高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)例說(shuō)

1、1,數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵及案例分析,湖北省孝感高級(jí)中學(xué) 徐新斌,2,引言數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的案例分析,3,引 言,數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的一些現(xiàn)象：（1）有些教師前20分鐘就把課前準(zhǔn)備的內(nèi)容講完了，剩下的時(shí)間不知道該做些什么。（2）有些教師的板書(shū)比較凌亂，在課堂教學(xué)進(jìn)程中，想寫(xiě)在哪里就寫(xiě)在哪里，隨意性太強(qiáng)，板書(shū)缺乏美感和整體感。（3）有些教師的課題引入、課堂提問(wèn)等教學(xué)環(huán)節(jié)單一，難以引起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。,4,（

2、4）有些教師在講解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)題目時(shí)，偏重“照字面意義講解”， 過(guò)多強(qiáng)調(diào)機(jī)械記憶，學(xué)生只能達(dá)到表面理解。（5）有些教師僅copy一些優(yōu)秀教案，缺乏結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況來(lái)進(jìn)行有關(guān)的思考，教學(xué)效果并不太理想。 …… 以上這些現(xiàn)象導(dǎo)致教學(xué)效率不高、教學(xué)效果不佳。這些現(xiàn)象的出現(xiàn)有很多原因，其中一條重要的原因就是教師缺乏教學(xué)設(shè)計(jì)的方法和思想。,5,一、數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵 1．什么是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

3、 2．為什么要進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì) 3．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的基本要素 4．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中教師所需要具備的幾個(gè)意識(shí) 5．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的前期分析,6,1．什么是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)設(shè)計(jì)是指教師為達(dá)到一定的教學(xué)目標(biāo)，對(duì)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行的系統(tǒng)規(guī)劃、安排與決策。,7,2．為什么要進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)（1）教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)教學(xué)原理，遵循教學(xué)過(guò)程的基本規(guī)律，制定教學(xué)目標(biāo)，以解決教什么的問(wèn)題。（2）教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)怎樣才能

4、達(dá)到教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行創(chuàng)造性的決策，以解決怎么教的問(wèn)題。（3）教學(xué)設(shè)計(jì)把教學(xué)過(guò)程各要素看成一個(gè)系統(tǒng)。分析教學(xué)問(wèn)題和需求，確立解決的程序綱要，使教學(xué)過(guò)程最優(yōu)化。,8,（4）教學(xué)設(shè)計(jì)是提高學(xué)習(xí)者獲得知識(shí)、技能的效率和興趣的技術(shù)過(guò)程，其功能在于運(yùn)用適宜的教學(xué)方法設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，使之成為一種具有操作性的程序。 簡(jiǎn)而言之，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的最終目的是為了使學(xué)生更高效地學(xué)習(xí)，開(kāi)發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，塑造學(xué)生的健全人格，以促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。,

5、9,3．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的基本要素,10,在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需要格外注意以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系。教師在實(shí)施教學(xué)之前需要進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，但在教學(xué)過(guò)程中又不可拘泥于教學(xué)設(shè)計(jì)，防止被教學(xué)設(shè)計(jì)束縛了手腳，一切應(yīng)以學(xué)生為學(xué)習(xí)的主體，以教促學(xué)，對(duì)課堂教學(xué)的各種變化進(jìn)行綜合把握，及時(shí)作出正確的判斷，采取有效的應(yīng)對(duì)措施。這也是教學(xué)中的“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系。（2）處理好“模仿”與“創(chuàng)新”的關(guān)系?！胺隆笔恰皠?chuàng)”的必經(jīng)之路，“創(chuàng)”

6、是“仿”的目的所在。,11,4.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中教師所需要具備的 幾個(gè)意識(shí),對(duì)于教學(xué)設(shè)計(jì)而言，數(shù)學(xué)教師的觀念更新意識(shí)、問(wèn)題意識(shí)、反思意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)顯得尤其重要。 這些意識(shí)是教師素質(zhì)的重要組成部分，是形成教育、教學(xué)能力的前提，是影響教師行為的誘因，因而對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)有直接的制約作用。,12,（1）觀念更新意識(shí) 所謂觀念，指教育觀念，即教師對(duì)教育本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和體悟。作為數(shù)學(xué)教師，其教育觀念就是對(duì)數(shù)學(xué)教育本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和

7、體悟。 觀念更新意識(shí)，指教師對(duì)自已所持的教育觀念有清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)不斷萌生和發(fā)展的新的教育觀念有敏銳的洞察力，進(jìn)而產(chǎn)生更新自身舊觀念的經(jīng)常性愿望和行為。 數(shù)學(xué)教育觀念分為數(shù)學(xué)觀和教育觀兩個(gè)層面。數(shù)學(xué)觀是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；教育觀是對(duì)學(xué)與教本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。,13,對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，歷史上曾有許多不同的觀點(diǎn)，有學(xué)者將其梳理為15種學(xué)說(shuō)：萬(wàn)物皆數(shù)說(shuō)、哲學(xué)說(shuō)、符號(hào)說(shuō)、科學(xué)說(shuō)、工具說(shuō)、邏輯說(shuō)、創(chuàng)新說(shuō)、直覺(jué)說(shuō)、集合說(shuō)、結(jié)構(gòu)說(shuō)、模型說(shuō)、活

8、動(dòng)說(shuō)、精神說(shuō)、審美說(shuō)、藝術(shù)說(shuō)。 這些觀點(diǎn)實(shí)際上是人們從不同側(cè)面對(duì)數(shù)學(xué)作出的解釋?zhuān)@然，這些對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同看法會(huì)對(duì)應(yīng)不盡相同的教育理念。 如果一個(gè)教師注重?cái)?shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)，他就會(huì)自覺(jué)地把數(shù)學(xué)視為模式的科學(xué)；如果注重過(guò)程，就會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)是直覺(jué)和邏輯的產(chǎn)物；如果注重社會(huì)價(jià)值，又會(huì)把數(shù)學(xué)理解為是一種工具，等等。這些個(gè)人的數(shù)學(xué)觀反映在教學(xué)設(shè)計(jì)中，就會(huì)產(chǎn)生不同的教學(xué)目標(biāo)和價(jià)值取向。,14,從認(rèn)識(shí)論的層面看，由把數(shù)學(xué)視為

