用分步計(jì)數(shù)原理時(shí)可借助于“樹圖“來直觀的理解題意幫助解題.例15個(gè)人排成一排其中甲不在排頭乙不在排尾不同的排法有種.由題意可先安排甲并按其分類討論:1)若甲在末位剩下4人可自由排有種排法44A2)若甲在第2、3、4四位上則有種排

3、法由分類計(jì)數(shù)原理排法共有131333AAA=78種.13133344AAAA?二3種途徑種途徑1)以元素為主以元素為主先滿足特殊元素要求先滿足特殊元素要求再考慮其他元素對(duì)于帶有特殊元素的排列組合問題再考慮其他元素對(duì)于帶有特殊元素的排列組合問題一般應(yīng)先考慮特殊元素一般應(yīng)先考慮特殊元素再考慮其他元素再考慮其他元素.例2用02345這5個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)其中偶數(shù)共有個(gè).由于該三位數(shù)為偶數(shù)故末位數(shù)字必為偶數(shù)又因?yàn)?不能排首位故0就是

4、其中的“特殊”元素應(yīng)該優(yōu)先安排按0排在末位和0不排在末位分2類:1)0排末位時(shí)有個(gè)24A2)0不排在末位時(shí)則有個(gè)由分類計(jì)數(shù)原理共有個(gè).131312AAA3013131224??AAAA2)以位置為主以位置為主先滿足特殊位置要求先滿足特殊位置要求再考慮其他位置再考慮其他位置例3由012345可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù)由于末位和首位有特殊要求應(yīng)該優(yōu)先安排以免不合要求的元素占了這2個(gè)位置先排末位共有然后排首位共有最后排其他位置共有由分

5、步計(jì)數(shù)原理得13C14C34A288341413?ACC位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法若以元素分析為主需先安排特殊元素再處理其他元素.若以位置分析為主需先滿足特殊位置的要求再處理其他位置.若有多個(gè)約束條件往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其他條件.3“小整體”與其余2人共3個(gè)元素全排列有33A種方法它的內(nèi)部甲、乙2人有種站法中間選的3人也有種排法故符合要求的站法22A33A共有=720種.3322333

6、5AAAC5)順序固定問題用順序固定問題用“除法除法”對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同排列然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù).例96個(gè)人排隊(duì)甲、乙、丙3人按“甲2乙2丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種不考慮附加條件排隊(duì)方法有A66種而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件.故符合條件的排法有=120種.66A33A6)構(gòu)造模型構(gòu)造模型“隔板法隔板法”對(duì)于較復(fù)雜的排列問題可通過設(shè)計(jì)另一情景構(gòu)造一個(gè)隔板模

7、型來解決問題.例10方程abcd=12有多少組正整數(shù)解建立隔板模型:將12個(gè)完全相同的球排成一列在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板把球分成4堆而每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目即為abcd的一組正整解故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有=165.311C7)分排問題分排問題“直排法直排法”把幾個(gè)元素排成前后若干排的排列問題若沒有其他的特殊要求可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理.例117個(gè)人坐2排座位第1排坐3個(gè)人第2排坐4個(gè)人則不同的坐

8、法有多少種7個(gè)人可以在前2排隨意就坐再無其他條件故2排可看作1排來處理不同的坐法共有種.77A8)圓桌問題圓桌問題“公式法公式法”個(gè)元素任一環(huán)狀排列可看作個(gè)線狀排列故個(gè)元素的環(huán)狀排列數(shù)有種nnn??!1?n例126個(gè)人圍圓桌就餐一共有多少種座法解析6個(gè)圍桌坐與6個(gè)人坐成一排不同點(diǎn)在于坐成一個(gè)圓形沒有首尾之分為此可把某人固定一個(gè)位其余5人盡量變換次序圍桌而坐其余5人此時(shí)可全排為這種把環(huán)狀!5排列變成了線狀排列因此所求坐法為（61）！=5！