高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧總結(jié)

1、1FAPHBQ解圓錐曲線問題的常用方法大全解圓錐曲線問題的常用方法大全1、定義法、定義法（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1r2=2a。第二定義中，r1=ed1r2=ed2。（2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，，當(dāng)r1r2時(shí)，注意r2的最小值為ca：第二定義中，arr221??r1=ed1，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。（3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物

2、線問題用定義解決更直接簡(jiǎn)明。2、韋達(dá)定理法、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。3、解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對(duì)于直線與圓

3、錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)A(x1y1)B(x2y2)弦AB中點(diǎn)為M(x0y0)，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有：（1）與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0y0)，則有。)0(12222????babyax02020??kbyax（2）與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0y0)則有)00(12222????babya

4、x02020??kbyax（3）y2=2px（p0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0y0)則有2y0k=2p即y0k=p.【典型例題】例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(34)與到準(zhǔn)線的距離和最小則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______________2(2)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(41)與到焦點(diǎn)F的距離和最小則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。分析：分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，PFPH?當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線

5、時(shí)，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QR⊥l交于R，則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。解：（1）（2，）2連PF，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)AF的方程為PFAPPHAP???)1(13024????xy即y=2(x1)代入y2=4x得P(22)，（注：另一交點(diǎn)為()，它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍22221?3∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15軌跡方程為1151622??yx點(diǎn)評(píng)：得到方程（

6、）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無(wú)需再用距離公式列式求解，即列出，再移項(xiàng)，平方，…相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！4)1()1(2222??????yxyx例4、△ABC中，B(50)C(50)且sinCsinB=sinA求點(diǎn)A的軌跡方程。53分析：分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（R為外接圓半徑），可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的關(guān)系。解：解：sinCsinB=sinA2RsinC2RsinB=2Rs

7、inA5353∴BCACAB53??即（）6??ACAB∴點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）∵2a=6，2c=10∴a=3，c=5，b=4所求軌跡方程為（x3）116922??yx點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解題，這里由（）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例5、定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離。分析：分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(x1x12)，B(x2，X22)，又設(shè)

8、AB中點(diǎn)為M(x0y0)用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一：解法一：設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點(diǎn)M(x0，y0)則?????????????0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx由①得(x1x2)2[1(x1x2)2]=9即[(x1x2)24x1x2][1(x1x