9、絕對(duì)真理的絕對(duì)主義演化而成的靜態(tài)數(shù)學(xué)觀，與把數(shù)學(xué)視為相對(duì)真理的可誤主義演化而成的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀對(duì)數(shù)學(xué)教育的影響最大。 如果把數(shù)學(xué)看成絕對(duì)真理，看成是靜態(tài)知識(shí)的堆砌，那么教學(xué)的目的就是教師把這些知識(shí)原樣地傳授給學(xué)生，教學(xué)設(shè)計(jì)就是一種“結(jié)果型”范式，教學(xué)評(píng)價(jià)則以學(xué)生掌握的知識(shí)量作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。 如果認(rèn)為數(shù)學(xué)真理不是絕對(duì)的，而是可誤的，把數(shù)學(xué)看作由問(wèn)題、語(yǔ)言、命題、理論和觀念組成的復(fù)合體，是動(dòng)態(tài)的知識(shí)發(fā)展系統(tǒng)，那么

10、反映在教育上便是一種實(shí)現(xiàn)人的發(fā)展的教育觀，以培養(yǎng)學(xué)生的批判意識(shí)和創(chuàng)造力為主要目的，其教學(xué)設(shè)計(jì)是一種“過(guò)程型”的范式。,15,同樣，不同的教學(xué)理論對(duì)教學(xué)的本質(zhì)有不同的解釋?zhuān)瑥亩鴮?duì)應(yīng)著不同的教學(xué)設(shè)計(jì)思想。 行為主義強(qiáng)調(diào)剌激與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)，教學(xué)設(shè)計(jì)就只關(guān)注教師的教學(xué)操作和學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的操作。 認(rèn)知主義以信息加工學(xué)說(shuō)解釋學(xué)習(xí)的本質(zhì)，教學(xué)設(shè)計(jì)就要涉及教師的教學(xué)操作、學(xué)習(xí)者的特征、學(xué)習(xí)的信息加工過(guò)程、學(xué)習(xí)所獲得的知識(shí)

11、類(lèi)型以及學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的操作。 人本主義強(qiáng)調(diào)以人的發(fā)展為本，教學(xué)設(shè)計(jì)就會(huì)更多地體現(xiàn)使學(xué)生達(dá)到自我實(shí)現(xiàn)的目的。 建構(gòu)主義認(rèn)為知識(shí)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者自我建構(gòu)和社會(huì)建構(gòu)的結(jié)果，教學(xué)設(shè)計(jì)就會(huì)滲透著促進(jìn)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的策略。,16,新觀念的產(chǎn)生不是對(duì)舊觀念的完全揚(yáng)棄，而是一種整合。事實(shí)上，每一種觀念都有自身合理的一面，因教學(xué)內(nèi)容不同，教學(xué)設(shè)計(jì)可以以不同的理論作為基礎(chǔ)。 因此，更確切地說(shuō)，觀念更新意識(shí)要求教師有整合觀

12、念的意識(shí)、接受新觀念的意識(shí)、替代舊觀念的意識(shí)。,17,（2）問(wèn)題意識(shí) 問(wèn)題意識(shí)是指在人們的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，活動(dòng)主體對(duì)既有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和一些難于解決的實(shí)際問(wèn)題或理論問(wèn)題所產(chǎn)生的懷疑、困惑、焦慮、探究的心理狀態(tài)，并在其驅(qū)動(dòng)下，不斷提出問(wèn)題和解決問(wèn)題。,18,在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師的問(wèn)題意識(shí)主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面， 其一，追溯問(wèn)題產(chǎn)生的背景和緣由的意識(shí)。 其二，不斷提出新問(wèn)題的意識(shí)。,19,例 對(duì)于問(wèn)題：

13、已知a，b∈R，并且ab。則上述結(jié)論會(huì)變?yōu)槭裁葱问剑?,20,（3）反思意識(shí) 反思是立足于自我之外的批判地考察自己的行動(dòng)及情境的能力。 反思意識(shí)即教師自覺(jué)產(chǎn)生對(duì)自己的活動(dòng)目的、活動(dòng)計(jì)劃、活動(dòng)策略、活動(dòng)過(guò)程及活動(dòng)評(píng)價(jià)的反思欲望和信念。 反思不是單純的事后行為，還包括事前和辦事過(guò)程中的反思。,21,在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中， 首先，設(shè)計(jì)者要對(duì)教學(xué)目的進(jìn)行反思。 一個(gè)教學(xué)

14、設(shè)計(jì)應(yīng)反映出教學(xué)目的的多維性。數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)、數(shù)學(xué)技能的形成、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展、數(shù)學(xué)思想方法的滲透、數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程的體驗(yàn)等，都是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的。,22,第二，要對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)進(jìn)行反思。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，自己所持有的數(shù)學(xué)觀是什么？是以哪一種教育或心理學(xué)理論作為基礎(chǔ)的？為什么要這樣做？等等。 第三，對(duì)教學(xué)程序的設(shè)計(jì)及教學(xué)策略的選擇的反思。反思知識(shí)展示的順序是否合理；選擇的教學(xué)策略是否恰當(dāng)；例題與習(xí)題的搭配是否符

15、合教學(xué)目的的要求；采用的媒體是否能真正發(fā)揮輔助教學(xué)的功能；為什么要這樣設(shè)計(jì)教學(xué)程序？為什么要選擇這樣的教學(xué)策略？等等。 第四，教學(xué)實(shí)施后的反思。主要是對(duì)教學(xué)效果評(píng)價(jià)的反思，如何改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)的反思。,23,（4）創(chuàng)新意識(shí) 創(chuàng)新意識(shí)指教師的創(chuàng)新的欲望和信念，其核心是自我批判的意識(shí)，不受固有思維模式的束縛，勇于立新。,24,一般說(shuō)來(lái)，教學(xué)設(shè)計(jì)中的創(chuàng)新主要包括： ①教學(xué)內(nèi)容組織的創(chuàng)新。譬如，以不同

16、的材料作為“先行組織者”；對(duì)教材內(nèi)容的解構(gòu)與重組；對(duì)概念、命題賦予不同的現(xiàn)實(shí)模型或不同的數(shù)學(xué)模型；對(duì)例題、習(xí)題的改造與擴(kuò)充等，均是在原有基礎(chǔ)上的創(chuàng)新。 ②教學(xué)模式構(gòu)建的創(chuàng)新。根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容合理地選擇教學(xué)模式，在此基礎(chǔ)上，更注意綜合一些教學(xué)模式，創(chuàng)建一些新的教學(xué)模式。模式創(chuàng)新的最高境界，或許是一種不受模式的約束，融有模式于無(wú)模式之中。 ③教學(xué)組織形式的創(chuàng)新。 ④教育技術(shù)的創(chuàng)新。表現(xiàn)為多媒

