數(shù)學(xué)分析(二)教案(7.1)

1、1楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系課程教案楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系課程教案(數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(二)周學(xué)時周學(xué)時6節(jié))周次第1周(2008.2.282008.3.2)課題第七章第七章實數(shù)的完備性實數(shù)的完備性7.1關(guān)于實數(shù)的完備性的基本定理學(xué)時2學(xué)時教學(xué)內(nèi)容（主要）一.閉區(qū)間套定理二.柯西收斂準則三.聚點定理教學(xué)目標(biāo)1.深刻理解并掌握閉區(qū)間套定理2.深刻理解并掌握柯西收斂準則3.深刻理解并掌握聚點的概念及聚點引理教學(xué)重點1.閉區(qū)間套定理的證明思想和證明方法2.

2、柯西收斂準則的證明思想和證明方法3.聚點的概念及聚點引理教學(xué)難點1.柯西收斂準則的證明思想和證明方法2.聚點引理的證明思想和證明方法教學(xué)方法與手段分析教學(xué)方法、綜合教學(xué)方法、探索式的教學(xué)方法(借助多媒體輔助教學(xué))教學(xué)進程(教學(xué)設(shè)計)第七章第七章實數(shù)的完備性實數(shù)的完備性7.1關(guān)于實數(shù)的完備性的基本定理關(guān)于實數(shù)的完備性的基本定理極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)理論極限理論的問題首先是極限存在問題數(shù)列是否存在極限不僅與數(shù)列自身的結(jié)構(gòu)有關(guān)而且與數(shù)列所在

3、數(shù)集有關(guān)單調(diào)有界必有極限這一結(jié)論在實數(shù)集中成立，但在有理數(shù)集中卻不成立.實數(shù)集關(guān)于極限運算封閉的這種性質(zhì)叫做實數(shù)的完備性或?qū)崝?shù)的連續(xù)性.刻劃研究這種實數(shù)集的特性方法有多種各種教材也有不同的處理研究辦法首先介紹學(xué)習(xí)我們教材的辦法再介紹其它的辦法.一.閉區(qū)間定理閉區(qū)間定理定義定義1.若閉區(qū)間列具有如下性質(zhì)：????nnab(1).????11(12)nnnnababn?????(2).??lim0nnnab????則稱是閉區(qū)間套簡稱區(qū)間套.

4、????nnab定理定理1.（閉區(qū)間套定理）（閉區(qū)間套定理）若是一閉區(qū)間套則存在唯一點????nnab??nnab??即.(12)n??nnab???(12)n??證明證明:存在性存在性由條件(1)單調(diào)有上界單減有下界故它們存在極限.由條件(2)??na??nb4故由閉區(qū)間定理存在.??nn????(12......)n?再由定理1推論當(dāng)時.且內(nèi)含有N???0?Nn???)(????Unn?)(??U中除有限項外的所有項故.??nali

5、mnna????三.聚點定理聚點定理定義定義1.設(shè)是數(shù)軸上的點集是一已知的點(可以屬于也可以不屬于)S?SS若內(nèi)都含有中的無窮多個點則稱是點集的聚點.0???)(??US?S例1.有兩個聚點與.????????nn1)1(1?1例2.設(shè)則及與均是其聚點.????()SabSab??Sab例3.都沒有聚點且任何有限集均無聚點.ZZ?例4.若收斂則其極限是聚點但反之不然.??na引理引理:下列條件等價(1).是的聚點；?S(2).；?0??

6、??0U????(3).存在各項互異點列使.??nxS?limnnx????證明證明:(1)(2).顯然.?(2)(1)?設(shè)則取00()U???????則存在.11????011xUS????取則存在且.211min2?????????????022xUS????21xx?取則存在.且.)31min(23x??????033xUS????23xx?……………………………………………………………………………..一般地令則存在且.11min