不定積分的例題分析及解法

1、1不定積分的例題分析及解法這一章的基本概念是原函數、不定積分、主要的積分法是利用基本積分公式，換元積分法和分部積分法。對于第一換元積分法，要求熟練掌握湊微分法和設中間變量，而第二換元積分法重點要)(xu??求掌握三角函數代換，分部積分法是通過“部分地”湊微分將轉化成，這種轉化應是朝有利??ud?du?于求積分的方向轉化。對于不同的被積函數類型應該有針對性地、靈活地采用有效的積分方法，例如為有理函數時，通過多項式除法分解成最簡分式來積分，

2、為無理函數時，?？捎脫Q元積分法。)(xf)(xf應該指出的是：積分運算比起微分運算來，不僅技巧性更強，而且業(yè)已證明，有許多初等函數是“積不出來”的，就是說這些函數的原函數不能用初等函數來表示，例如；；；（其中）等。dxxx?sindxex??2dxx?ln1??xkdx22sin110??k這一方面體現(xiàn)了積分運算的困難，另一方面也推動了微積分本身的發(fā)展，在第7章我們將看到這類積分的無限形式的表示。一、疑難分析（一）關于原函數與不定積分概

3、念的幾點說明（1）原函數與不定積分是兩個不同的概念，它們之間有著密切的聯(lián)系。對于定義在某區(qū)間上的函數，若存在函數，使得該區(qū)間上每一點處都有，則稱是在該區(qū)間上)(xf)(xFx)()(xfxF??)(xF)(xf的原函數，而表達式稱為的不定積分。CCxF()(?為任意常數))(xf（2）的原函數若存在，則原函數有無限多個，但任意兩個原函數之間相差某個常數，因此求)(xf的不定積分時，只需求出的一個原函數，再加上一個任意常數即可，即)(xf

4、?dxxf)()(xf)(xFC。???CxFdxxf)()(（3）原函數與不定積分是個體與全體的關系，只是的某個原函數，而)(xF?dxxf)()(xF)(xf是的全部原函數，因此一個原函數只有加上任意常數后，即才能成為?dxxf)()(xfCCxF?)(的不定積分，例如都是的原函數，但都不是的不定積分，只有)(xf3211222???xxxx2x2才是的不定積分（其中是任意常數）。Cx?2x2C（4）的不定積分中隱含著積分常數，因此

5、計算過程中當不定積分號消失后一定要)(xf?dxxf)(C加上一個任意常數。C3（5）)(sincos)(cossinxdxdxxdxdx???（6）)cot(csc)(tansec22xdxdxxdxdx???（7）)(arctan112xddxx??（8）)(arcsin112xddxx??在具體問題中，湊微分要根據被積函數的形式特點靈活運用，例如求??dxxxf211)(arctan時，應將湊成；求dxxdx21?xdarctxx

6、xarcf??211)cot(時，應將湊成；而求時，就不能照搬上述兩種湊法，應將dxx211?xdarccot?dxxx??212211x?湊成，即。xdx22dx)1(222xddxxdx???（2）第二換元法積分法：令，常用于被積函數含或等形式。)(tx??22xa?22ax?常見的元理函數積分所采用的換元式如表51所示：表51代換名稱被積函數含有換元式三角代換22xa?22xa?22ax?)22(sin?????ttax)22(t

7、an?????ttax)20(sec???ttax無理代換nbax?nx12111)()(nnbaxbax??即tbaxn??)(1btaxn??即1tx?tx1?為的最小公倍數)(baxtn??n21nn（3）同一個不定積分，往往可用多種換元方法求解，這時所得結果在形式上可能不一致，但實質上僅相差一常數，這可能過對積分結果進行求導運算來驗證。（三）關于積分形式不變性在講第一換元積分法時，講過這樣一個定理：如果，那么有，其中是的可微函數