17、體的合理組合，課件編制更富創(chuàng)意等。,25,值得強(qiáng)調(diào)的是，教師的創(chuàng)新意識(shí)不僅能體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)的“外部產(chǎn)品”上，而且更重要的在于這種榜樣式的創(chuàng)新意識(shí)能夠滲透在教學(xué)實(shí)施的過(guò)程中，給學(xué)生以潛移默化地熏陶，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的目的。,26,5.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的前期分析 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的前期分析可以從目標(biāo)分析、內(nèi)容分析、學(xué)生分析3個(gè)方面來(lái)進(jìn)行。 （1）數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)分析 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)首先要進(jìn)行目標(biāo)設(shè)計(jì)

18、，即分析教什么？達(dá)到什么程度？這是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的核心問(wèn)題之一。,27,教學(xué)目標(biāo)有不同的類(lèi)型，也有不同的要求。有些教師的教學(xué)之所以效果不佳、達(dá)不到課程的要求，最主要的原因是教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)出現(xiàn)了一些問(wèn)題。比如目標(biāo)內(nèi)涵不清楚；目標(biāo)串位；目標(biāo)層次要求不清楚；目標(biāo)空洞無(wú)物；目標(biāo)與內(nèi)容不協(xié)調(diào)；目標(biāo)與學(xué)生實(shí)際不相符合。,28,①數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的類(lèi)型 數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的類(lèi)型可以分為總體目標(biāo)、具體目標(biāo)、內(nèi)容目標(biāo)和課堂教學(xué)目標(biāo)四類(lèi)。 《普

19、通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出了高中數(shù)學(xué)課程的總體目標(biāo)、具體目標(biāo)和內(nèi)容目標(biāo)，這三種目標(biāo)是宏觀目標(biāo)，是遠(yuǎn)期目標(biāo)。至于課堂教學(xué)目標(biāo)，則是一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，是近期目標(biāo)。遠(yuǎn)期目標(biāo)要由課堂教學(xué)目標(biāo)來(lái)體現(xiàn)、落實(shí)，近期目標(biāo)受制于遠(yuǎn)期目標(biāo)，是實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)期目標(biāo)的基礎(chǔ)。 鏈接1,29,②數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)可以按照知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀這3個(gè)維度來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。 ●知識(shí)與技能 知識(shí)

20、與技能目標(biāo)的內(nèi)容主要包括3類(lèi)：一類(lèi)是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題（數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式、法則等）和基本的數(shù)學(xué)事實(shí)結(jié)論；一類(lèi)是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和基本的數(shù)學(xué)事實(shí)結(jié)論的運(yùn)用；一類(lèi)是數(shù)學(xué)操作性技能（作圖等）。 知識(shí)與技能目標(biāo)的要求可分為4個(gè)層次：了解、理解、掌握和綜合運(yùn)用。 在寫(xiě)知識(shí)與技能目標(biāo)時(shí)，根據(jù)其知識(shí)與技能的內(nèi)容與層次要求來(lái)寫(xiě)。比如，“了解什么”、“理解什么”、“掌握什么”、“綜合運(yùn)用什么”。,30,●過(guò)程與方法

21、 過(guò)程與方法的內(nèi)容是：通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，把握數(shù)學(xué)思想方法、形成數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識(shí)（如統(tǒng)計(jì)意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)），提高解決問(wèn)題能力。 描述過(guò)程與方法的常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)有：經(jīng)歷……過(guò)程、培養(yǎng)……能力、領(lǐng)悟……數(shù)學(xué)思想方法、發(fā)展……意識(shí)、學(xué)習(xí)……的問(wèn)題解決方法；觀察、參與、嘗試；探索、研究、發(fā)現(xiàn)；合作、交流、反思。,31,●情感態(tài)度與價(jià)值觀 這里的情感是指，在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的比較穩(wěn)定的情緒體驗(yàn)。

22、 數(shù)學(xué)態(tài)度是指，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)對(duì)象的心理傾向或立場(chǎng)，表現(xiàn)出興趣、愛(ài)好、喜歡與否、看法立場(chǎng)。數(shù)學(xué)態(tài)度可以演變?yōu)閿?shù)學(xué)信念——對(duì)數(shù)學(xué)持有的較為穩(wěn)定的總體看法、觀念。 數(shù)學(xué)態(tài)度包括對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的態(tài)度（數(shù)學(xué)信念）、對(duì)數(shù)學(xué)的興趣、對(duì)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的態(tài)度。 這一維度目標(biāo)的內(nèi)容還包括宏觀的價(jià)值觀和數(shù)學(xué)審美觀。例如，對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值的看法；辯證法的觀點(diǎn)；數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔整齊之美、統(tǒng)一和諧之美、抽象概括之美、

23、對(duì)稱(chēng)之美、精確之美。 刻畫(huà)情感態(tài)度目標(biāo)的術(shù)語(yǔ)有：感受……、體會(huì)……、領(lǐng)悟……；形成……觀點(diǎn)、養(yǎng)成……習(xí)慣、欣賞……之美。,32,需要注意的是，情感態(tài)度與價(jià)值觀屬于內(nèi)隱的心理結(jié)構(gòu)，不是顯性知識(shí)，而是意會(huì)知識(shí)（緘默知識(shí)），無(wú)法通過(guò)傳授直接獲得，必須通過(guò)學(xué)生的過(guò)程學(xué)習(xí)間接獲得。 所以，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要以知識(shí)技能為基礎(chǔ)，以過(guò)程方法為途徑，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，為學(xué)生情感態(tài)度與價(jià)值觀的發(fā)展創(chuàng)設(shè)適宜的土壤，把知

24、識(shí)與技能的學(xué)習(xí)與情感態(tài)度與價(jià)值觀的培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生受到潛移默化的影響，最終形成良好的情感態(tài)度與價(jià)值觀。,33,案例1 “兩條直線的位置關(guān)系”的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)知識(shí)與技能①理解兩條直線平行與垂直充要條件的推導(dǎo)、公式及應(yīng)用。②能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。過(guò)程與方法①通過(guò)探索兩條直線平行或垂直的充要條件和推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，并滲透算法的思想。②通過(guò)靈活運(yùn)用公式的過(guò)程，提高學(xué)生類(lèi)比化歸、

