山東省2012屆高中數(shù)學(xué)夏令營(yíng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（及答案）

1、山東省山東省2012屆高中數(shù)學(xué)夏令營(yíng)屆高中數(shù)學(xué)夏令營(yíng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（及答案）數(shù)學(xué)競(jìng)賽（及答案）一.填空題填空題(本題共5道小題每小題8分滿分40分)1.函數(shù)的最大值是________________(王澤陽(yáng)()1232fxxx????供題)解:其等號(hào)僅當(dāng)即()123222fxxx?????1232xx???時(shí)成立12x?所以f(x)最大=.222.如果自然數(shù)a的各位數(shù)字之和等于5那么稱a為“吉祥數(shù)”將所有吉祥數(shù)從小到大排成一列a1a2…an.

2、若an=2012.則n=_______________.(王繼忠供題)解:設(shè)為吉祥數(shù)則x1x2…xm=5由x1≥1和x2…xm≥0得12mxxx?(x11)x2…xm=4所以為第個(gè)吉祥數(shù).為第個(gè)12mxxx?43mC?21mxx?42mC?吉祥數(shù).由此得:一位吉祥數(shù)共1個(gè)二位吉祥數(shù)共個(gè)三位吉祥數(shù)共455C?個(gè)4615C?因以1為首位的四位吉祥數(shù)共個(gè)以2為首位的前兩個(gè)四4615C?位吉祥數(shù)為:2003和2012.故n=1515152=38

3、.3.已知f(x)是2011次多項(xiàng)式當(dāng)n=01…2011時(shí).()1nfnn??則f(2012)=______(王林供題)解:當(dāng)n=01…2011時(shí)(n1)f(n)=n即多項(xiàng)式(x1)f(x)x有2012個(gè)二.解答題解答題(本題共5道小題每小題20分滿分100分)6.證明:對(duì)任給的奇素?cái)?shù)p總存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n使得p|(n2n1).(陳永高供題)證明證明:取n=(p1)k則由費(fèi)爾馬小定理知所以(1)21(mod)pkp??p|(n2n1)

4、.(1)(1)21(mod)(1)1(mod)1(mod)pkpkppkpkp???????????取k=pr1(r∈N)即n=(p1)(pr1)就有即(1)(1)21(mod)pkpkp????p|(n2n1).7.如圖，已知P是矩形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AD于E，延長(zhǎng)DP交AB于F，延長(zhǎng)CP交矩形的外接圓于G。求證：GE⊥GF.(葉中豪供題)證法證法1:設(shè)CG交AD于Q由∠GBA＝∠GDA及∠AGB＝∠CGD知△ABG∽△Q