高等數(shù)學(xué)求極限的常用方法(附例題和詳解)

1、1高等數(shù)學(xué)求極限的高等數(shù)學(xué)求極限的14種方法種方法一、極限的定義一、極限的定義1.極限的保號(hào)性很重要：設(shè)，Axfxx??)(lim0（i）若A，則有，使得當(dāng)時(shí)，；0?0??????||00xx0)(?xf（ii）若有使得當(dāng)時(shí)，。0??????||00xx0A0)(??則xf2.極限分為函數(shù)極限、數(shù)列極限，其中函數(shù)極限又分為時(shí)函數(shù)的極限和的極限。要特別注意判定??x0xx?極限是否存在在：（i）數(shù)列是它的所有子數(shù)列均收斂于a。常用的是其推

2、論，即“一個(gè)數(shù)列收斂于a的??的充要條件收斂于anx充要條件是其奇子列和偶子列都收斂于a”（ii）AxxfxAxfx????????????limlimlim)()((iii)AxxxxAxfxx?????????limlimlim000)((iv)單調(diào)有界準(zhǔn)則（v）兩邊夾擠準(zhǔn)則（夾逼定理夾逼原理）（vi）柯西收斂準(zhǔn)則（不需要掌握）。極限存在的充分必要條件是：)(lim0xfxx????????????|)()(|)(0021021xf

3、xfxUxxo時(shí)，恒有、使得當(dāng)二解決極限的方法如下：二解決極限的方法如下：1.等價(jià)無(wú)窮小代換。只能在乘除時(shí)候使用。例題略。2.洛必達(dá)（L’hospital）法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法）洛必達(dá)法則（定理）設(shè)函數(shù)f(x）和F(x）滿足下列條件：⑴x→a時(shí)，limf(x)=0limF(x)=0⑵在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)f(x）與F(x）都可導(dǎo)，且F(x）的導(dǎo)數(shù)不等于0⑶x→a時(shí)，lim(f(x)F(x)）存在或?yàn)闊o(wú)窮大則x→a時(shí)，

4、lim(f(x)F(x))=lim(f(x)F(x))注：它的使用有嚴(yán)格的使用前提。首先必須是X趨近，而不是N趨近，所以面對(duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的，不可能是負(fù)無(wú)窮。其次必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在，假如告訴f（x）、g（x）沒(méi)告訴是否可導(dǎo)，不可直接用洛必達(dá)法則。另外，必須是“0比0”或“無(wú)窮大比無(wú)窮大”并且注意導(dǎo)數(shù)分母不能為0。洛必達(dá)法則分為3種情況：（i）“”“”時(shí)候直接用00??(ii

5、)“”“”，應(yīng)為無(wú)窮大和無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系，所以無(wú)窮大都寫成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。??0???3解：由，以及可知，原式=0nnnnnnn1111)2(1)1(110222222????????????010limlim??????nnn(3)求????????????????nnnnn22212111lim?解：由以及nnnnnnnnnnnnnnnn??????????????????222222111121111111???得，原式=

6、111111limlimlim2???????????nnnnnnn7.數(shù)列極限中等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（等比數(shù)列的公比q絕對(duì)值要小于1）。例如：求。提示：先利用錯(cuò)位相減得方法對(duì)括號(hào)內(nèi)的式子求和。??12321lim???????nnnxxx?)1|(|?x8.數(shù)列極限中各項(xiàng)的拆分相加（可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)數(shù)列）。例如：=????????????????)1(1321211limnnn?1)1(11)1(113121211liml

7、im???????????????????????????nnnnn?9.利用極限相同求極限。例如：1?nxxx與（1）已知，且已知存在，求該極限值。nnaaa12211????nnalim??解:設(shè)=A，（顯然A）則，即，解得結(jié)果并舍去負(fù)值得A=1nnalim??0?AA12??0122???AA2（2）利用單調(diào)有界的性質(zhì)。利用這種方法時(shí)一定要先證明單調(diào)性和有界性。例如設(shè)nnnnxxxxxlim2222121????????求?解：（

8、i）顯然（ii）假設(shè)則，即。所以，221??xx21???kkxx22221??????kkxx21???kkxx是單調(diào)遞增數(shù)列，且有上界，收斂。設(shè)，（顯然則，即。??nxAn???lim)0?AAA??2022???AA解方程并舍去負(fù)值得A=2.即2lim???nnx10.兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。（i）常用語(yǔ)含三角函數(shù)的“”型未定式1sinlim0??xxx00(ii)，在“”型未定式中常用??exxx???101lim?111.還有個(gè)非