25、數(shù)形結(jié)合的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀①培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)、合作交流的意識(shí)。②在體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。,34,（2）數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)容分析 數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)容分析主要包括基本分析、背景分析、結(jié)構(gòu)分析、數(shù)學(xué)分析和重難點(diǎn)分析。 ①基本分析：學(xué)習(xí)教材的配套教參，了解教材的編寫(xiě)意圖和編寫(xiě)特點(diǎn)，理解課程學(xué)習(xí)目標(biāo)，熟悉教學(xué)要求。 ②背景分析：了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景和發(fā)展歷程以及與其他知識(shí)、學(xué)科

26、、實(shí)際的聯(lián)系，挖掘其教學(xué)價(jià)值。,35,③結(jié)構(gòu)分析：通覽教材，熟悉教材內(nèi)容知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，從整體上把握教材。明確本課內(nèi)容在相關(guān)章節(jié)中的地位和作用，弄清楚本節(jié)課內(nèi)容與相關(guān)內(nèi)容之間的上下位關(guān)系，明確例題、習(xí)題的編排與教學(xué)功能。 ④數(shù)學(xué)分析：研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題以及例題和習(xí)題的解法，把握其數(shù)學(xué)本質(zhì)，尤其是所包含的數(shù)學(xué)思想方法。例如，數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、化歸思想、函數(shù)與方程思想、統(tǒng)計(jì)思想；配方法、換元法、待定系數(shù)法、坐標(biāo)法、歸納法、演

27、繹法、分析法、綜合法和反證法等。 ⑤重難點(diǎn)分析：先分析教材中的重難點(diǎn)，預(yù)估學(xué)生易混淆和易出錯(cuò)之處，再根據(jù)課堂教學(xué)目標(biāo)要求，確定本堂課的教學(xué)重難點(diǎn)。,36,案例2 “概率的加法公式”的背景分析和重難點(diǎn)分析 背景分析 為了將一些較為復(fù)雜的概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的概率的計(jì)算，首先要學(xué)會(huì)將所考慮的事件作出相應(yīng)的正確運(yùn)算。這一節(jié)先講事件的和的意義，然后再講對(duì)于怎樣的事件可應(yīng)用哪一種概率加法公式計(jì)算事件的概率。接著研究事件

28、的簡(jiǎn)單運(yùn)算：互斥事件的加法運(yùn)算及相互獨(dú)立事件的乘法運(yùn)算，使可以計(jì)算事件概率的范圍得以擴(kuò)充。,37,重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 兩個(gè)互斥事件的概率加法公式是一個(gè)很基本同時(shí)又是很重要的公式。之所以說(shuō)基本，是因?yàn)樗且粋€(gè)最簡(jiǎn)單的概率運(yùn)算公式，它是任意兩個(gè)事件的概率加法公式的特例。而其重要性主要在于它是從單個(gè)事件向多個(gè)事件過(guò)渡的起點(diǎn)和中介，它起著承前啟后的作用。如果說(shuō)單個(gè)事件的概率問(wèn)題依靠比例還可以解決的話，那么兩個(gè)以上的事件的概率問(wèn)題僅僅依

29、靠比例就很難解決。對(duì)于一些較復(fù)雜的事件的概率，直接依據(jù)概率的定義來(lái)進(jìn)行計(jì)算是很不方便的。本章主要包括兩個(gè)基本公式：互斥事件概率加法公式及對(duì)立事件概率和公式，而前者既是教學(xué)重點(diǎn)又是教學(xué)難點(diǎn)。,38,（3）數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)生分析 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，一切教學(xué)都要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，只有對(duì)學(xué)生情況熟悉，才可能做到有的放矢、對(duì)癥下藥、因材施教，才可能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。①基本情況分析：主要是了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況、能力差異、年齡性格特征、興趣愛(ài)好、身體

30、狀況、家庭狀況等。②認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析：主要是了解學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知水平的準(zhǔn)備情況。例如，教師在講授“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)”時(shí)，教師必須檢測(cè)了解學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)知水平情況，教學(xué)才能有效。,39,③學(xué)生的認(rèn)知方式分析：認(rèn)知方式表現(xiàn)在人的知覺(jué)、記憶、思維和解決問(wèn)題能力等方面的不同風(fēng)格。比如， ●場(chǎng)依存性與場(chǎng)獨(dú)立性： 場(chǎng)依存性的學(xué)生在認(rèn)知活動(dòng)中傾向于以外部參照作為信息加工的依據(jù)，容易受周?chē)藗兒铜h(huán)境的影響。他們喜歡

31、有人際交流的集體學(xué)習(xí)情境，對(duì)社會(huì)學(xué)科材料的學(xué)習(xí)記憶效果較好，較依賴(lài)于學(xué)習(xí)材料的預(yù)先組織，需要明確的指導(dǎo)和講授，喜歡結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的教學(xué)； 場(chǎng)獨(dú)立性學(xué)生則相反，他們?cè)谡J(rèn)知活動(dòng)中傾向于以內(nèi)部參照作為信息加工的依據(jù)，不容易受周?chē)藗兒铜h(huán)境的影響。他們的知覺(jué)比較穩(wěn)定，不易為背景改變而改變。善于學(xué)習(xí)數(shù)理學(xué)科，能獨(dú)立思考，對(duì)學(xué)習(xí)材料能進(jìn)行分析和重組。,40,●沉思型和沖動(dòng)型：在有幾種可能解答的情境中，有些學(xué)生傾向于深思熟慮且錯(cuò)誤較少，但回

32、答速度較慢。這種認(rèn)知方式稱(chēng)為沉思型認(rèn)知方式。另一些學(xué)生傾向于很快地作出反應(yīng)和檢驗(yàn)假設(shè)，但常常出錯(cuò)。這種認(rèn)知方式稱(chēng)為沖動(dòng)型認(rèn)知方式?！褫椇闲秃桶l(fā)散型：輻合型認(rèn)知方式是指學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，通過(guò)收集或綜合信息，運(yùn)用邏輯規(guī)律，縮小解答范圍，直至找到正確的解答。發(fā)散型認(rèn)知方式是指學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，思維沿著許多不同方向擴(kuò)展，使觀念發(fā)散到各個(gè)有關(guān)方面，最終產(chǎn)生多種答案?！裾w策略和序列策略：有些學(xué)生傾向于把問(wèn)題看作一個(gè)整體，從各個(gè)角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀

33、察和思考，采用整體策略，有些學(xué)生則傾向于把重點(diǎn)放在解決一系列子問(wèn)題，一步一步呈直線的方式進(jìn)展，采用序列策略。,41,學(xué)生認(rèn)知方式的差異對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)都會(huì)產(chǎn)生一定的影響，通過(guò)對(duì)學(xué)生認(rèn)知方式的分析，可以更好地針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行教學(xué)。 了解學(xué)習(xí)的一般方法有訪談法、觀察法、課堂提問(wèn)、檢查作業(yè)、問(wèn)卷法等。具體方法有：●向前任老師、班主任或家長(zhǎng)了解●通過(guò)與學(xué)生交往了解●根據(jù)課堂教學(xué)中反饋的信息了解●從練習(xí)、作業(yè)、個(gè)別輔

