高中數(shù)學(xué)排列組合中的分組分配問題

1、排列組合中的分組分配問題排列組合中的分組分配問題分組分配問題是排列組合教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。某些排列組合問題看似非分配問題，實(shí)際上可運(yùn)用分配問題的方法來解決。下面就排列組合中的分組分配問題，談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的體會(huì)和做法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m一、一、提出分組與分配問題，澄清模糊概念提出分組與分配問題，澄清模糊概念n個(gè)不同元素按照某些條件分配給k個(gè)不同得對象，稱為分配問題分配問題，分定向分配和不定向分配兩種問題；將n個(gè)不

2、同元素按照某些條件分成k組，稱為分組問題.分組問題有不平均分組、平均分組、和部分平均分組三種情況。分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不區(qū)分的；而后者即使2組元素個(gè)數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌?，仍然是可區(qū)分的.對于后者必須先分組后排列。二、基本的分組問題二、基本的分組問題例1六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組兩本.(2)一組一本，一組二本，一組三本.(3)一組四本，另外兩組各一本

3、.分析：(1)分組與順序無關(guān)，是組合問題。分組數(shù)是=90(種)，這90種分組實(shí)624222CCC際上重復(fù)了6次。我們不妨把六本不同的書寫上1、2、3、4、5、6六個(gè)號(hào)碼，考察以下兩種分法：(1，2)(3，4)(5，6)與(3，4)(1，2)(5，6)，由于書是均勻分組的，三組的本數(shù)一樣，又與順序無關(guān)，所以這兩種分法是同一種分法。以上的分組方法實(shí)際上加入了組的順序，因此還應(yīng)取消分組的順序，即除以組數(shù)的全排列數(shù)，所以分法是=15(種)。(2

4、)33A22264233CCCA先分組，方法是，那么還要不要除以？我們發(fā)現(xiàn)，由于每組的書的本數(shù)是不一615233CCC33A樣的，因此不會(huì)出現(xiàn)相同的分法，即共有=60(種)分法。615233CCC(3)分組方法是=30(種)，那么其中有沒有重復(fù)的分法呢？我們發(fā)現(xiàn)，其中兩642111CCC組的書的本數(shù)都是一本，因此這兩組有了順序，而與四本書的那一組，由于書的本數(shù)不一樣，不可能重復(fù)。所以實(shí)際分法是=15(種)。41162122CCCA通過以

5、上三個(gè)小題的分析，我們可以得出分組問題的一般方法。二本、三本(3)兩組各一本，另一組四本。所以根據(jù)加法原理，分組法是22264233CCCA=90(種)。再考慮排列，即再乘以。所以一共有540種不同的分法。615233CCC41162122CCCA33A四、分配問題的變形問題四、分配問題的變形問題例5四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？分析：恰有一個(gè)空盒，則另外三個(gè)盒子中小球數(shù)分別為1，1，2

6、。實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為先將四個(gè)不同的小球分為三組，兩組各1個(gè)，另一組2個(gè)，分組方法有(種)，然后11243222CCCA將這三組(即三個(gè)不同元素)分配給四個(gè)小盒(不同對象)中的3個(gè)的排列問題，即共有=144(種)。11243222CCCA34A例6有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有多少種？分析：先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，共有(種)分法。

7、再考慮排列，甲任務(wù)需2人承擔(dān)，因此2人的那個(gè)組只能承擔(dān)甲112109822CCCA任務(wù)，而一個(gè)人的兩組既可承擔(dān)乙任務(wù)又可承擔(dān)丙任務(wù)，所以共有=2520(種)不112109822CCCA22A同的選法。例7設(shè)集合A=1，2，3，4，B=6，7，8，A為定義域，B為值域，則從集合A到集合B的不同的函數(shù)有多少個(gè)？分析：由于集合A為定義域，B為值域，即集合A、B中的每個(gè)元素都有“歸宿”，而集合B的每個(gè)元素接受集合A中對應(yīng)的元素的數(shù)目不限，所以此