空間向量56002

1、1空間向量空間向量一、空間向量的加法和減法：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則三角形法則即：在空間任??1取一點(diǎn)，作，，則?a?A??????b????????ab?A????????求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已??2?知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對(duì)角線就是a?b?C?A??C?????與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則平行四邊形法則a?b?二、實(shí)數(shù)與空間

2、向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)?a?a??時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，0??a??a?0??a??a?0??為零向量，記為的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍a??0?a??a??三、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向共線向量或平行向量量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線四、向量共線充要條件向量共線充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使a???0bb???ab??

3、?ab????五、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量共面向量六、向量共面定理向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，，使；或?qū)?CA?xyxyCA??A??A????????????間任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，，，共面，則?xyC????A?A??A?????????????????A?C??1xyzCxyz????A????????????????????????七、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，，則稱為

4、向量，的夾角，記作a?b??a?A??????b?????????A??a?b?兩個(gè)向量夾角的取值范圍兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：ab??????0ab??????八、對(duì)于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作a?b?2ab??????a?b?ab???九、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積數(shù)量積，記作即零向量a?b?cosabab??????a?b?ab???cosababab??????????與任何向量的數(shù)量積為0十、等于的長(zhǎng)

5、度與在的方向上的投影的乘積ab???a?a?b?a?cosbab?????十一、若，為非零向量，為單位向量，則有；a?b?e???1coseaaeaae?????????????；，，；??20abab??????????3????ababababab??????????????????與同向與反向2aaa?????aaa?????；??4cosababab????????????5abab??????十二、空間向量基本定理空間向量基本

6、定理：若三個(gè)向量，，不共面，則對(duì)空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得a?b?c?p???xyzpxaybzc???????十三、若三個(gè)向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是這個(gè)集合可看a?b?c???ppxaybzcxyzR?????????作是由向量，，生成的，稱為空間的一個(gè)基底，，，稱為基向量空間任意三個(gè)不共面的向量都a?b?c???abc???a?b?c?可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底十四、設(shè)，，為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們

7、為單位正交基底），以，，的公共起1e??2e???3e???1e??2e???3e??點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系則對(duì)于空間任意一?1e??2e???3e??xyzxyz?個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量存在有序?qū)崝?shù)組，使得p??p??????????xyz把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作此時(shí)，向量123pxeyeze???????????xyzp?1e??2e?

8、??3e????pxyz??2的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)p??xyz???xyz十五、設(shè)，，則??111axyz????222bxyz????1??121212abxxyyzz?????????2??121212abxxyyzz?????????3??111axyz??????若、為非零向量，則??4121212abxxyyzz????????5a?b?12121200ababxxyyzz????????????若，則??60b

9、???121212ababxxyyzz????????????????7222111aaaxyz??????????8121212222222111222cosxxyyzzabababxyzxyz??????????????????，，則??9??111xyzA??222xyz????????222212121dxxyyzzA??A???????????十六、空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量

10、表示直llAAla?線的方向向量，則對(duì)于直線上的任意一點(diǎn)，有，這樣點(diǎn)和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具ll?taA???????Aa?l體表示出直線上的任意一點(diǎn)l十七、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來(lái)確定設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別???為，為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面a?b?????xyxayb???????????a?b?的位置?十八、直線垂直，取直線的方向向量，則向量

11、稱為平面平面的法向量的法向量l?la?a??十九、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，則aba?b?abab????，??abR??????0ababab??????????二十、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則aa??n?a??aa????，0anan?????????aaanan??????????????二十一、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，，則??a?b?ab??????，ab????0abab????

12、????????二十二、設(shè)異面直線，的夾角為，方向向量為，，其夾角為，則有ab?a?b??coscosabab?????????二十三、設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有l(wèi)l??n?l??l?n??sincoslnln?????????二十四、設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量，的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平1n??2n???l??????1n??2n???面角的大小若二面角的平面角為，則l????

13、?1212cosnnnn?????????????二十五、在直線上找一點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為l?Aln?Alcosndnn?A???A??A?????????????????二十六、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模計(jì)算A?A?????A?????二十七、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為??A?n????cosndnn?A???A??A????????????