34、導(dǎo)、測(cè)驗(yàn)中了解……,42,二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的案例分析 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程。 從數(shù)學(xué)教學(xué)的構(gòu)成元素來(lái)看，有板書(shū)設(shè)計(jì)、教學(xué)媒體設(shè)計(jì)、問(wèn)題情境設(shè)計(jì)、問(wèn)題設(shè)計(jì)、討論 設(shè)計(jì)、小結(jié)設(shè)計(jì)等； 從數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，有數(shù)學(xué)概念設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)習(xí)題的設(shè)計(jì)等； 從數(shù)學(xué)課型來(lái)看，有數(shù)學(xué)新課的教學(xué)設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)活動(dòng)課的教學(xué)設(shè)計(jì)等。

35、 下面分別擇其一二而闡述。,43,1．問(wèn)題情境設(shè)計(jì)（1）問(wèn)題情境的含義 問(wèn)題情境的核心是通過(guò)情境來(lái)提出問(wèn)題，問(wèn)題是教學(xué)設(shè)計(jì)的核心。此外，在進(jìn)行問(wèn)題情境設(shè)計(jì)時(shí)，“情境”與“問(wèn)題”是一個(gè)融合的整體，刻意去尋找熱鬧的“情境”或人為編造的問(wèn)題，都會(huì)發(fā)生偏差。 從教學(xué)內(nèi)容看，問(wèn)題情境大致可以分為：實(shí)際背景、數(shù)學(xué)背景、文化背景等。其中，實(shí)際背景主要指現(xiàn)實(shí)生活的情境；數(shù)學(xué)背景主要指數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律、數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾等；文化背景

36、主要指數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的歷史和數(shù)學(xué)在認(rèn)識(shí)自然改造過(guò)程的作用等。 從教學(xué)環(huán)節(jié)看，問(wèn)題情境包括引入新課的情境、過(guò)程展開(kāi)的情境、回顧反思的情境。 從呈現(xiàn)方式看，問(wèn)題情境包括敘述、活動(dòng)、實(shí)物、問(wèn)題、圖形、游戲、欣賞等形式。,44,（2）問(wèn)題情境的設(shè)計(jì) 問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)主要是為了引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生的好奇心，使學(xué)生能從情境中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而為了解決問(wèn)題而進(jìn)行積極的學(xué)習(xí)。 因而，問(wèn)題情

37、境設(shè)計(jì)的原則是有利于學(xué)生思維能力的發(fā)展，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題能力的發(fā)展，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。 在設(shè)計(jì)問(wèn)題情境時(shí)應(yīng)注意問(wèn)題情境的適度性、導(dǎo)向性和探究性。,45,①適度性 問(wèn)題情境應(yīng)與數(shù)學(xué)知識(shí)相連，與學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)相吻合。有些情境過(guò)分追求數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性，追求數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，而沒(méi)有與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)相連，這樣的問(wèn)題情境沒(méi)有實(shí)際內(nèi)容，難以發(fā)揮應(yīng)有的積極效果。,46,案例3 “復(fù)數(shù)概念”的引入

38、 設(shè)計(jì)1 在遨游數(shù)學(xué)王國(guó)時(shí)，你還記得數(shù)的概念發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程嗎？在歷經(jīng)幾次“添加新數(shù)”之后，數(shù)集已經(jīng)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集。但是，由于負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能開(kāi)平方，所以代數(shù)運(yùn)算在實(shí)數(shù)集內(nèi)仍不能永遠(yuǎn)實(shí)施。例如，當(dāng)△＜0時(shí)，實(shí)系數(shù)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。再例如，一元三次方程x3=1只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。根的個(gè)數(shù)與方程的次數(shù)“不一致”，有悖于數(shù)學(xué)的“和諧美”。這樣看來(lái)，數(shù)的概念需要進(jìn)一步發(fā)展：實(shí)數(shù)集如何擴(kuò)充？在新的數(shù)集里，怎樣實(shí)施數(shù)的運(yùn)算？

39、 剖析 這里設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境符合“數(shù)”的科學(xué)擴(kuò)充過(guò)程，但與學(xué)生已有知識(shí)相差太遠(yuǎn)，脫離了學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，過(guò)分注重?cái)?shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，因而難以真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的啟動(dòng)。,47,設(shè)計(jì)2 16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Gardano）在解決求兩個(gè)數(shù)，使其和為10，積為40時(shí)，認(rèn)為這兩個(gè)數(shù)是5+ 和5－ 。這是因?yàn)椋?+ ）+（5－ ）=10，（5+ ）（5－

40、 ）=40。在實(shí)數(shù)集內(nèi)，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0。然而， 表示什么意義呢？盡管很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，部分?jǐn)?shù)學(xué)家都認(rèn)為“5+ ”和“5－ ”這兩個(gè)式子沒(méi)有意義，是虛構(gòu)的、想像的。但在解決許多問(wèn)題時(shí)，使用類(lèi)似這樣的式子卻帶來(lái)極大的方便。那么， 能作為數(shù)嗎？它真的是無(wú)意義的、虛構(gòu)的嗎？,,,,,,,,,,,,,48,評(píng)析 這個(gè)問(wèn)題情境是通過(guò)數(shù)學(xué)史上真實(shí)發(fā)生的故事作為情境。當(dāng)年

41、，這個(gè)問(wèn)題困擾過(guò)許多數(shù)學(xué)家。今天，學(xué)生同樣會(huì)對(duì)這個(gè)看似荒謬但又難以否定的問(wèn)題感興趣，這個(gè)問(wèn)題情境符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，一般學(xué)生都能理解，從而可順利進(jìn)入復(fù)數(shù)概念的建立階段。,49,教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾曾說(shuō)：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。”在進(jìn)行問(wèn)題情境設(shè)計(jì)時(shí)，首先要考慮的是學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)。若違背這條原則，表現(xiàn)為過(guò)分追求知識(shí)的邏輯起點(diǎn)，那么，所謂的

