高代向量空間

1、0第五章第五章向量空間向量空間基礎(chǔ)訓(xùn)練題基礎(chǔ)訓(xùn)練題1.設(shè)V是數(shù)域F上向量空間，假如V至少含有一個非零向量?，問V中的向量是有限多還是無限多？有沒有n(n?2)個向量構(gòu)成的向量空間？解無限多；不存在n(n?2)個向量構(gòu)成的向量空間(因為如果F上一個向量空間V含有至少兩個向量那么V至少含有一個非零向量?因此V中含有?2?3?4?…這無窮多個向量互不相等因此V中必然含有無窮多個向量).2.設(shè)V是數(shù)域F上的向量空間，V中的元素稱為向量，這里的向

2、量和平面解析幾何中的向量，空間解析幾何中的向量有什么區(qū)別？??解這里的向量比平面中的向量意義廣泛得多它可以是多項式矩陣等不單純指平面中的向量.3.檢驗以下集合對所指定的運算是否構(gòu)成數(shù)域F上的向量空間.（1）集合：全體n階實對稱矩陣；F：實數(shù)域；運算：矩陣的加法和數(shù)量乘法；（2）集合：實數(shù)域F上全體二維行向量；運算：(a1b1)(a2b2)＝(a1＋a20)??k(a1b1)＝(ka10)??（3）集合：實數(shù)域上全體二維行向量；運算：(a

3、1b1)(a2b2)＝(a1＋a2b1＋b2)??k(a1b1)＝(00)??解(1)是(2)不是(因為零向量不唯一)(3)不是(不滿足向量空間定義中的(8)).4.在向量空間中，證明，(1)a(－?)=－a?=(－a)?(2)(a?b)?＝a?－b?ab是數(shù)，?是向量.2解k1?1k2?2k3?3k1k2k3F.?設(shè)k1?1k2?2k3?3=0則有解得k1=k2=k3=0.???????????030220332321kkkkkk故?

4、1?2?3線性無關(guān).對任意(abc)F3(abc)=所以F3中的每個向量都可?3213)32())322((???ccbcba?????由?1?2?3線性表示.10.下列向量組是否線性相關(guān)(1)?1＝(100)?2＝(110)?3＝(111)；(2)?1＝(314)?2＝(25?1)?3＝(4?37).解(1)線性無關(guān)(2)線性無關(guān).11.證明，設(shè)向量?1?2?3線性相關(guān)，向量?2?3?4線性無關(guān)，問：(1)?1能否由?2?3線性表示？

5、說明理由；(2)?4能否由?1?2?3線性表示？說明理由.解(1)因為?2?3線性無關(guān)而?1?2?3線性相關(guān)所以?1能由?2?3線性表示(2)反設(shè)?4能由?1?2?3線性表示但?1能由?2?3線性表示故?4能由?2?3線性表示這與?2?3?4線性無關(guān)矛盾所以?4不能由?1?2?3線性表示.12.設(shè)?1＝(012)?2＝(3－10)?3＝(210)，?1＝(100)?2＝(120)?3＝(123)是F3中的向量.證明，向量組?1?2?3與