求曲線方程的常用方法

1、 求曲線方程的常用方法 曲線方程的求法是解析幾何的重要內(nèi)容和高考的常考點． 求曲線方程時， 應根據(jù)曲線的不同背景，不同的結構特征，選用不同的思路和方法，才能簡捷明快地解決問題．下面對其求法進行探究． 1．定義法 求曲線方程時，如果動點軌跡滿足已知曲線的定義，則可根據(jù)題設條件和圖形的特點，恰當運用平面幾何的知識去尋求其數(shù)量關系， 再由曲線定義直接寫出方程， 這種方法叫做定義法．例 1 如圖，點 A 為圓形紙片內(nèi)不同于圓心 C 的定點，動點

2、 M 在圓周上，將紙片折起，使點 M 與點 A 重合，設折痕 m 交線段 CM 于點N.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標系 xOy 中，設圓 C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，記點 N 的軌跡為曲線 E. (1)證明曲線 E 是橢圓，并寫出當 a＝2 時該橢圓的標準方程； (2)設直線 l 過點 C 和橢圓 E 的上頂點 B，點 A 關于直線 l 的對稱點為點 Q，若橢圓 E 的離心率 e∈??? ? 1 2，

3、 32 ，求點 Q 的縱坐標的取值范圍． 解 (1)依題意，直線 m 為線段 AM 的垂直平分線， ∴|NA|＝|NM|. ∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2， ∴N 的軌跡是以 C、A 為焦點，長軸長為 2a，焦距為 2 的橢圓． 當 a＝2 時，長軸長為 2a＝4，焦距為 2c＝2， ∴b2＝a2－c2＝3. ∴橢圓的標準方程為x24＋y23＝1. (2)設橢圓的標準方程為x2a2＋y2b2＝1 (a

4、>b>0)． 由(1)知：a2－b2＝1.又 C(－1,0)，B(0，b)， ∴直線 l 的方程為 x－1＋yb＝1，即 bx－y＋b＝0. 設 Q(x，y)，∵點 Q 與點 A(1,0)關于直線 l 對稱， ∴? ? ?yx－1· b＝－1，b· x＋12 －y2＋b＝0，消去 x 得 y＝ 4bb2＋1. ∵離心率 e∈??? ? 1 2， 32 ，∴14≤e2≤34， 即14≤1a2≤34.∴43≤

5、a2≤4. 助于點 P 的運動軌跡便可得到點 Q 的運動軌跡． 例 4 如圖所示， 從雙曲線 x2－y2＝1 上一點 Q 引直線 l： x＋y＝2 的垂線，垂足為 N，求線段 QN 的中點 P 的軌跡方程． 分析 設 P(x，y)，因為 P 是 QN 的中點，為此需用 P 點的坐標表示 Q 點的坐標，然后代入雙曲線方程即可． 解 設 P 點坐標為(x，y)，雙曲線上點 Q 的坐標為(x0，y0)， ∵點 P 是線段 QN 的中點， ∴N

6、 點的坐標為(2x－x0,2y－y0)． 又點 N 在直線 x＋y＝2 上，∴2x－x0＋2y－y0＝2， 即 x0＋y0＝2x＋2y－2.① 又 QN⊥l，∴kQN＝2y－2y02x－2x0＝1， 即 x0－y0＝x－y.② 由①②，得 x0＝12(3x＋y－2)，y0＝12(x＋3y－2)． 又∵點 Q 在雙曲線上， ∴14(3x＋y－2)2－14(x＋3y－2)2＝1. 化簡，得? ? ? ? x－122－? ? ? ? y－12

7、2＝12. ∴線段 QN 的中點 P 的軌跡方程為 ? ? ? ? x－122－? ? ? ? y－122＝12. 點評 本題中動點 P 與點 Q 相關， 而 Q 點的軌跡確定， 所以解決這類問題的關鍵是找出 P、Q 兩點坐標間的關系，用相關點法求解． 5．參數(shù)法 有時求動點滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個動點的運動常常受到另一個變量(角度、斜率、比值、截距或時間等)的制約，即動點的坐標(x，