42、問(wèn)題情境不能真正啟動(dòng)學(xué)生的思維，實(shí)際上仍然是教師的“灌輸”。,50,②導(dǎo)向性 所謂導(dǎo)向性指的是所設(shè)計(jì)的問(wèn)題要有利于學(xué)生提出問(wèn)題。有些情境設(shè)計(jì)過(guò)分追求視覺(jué)效果，追求新奇，追求淺層次的趣味。面對(duì)這樣的情境，學(xué)生不能產(chǎn)生疑問(wèn)，不能自覺(jué)提出問(wèn)題。,51,案例4 “圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的引入 設(shè)計(jì)1 展示一些與圓有關(guān)的生活圖片，創(chuàng)設(shè)情境，引入新課。 評(píng)析 這里給出幾幅圖片，表面上看是與圓有關(guān)，與生活

43、實(shí)際聯(lián)系密切，但是，整個(gè)情境沒(méi)有問(wèn)題，學(xué)生只是接受視覺(jué)的刺激，沒(méi)有思維的發(fā)生。這樣的情境不僅無(wú)助于本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)，相反可能會(huì)分散學(xué)生的注意力，給學(xué)生帶來(lái)負(fù)面的影響。,52,設(shè)計(jì)2 圓是最美麗的曲線，圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑。那么，怎樣求圓的方程？ 評(píng)析 這里根據(jù)學(xué)生已有的關(guān)于圓的知識(shí)，直接給出圓的幾何關(guān)系，單刀直入，引導(dǎo)學(xué)生提出解析幾何的基本問(wèn)題：如何把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題：

44、求圓的方程，就是要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并寫(xiě)出圓上任意一點(diǎn)P（x，y）所滿足的關(guān)系式。 小結(jié) 問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是思維的核心。沒(méi)有問(wèn)題，思維便無(wú)法啟動(dòng)。這里的問(wèn)題是以多種形式出現(xiàn)的，但在問(wèn)題情境設(shè)計(jì)時(shí)必須同時(shí)考慮問(wèn)題的提出、解決和拓展，否則問(wèn)題情境將失去價(jià)值，難以達(dá)到預(yù)期的目的。這也就是導(dǎo)向性原則。,53,③探究性 問(wèn)題情境應(yīng)當(dāng)是開(kāi)放的、挑戰(zhàn)的、新奇的，應(yīng)當(dāng)能夠激發(fā)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的欲望。

45、 鏈接2:案例5 “導(dǎo)數(shù)”的引入,54,（3）幾點(diǎn)注意①防止出現(xiàn)惟生活情境，以生活情境代替問(wèn)題情境的現(xiàn)象。在許多情況下，數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題就是好的問(wèn)題情境。②防止出現(xiàn)假情境、為情境而情境、只有情境沒(méi)有問(wèn)題的現(xiàn)象。③防止出現(xiàn)過(guò)分重視數(shù)學(xué)邏輯起點(diǎn)，忽視學(xué)生接受能力的現(xiàn)象。④防止出現(xiàn)一個(gè)內(nèi)容一個(gè)情境，情境遍地開(kāi)花的現(xiàn)象。要注重學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的整體認(rèn)識(shí)。,55,2．問(wèn)題設(shè)計(jì) （1）“問(wèn)題”的含義 “問(wèn)題”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中

46、是十分重要的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“問(wèn)題”是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)的一種心理困境，這種困境是學(xué)生有目的準(zhǔn)備去追求但尚未找到適當(dāng)手段解決的一種狀態(tài)。 根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容與教學(xué)環(huán)節(jié)的不同，教學(xué)中的“數(shù)學(xué)問(wèn)題”可以分為多種類(lèi)別，有的是為了揭示核心內(nèi)容的核心問(wèn)題，有的是為了引出新內(nèi)容的導(dǎo)向性問(wèn)題，有的是為了滲透數(shù)學(xué)思想方法的啟迪性問(wèn)題。,56,（2）問(wèn)題設(shè)計(jì) 如何進(jìn)行問(wèn)題設(shè)計(jì)？根據(jù)問(wèn)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，必須注重問(wèn)題的核心性

47、、整體性、探究性和開(kāi)放性等。,57,①注重問(wèn)題的核心性 案例6 “集合”的引言 藍(lán)藍(lán)的天空中，一群鳥(niǎo)在歡快地飛翔；茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動(dòng)；清清的湖水中，一群魚(yú)在自由地游泳…… 鳥(niǎo)群、羊群、魚(yú)群……都是“同一類(lèi)對(duì)象匯集在一起”，這就是本章將要學(xué)習(xí)的“集合”。那么，我們要問(wèn)：第一，集合的含義是什么？第二，集合之間有什么關(guān)系？第三，怎樣進(jìn)行集合的運(yùn)算？,58,評(píng)析 這里的問(wèn)題就是本章

48、要研究的核心內(nèi)容，本章的學(xué)習(xí)實(shí)際上就是要解決這三個(gè)問(wèn)題。而為了解決這三個(gè)問(wèn)題，又產(chǎn)生出若干小問(wèn)題，每個(gè)小問(wèn)題的解決，就構(gòu)成整個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)與探究過(guò)程。核心問(wèn)題有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體把握，通過(guò)核心問(wèn)題的引領(lǐng)，學(xué)習(xí)過(guò)程可以有序、有效。,59,案例7 “反函數(shù)”的課堂小結(jié) 問(wèn)題 為什么叫做反函數(shù)？你覺(jué)得這個(gè)“反”到底反在什么地方？ 評(píng)析 此問(wèn)題的提出獨(dú)具特色，也帶有一定的詼諧，讓學(xué)生覺(jué)得很有意思。

49、在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生不需要教師的再三叮囑，也不會(huì)忘記反函數(shù)“反”在哪里？同時(shí)，此問(wèn)題又是本學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心所在，因?yàn)榉春瘮?shù)的“反”也就是它的主要內(nèi)涵、性質(zhì)所在！,60,②注重問(wèn)題的整體性 整個(gè)課堂是一個(gè)有機(jī)的整體，從初始問(wèn)題開(kāi)始，到回顧反思為止，應(yīng)該是一個(gè)系統(tǒng)的、完整的思維整體。否則，課堂被分解地支離破碎，沒(méi)有合力。問(wèn)題只有以“問(wèn)題串”的形式出現(xiàn)，在“問(wèn)題串”的引領(lǐng)下，學(xué)生才能進(jìn)行系列、連續(xù)的思維活動(dòng)。 鏈接3: 案例8

