圓錐曲線與方程中的數(shù)學(xué)方法和技巧

1、圓錐曲線與方程中的數(shù)學(xué)方法和技巧圓錐曲線與方程中的數(shù)學(xué)方法和技巧一、要掌握解析幾何的基本方法———坐標(biāo)法求曲線的方程是解析幾何的兩大任務(wù)之一，要使求出的曲線方程簡(jiǎn)單優(yōu)美，更容易研究性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵課本中圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程都是在選定恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下求出的，它們的形式都特別簡(jiǎn)單因此選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是簡(jiǎn)化曲線方程形式的關(guān)鍵例１已知拋物線形拱橋的頂點(diǎn)距離水面2m時(shí)，測(cè)得水面寬8m，當(dāng)水面升高1m后，求水面的寬度解：如圖１，以Ｃ為坐標(biāo)原

2、點(diǎn)，以與平行的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系拋物AB線的方程可設(shè)為22(0)xpyp???在拋物線上，(42)B?，∵，162(2)p????∴4p?∴拋物線的方程為，得∴28xy??22x?水面的寬度為∴42m點(diǎn)評(píng)：本題也可以以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，但此種解法較繁瑣，所以一般地，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程的圖象性質(zhì)建系，所得方程簡(jiǎn)單二、要重視求曲線方程的常用方法———直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法等1直接法是

3、求軌跡方程的基本方法，直接利用題設(shè)條件建立x，y之間的關(guān)系即可例2已知直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)和圓，動(dòng)點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)與(20)Q，22:1Oxy??MO的比等于常數(shù)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？MQ(0)???M解：如圖2，設(shè)切點(diǎn)為，N則，22221MNMOONMO????設(shè)，則，()Mxy，222MOxy??22221(2)xyxy??????∴整理，得，22222(1)()4140xyx?????????當(dāng)，即時(shí)，210???1??

4、方程化為，它表示一條平行于軸的直線；54x?y4待定系數(shù)法是指在已知曲線類型的前提下，先設(shè)出曲線的方程再去求解的方法例5求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(32)A??，(231)B?，解：橢圓的方程可設(shè)為221(00)mxnymn????，橢圓經(jīng)過和兩點(diǎn)，∵(32)A??，(231)B?，解得341121mnmn???????，，∴11155mn??，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為∴221155xy??點(diǎn)評(píng)：如果圓錐曲線的焦點(diǎn)位置不