橢圓與雙曲線常見題型總結附答案

1、第1頁共56頁橢圓與雙曲線常見題型歸納橢圓與雙曲線常見題型歸納題型一：弦的垂直平分線問題題型一：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個是弦，哪個是對稱軸，用到的知識是：垂直（兩弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個是弦，哪個是對稱軸，用到的知識是：垂直（兩直線的斜率之積為直線的斜率之積為11）和平分（中點坐標公式））和平分（中點坐標公式）。例題例題1、過點T(10)作直線與曲線N

2、：交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E(0)，使得是l2yx?0xABE?等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。0x分析：過點T(10)的直線和曲線N：相交A、B兩點，則直線的斜率存在且不等于0，可以設直線的方程，2yx?聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運用韋達定理，得弦的中點坐標，再由垂直和中點，寫出垂直平分線的方程，得出E點坐標，最后由正三角形的性質：中線長是邊長的倍。運用弦長公式求弦長。32解：依題意知

3、，直線的斜率存在，且不等于0。設直線，，，。:(1)lykx??0k?11()Axy22()Bxy由消y整理，得①2(1)ykxyx??????2222(21)0kxkxk????由直線和拋物線交于兩點，得即②2242(21)4410kkk????????2104k??由韋達定理，得：。則線段AB的中點為。212221kxxk????121xx?22211()22kkk??線段的垂直平分線方程為：221112()22kyxkkk????

4、?令y=0得，則為正三角形，到直線AB的距離d為021122xk??211(0)22Ek?ABE???211(0)22Ek?。32AB221212()()ABxxyy?????222141kkk???A212kdk??22223141122kkkkk?????A解得滿足②式此時。3913k??053x?思維規(guī)律思維規(guī)律：直線過定點設直線的斜率k，利用韋達定理法，將弦的中點用k表示出來，再利用垂直關系將弦的垂直平分線方程寫出來，求出了橫截

5、距的坐標；再利用正三角形的性質：高是邊長的倍，將k確定，進而求出的320x坐標。例題例題2、已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。1222??yx第3頁共56頁練習練習1：已知橢圓)0(1:2222????babyaxC過點)231(，且離心率21?e。（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）若直線)0(:???kmkxyl與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點)081(G，求k的取值范圍。分析分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到：

6、第一問中已知橢圓的離心率，可以得到的關系式，再根據的關系式，再根據“過點)231(”得到得到的第的第2個關系式，解個關系式，解abab方程組，就可以解出方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。的值，確定橢圓方程。ab第二問，設出交點坐標，聯(lián)立方程組，轉化為一元二次方程，通過判別式得出第二問，設出交點坐標，聯(lián)立方程組，轉化為一元二次方程，通過判別式得出的不等式，再根據韋達定理，得的不等式，再根據韋達定理，得km出弦出弦MN的中點的橫坐標，利

7、用弦的直線方程，得到中點的縱坐標，由中點坐標和定點的中點的橫坐標，利用弦的直線方程，得到中點的縱坐標，由中點坐標和定點)081(G，得垂直平分線的，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為1，可得，可得的等式，用的等式，用k表示表示m再代入不等式，就可以求出再代入不等式，就可以求出k的km取值范圍。取值范圍。解：（Ⅰ）離心率21?e，，即（1）；?2213144ba????2243b

8、a?又橢圓過點)231(，則，（1）式代入上式，解得，，橢圓方程為。221914ab??24a?23b?22143xy??（Ⅱ）設，弦MN的中點A1122()()MxyNxy00()xy由得：，直線)0(:???kmkxyl與橢圓交于不同的兩點，223412ykxmxy???????222(34)84120kxmkxm??????，即………………（1）2222644(34)(412)0mkkm???????2243mk??由韋達定理得：