50、 研究性學(xué)習(xí)課“怎樣燒開(kāi)水最省煤氣”中的“問(wèn)題串” ③注重問(wèn)題的探究性 如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的教學(xué)探究，關(guān)鍵在于問(wèn)題的“設(shè)計(jì)”，即問(wèn)題本身應(yīng)具有探究性。,61,案例9 “均值不等式”的變式問(wèn)題 問(wèn)題 甲、乙兩地相距s千米，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過(guò)80km/h。已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成?？勺儾糠峙c速度v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為1/10，固定

51、部分490元。 (1)把全部運(yùn)輸成本y表示為v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域。 (2)為了使運(yùn)輸?shù)某杀咀钚?，汽?chē)以多大的速度行駛？,62,變式問(wèn)題1：在問(wèn)題1中，只把汽車(chē)的“速度不超過(guò)80km/h”改為“速度不超過(guò)60km/h”，其他條件不變，讓學(xué)生探索同樣的問(wèn)題。變式問(wèn)題2：在問(wèn)題1中，把汽車(chē)的“速度不超過(guò)80km/h”改為“速度不超過(guò)c（km/h）”，其他條件不變，讓學(xué)生探索同樣的問(wèn)題。變式問(wèn)題3：在

52、問(wèn)題1中，把汽車(chē)的“速度不超過(guò)80km/h”改為“速度不超過(guò)c（km/h）”，把“比例系數(shù)為1/10，固定部分490元”改為“比例系數(shù)為b，固定部分a元?！?。其他條件不變，讓學(xué)生探索同樣的問(wèn)題。,63,評(píng)析 問(wèn)題的基本解答為：全部運(yùn)輸成本y與v（km/h）的關(guān)系式是（0＜v≤80）。運(yùn)用均值不等式，得到當(dāng)汽車(chē)以70 km/h的速度行駛時(shí)，運(yùn)輸?shù)某杀咀畹汀?在問(wèn)題的基礎(chǔ)上給出了三個(gè)變式問(wèn)題。教師為什么要在變式

53、問(wèn)題1中把汽車(chē)的“速度不超過(guò)80km/h”改為“速度不超過(guò)60km/h”？其實(shí)它是針對(duì)函數(shù)定義域的變化而來(lái)的：?jiǎn)栴}中所求70 km/h在其定義域（0＜v≤80）之內(nèi)，但不在變式問(wèn)題2中的定義域（0＜v≤60）內(nèi)。 進(jìn)一步地，變式問(wèn)題2-3把有關(guān)問(wèn)題抽像化了。這樣的問(wèn)題不僅可推動(dòng)學(xué)生更加主動(dòng)地、積極地去探究學(xué)習(xí)，而且也培養(yǎng)了他們的邏輯思維和抽象思維能力。,64,④注重問(wèn)題的開(kāi)放性 有些數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中也力圖提出

54、一些問(wèn)題來(lái)促進(jìn)學(xué)生思考?？墒?，這些問(wèn)題大多數(shù)都是指向性明確的封閉性問(wèn)題，即為“是/否”（Yes/No）問(wèn)題。我們不能否認(rèn)這些問(wèn)題在有些情況下的價(jià)值，但是，若要更好地促進(jìn)學(xué)生的思維建構(gòu)，則需要教師提出開(kāi)放性的問(wèn)題。 鏈接4:案例10 “一條直線到另一條直線的角（到角）”的引入,65,案例11 “反函數(shù)”概念及性質(zhì)（請(qǐng)學(xué)生回憶前面學(xué)習(xí)過(guò)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，且根據(jù)學(xué)生的回答，在黑板上畫(huà)出有關(guān)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一些性質(zhì)的對(duì)照表）

55、 問(wèn)題 學(xué)習(xí)完一些知識(shí)以后，我們要有一個(gè)習(xí)慣，就是能不能把這些知識(shí)橫向聯(lián)系起來(lái)？那么，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考這樣一個(gè)問(wèn)題，你覺(jué)得指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有哪些關(guān)系？你打算如何研究？,66,評(píng)析 教師的第一句話，其實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)方法。 教師的第二句話看似是教師提問(wèn)，其實(shí)是把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，并用某種方法來(lái)研究它們。 給時(shí)間讓學(xué)生討論、發(fā)

56、言，可得到一個(gè)猜想：指數(shù)函數(shù)的圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)等。,67,教師再給時(shí)間讓學(xué)生繼續(xù)證明自己的猜想。而在學(xué)生思考的時(shí)間內(nèi)，老師不要有多余的話語(yǔ)，只是在教室里四處走動(dòng)，不時(shí)停下來(lái)解答學(xué)生的問(wèn)題。 等到學(xué)生思考出大致的進(jìn)程后，老師請(qǐng)有想法的學(xué)生舉手回答，與全班學(xué)生一起分享他的想法。 然后，師生又通過(guò)幾何畫(huà)板驗(yàn)證學(xué)生自己得出的猜想。 至此，教師對(duì)以上學(xué)生的有關(guān)討論做出一個(gè)小

57、結(jié)，指出指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有如此的關(guān)系，教材上給一名稱(chēng)把它們叫做一對(duì)反函數(shù)，從而引出反函數(shù)的概念。,68,3．?dāng)?shù)學(xué)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)（1）數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的內(nèi)容 數(shù)學(xué)概念是反映一類(lèi)對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式。它具有抽象性和具體性雙重特點(diǎn)。 因?yàn)閿?shù)學(xué)概念代表了一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性，因此它是抽象的，沒(méi)有實(shí)際的物質(zhì)存在。以“三角形”的概念為例，現(xiàn)實(shí)世界中，沒(méi)有見(jiàn)過(guò)抽象的三角形，而只能見(jiàn)到具體的三角形。它是客觀現(xiàn)實(shí)的抽象。這是概念抽

58、象性的一面。 另一方面，盡管概念作為一種抽象，物質(zhì)世界中沒(méi)有實(shí)際的存在，但是從數(shù)學(xué)教學(xué)方面來(lái)看，學(xué)生可以獲得概念，概念一旦為學(xué)生掌握，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就是“實(shí)在”的東西了，這是概念具體性的一面。,69,數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、證明的基礎(chǔ)和依據(jù)，數(shù)學(xué)中的推理和證明實(shí)質(zhì)上是由一連串的概念、判斷和命題組成的，而數(shù)學(xué)中的命題又都是一些概念構(gòu)成的。因此，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ) ，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的組成部分。 一

59、般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)包括以下四個(gè)方面： ①數(shù)學(xué)概念名稱(chēng)。例如“三角形”、“正方體”、“橢圓”等。 ②數(shù)學(xué)概念定義。例如“三角形”的定義是“由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形”。 ③數(shù)學(xué)概念的例子。符合數(shù)學(xué)概念定義的事物是數(shù)學(xué)概念的正例，不符合數(shù)學(xué)概念定義的事物是數(shù)學(xué)概念的反例。 ④數(shù)學(xué)概念屬性。例如“三角形”這個(gè)數(shù)學(xué)概念的屬性是平面圖形、封閉的、有三條邊、有三個(gè)角等。,70,（2）數(shù)

