協(xié)方差矩陣與主成成分分析(整理后)

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念統(tǒng)計(jì)里最基本的概念就是樣本的均值，方差，或者再加個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。首先我們給你一個(gè)含有n個(gè)樣本的集合，依次給出這些概念的公式描述，這些高中學(xué)過數(shù)學(xué)的孩子都應(yīng)該知道吧，一帶而過。均值：均值：標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：方差：方差：很顯然，均值描述的是樣本集合的中間點(diǎn)，它告訴我們的信息是很有限的，而標(biāo)準(zhǔn)差給我們描述的則是樣本集合的各個(gè)樣本點(diǎn)到均值的距離之平均。以這兩個(gè)集合為例，[0，8，12，20]和[8，9，11，12]，兩個(gè)

2、集合的均值都是10，但顯然兩個(gè)集合差別是很大的，計(jì)算兩者的標(biāo)準(zhǔn)差，前者是8.3，后者是1.8，顯然后者較為集中，故其標(biāo)準(zhǔn)差小一些，標(biāo)準(zhǔn)差描述的就是這種“散布度”。之所以除以n1而不是除以n，是因?yàn)檫@樣能使我們以較小的樣本集更好的逼近總體的標(biāo)準(zhǔn)差，即統(tǒng)計(jì)上所謂的“無偏估計(jì)”。而方差則僅僅是標(biāo)準(zhǔn)差的平方。為什么需要協(xié)方差？為什么需要協(xié)方差？上面幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量看似已經(jīng)描述的差不多了，但我們應(yīng)該注意到，標(biāo)準(zhǔn)差和方差一般是用來描述一維數(shù)據(jù)的，但現(xiàn)實(shí)生

3、活我們常常遇到含有多維數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，最簡(jiǎn)單的大家上學(xué)時(shí)免不了要統(tǒng)計(jì)多個(gè)學(xué)科的考試成績(jī)。面對(duì)這樣的數(shù)據(jù)集，我們當(dāng)然可以按照每一維獨(dú)立的計(jì)算其方差，但是通常我們還想了解更多，協(xié)方差就是這樣一種用來度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量，我們可以仿照方差的定義：上面涉及的內(nèi)容都比較容易，協(xié)方差矩陣似乎也很簡(jiǎn)單，但實(shí)戰(zhàn)起來就很容易讓人迷茫了。必須要明確一點(diǎn)，協(xié)方差矩陣計(jì)算的是不同維度之間的協(xié)方差，協(xié)方差矩陣計(jì)算的是不同維度之間的協(xié)方差，而不是不同樣本之間

4、的。而不是不同樣本之間的。這個(gè)我將結(jié)合下面的例子說明，以下的演示將使用Matlab，為了說明計(jì)算原理，不直接調(diào)用Matlab的cov函數(shù)(藍(lán)色部分為Matlab代碼)。首先，隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)103維的整數(shù)矩陣作為樣本集，10為樣本的個(gè)數(shù)，3為樣本的維數(shù)。1MySample=fix(r(103)50)根據(jù)公式，計(jì)算協(xié)方差需要計(jì)算均值，那是按行計(jì)算均值還是按列呢，我一開始就老是困擾這個(gè)問題。前面我們也特別強(qiáng)調(diào)了，協(xié)方差矩陣是計(jì)算不同維度間的協(xié)方