60、學(xué)概念學(xué)習(xí)的形式 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的形式一般有兩種，一是概念的形成，二是概念的同化。 第一，概念的形成 概念的形成是在教學(xué)條件下，從大量具體例子出發(fā)，從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性。 第二，概念的同化 概念的同化是利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)。,71,（3）數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)所需要注意的幾個(gè)問(wèn)題 為幫助學(xué)生

61、透徹理解并掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)概念，教師要注意以下幾個(gè)方面： ①加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的解剖分析 數(shù)學(xué)概念是借助于數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)來(lái)表達(dá)的，其用語(yǔ)、用詞一般都非常嚴(yán)密、精練，具有高度的概括性。因此，教師必須抓住概念中的關(guān)鍵詞句進(jìn)行解剖分析，揭示每一個(gè)詞、句、符號(hào)、式子的內(nèi)在含義，使學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)屬性。 鏈接5:案例12 對(duì)“正弦函數(shù)”概念的分析,72,②利用變式，突出概念的本質(zhì)屬性 變式是指概念例證在非本質(zhì)屬性

62、方面的變化。利用變式的目的是通過(guò)非本質(zhì)屬性的變化來(lái)突出本質(zhì)屬性，使學(xué)生獲得的概念更精確。 例如，為了使學(xué)生全面理解無(wú)理數(shù)的概念，教師可以呈現(xiàn)下面的各種變式：●開(kāi)不盡的數(shù)：●負(fù)無(wú)理數(shù)：●超越數(shù)：●無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：4.12112111211112…,,,,73,③注意概念的對(duì)比 數(shù)學(xué)中許多概念是相互聯(lián)系的。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可把它們聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)或類(lèi)比學(xué)習(xí)。 案例13 “不等式的解”與“方程的解”

63、的對(duì)比學(xué)習(xí)●方程的解是使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值；不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍●從使原式成立這一點(diǎn)來(lái)看，方程的解和不等式的解的意義相同●從解的個(gè)數(shù)來(lái)看，方程在一般情況下解的個(gè)數(shù)是有限的，而不等式的解的個(gè)數(shù)是無(wú)數(shù)個(gè)●反映在數(shù)軸上，方程的解是數(shù)軸上某一個(gè)或幾個(gè)孤立的點(diǎn)，而不等式的解則是無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)的集合,74,④注意概念的直觀化 數(shù)學(xué)概念通常是經(jīng)過(guò)多層次的抽象概括而得來(lái)的，它往往脫離了具體的原型。對(duì)這類(lèi)比

64、較抽象的概念，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將概念具體化、形象化。鏈接6: 案例14 “最值”與“極值”的直觀化學(xué)習(xí),75,⑤注意概念體系的建立 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，不但要使學(xué)生掌握單個(gè)的概念，而且還要使學(xué)生掌握概念體系，建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在經(jīng)過(guò)每一章節(jié)的學(xué)習(xí)之后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的概念加以整理、歸類(lèi)，理清概念之間的關(guān)系，建立章節(jié)、學(xué)科的概念網(wǎng)絡(luò)體系，使概念縱橫貫通，這樣，有助于學(xué)生對(duì)概念的深入理解。,76,（4）數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)案例鏈接

65、7:案例15 “函數(shù)單調(diào)性”的有關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì),77,4．?dāng)?shù)學(xué)命題的教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)主要是公式、法則、定理和性質(zhì)的學(xué)習(xí)。教材中的數(shù)學(xué)命題不是孤立零散的知識(shí)，而是一個(gè)有系統(tǒng)的知識(shí)體系。認(rèn)清數(shù)學(xué)命題在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位、作用以及數(shù)學(xué)命題之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)命題的理解。 （1）數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的形式 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)一般有兩種形式，即由例子到命題的學(xué)習(xí)和由命題到例子的學(xué)習(xí)。,78

66、,①由例子到命題的學(xué)習(xí) 由例子到命題的學(xué)習(xí)是指從若干例證中歸納出一般結(jié)論的學(xué)習(xí)，它是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。 這種學(xué)習(xí)形式類(lèi)似于概念形成學(xué)習(xí)，需要教師提供例證、辨別對(duì)象、提出假設(shè)、驗(yàn)證假設(shè)和進(jìn)行概括。但是，它對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平要求更高，因?yàn)樗爬ǖ氖怯赡承└拍顦?gòu)成的特定關(guān)系。教師在為學(xué)生提供豐富的例證時(shí)，不能僅僅提供命題的正例，還要提供命題的反例，以強(qiáng)化對(duì)命題的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生透徹理解命題。,79,②由命題到例子的學(xué)習(xí)

67、由命題到例子的學(xué)習(xí)是指先向?qū)W生呈現(xiàn)要學(xué)習(xí)的命題，然后再用實(shí)例說(shuō)明命題（有時(shí)還要給予邏輯證明），從而使學(xué)生掌握命題，它是一種接受學(xué)習(xí)。這種學(xué)習(xí)的前提條件是學(xué)生必須事先掌握構(gòu)成命題的各個(gè)概念和命題。,80,（2）數(shù)學(xué)命題的教學(xué)設(shè)計(jì)鏈接8:案例16 “等差數(shù)列的前項(xiàng)和（第1課時(shí)）”的教學(xué)設(shè)計(jì) 案例17 “兩角差的余弦公式”的教學(xué)設(shè)計(jì),81,5．?dāng)?shù)學(xué)習(xí)題的教學(xué)設(shè)計(jì) 按照不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)習(xí)題有不同的類(lèi)別。常見(jiàn)的分法是

68、把數(shù)學(xué)習(xí)題分為計(jì)算題、證明題、作圖題、軌跡題等。（1）數(shù)學(xué)習(xí)題中“一題多變”的方法 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們反對(duì)“題海戰(zhàn)術(shù)”，就必須在習(xí)題的設(shè)計(jì)上下工夫。一題多變是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的主要途徑之一。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中主要有以下5種“一題多變”的方法：,82,①類(lèi)比法②引申法③推廣法④聯(lián)想法⑤反思法鏈接9: 數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì),83,6．?dāng)?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì) 復(fù)習(xí)課是教學(xué)環(huán)節(jié)中不可缺少的一種課型。