32 向量的線性相關(guān)性

1、§3.2 向量的線性相關(guān)性,3.2.1 線性相關(guān), 線性無關(guān),3.2.2 線性相關(guān)性的刻畫,3.2.3 線性相關(guān)性的判斷,定義：,幾何意義：,(1)兩向量線性相關(guān)：兩向量共線.,(2)三向量線性相關(guān)：三向量共面.,3.2.1 線性相關(guān), 線性無關(guān),(2)自己證明 ：三向量線性相關(guān)：三向量共面.,例：用定義判斷線性相關(guān)性。,相,相,結(jié)論,無關(guān)。,,3.2.2 線性相關(guān)性的刻畫,于是向量組

2、線性相關(guān),則向量 必能由向量組A線性表示，且表示式唯一.,3.2.3 線性相關(guān)性的判斷,有非零解，且它的一個(gè)非零解 就是線性表示的一組不全為零的系數(shù)。,線性方程組的向量表示,注,利用此定理判別向量組的線性相關(guān)性等價(jià)的說法:,例:,證明如下n維基本向量組線性無關(guān)：,解:,例：判斷向量組,由克萊姆法則，上述方程組只有零解。,即,以 為未知量的方程組的系數(shù)行列

3、式,即齊次線性方程組有非零解，所以向量 線性相關(guān)。,例：,已知向量組,線性無關(guān),,,證明:,設(shè),,引理 未知數(shù)個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)的齊次線性方程 組必有非零解。,證明：考慮齊次線性方程組,問題：前面的例子得到的方程組的未知量個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)都相等，可以應(yīng)用系數(shù)行列式是否為零來判斷，如果未知量個(gè)數(shù)不等于方程個(gè)數(shù)呢？,,方程組（2）的系數(shù)行列式最后一行為0，故行列式為0，該方程組有非零解。,推論2 任何n+

4、1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)。,一般的，當(dāng)m>n時(shí)，m個(gè)n維向量一定線性相關(guān)。,由該引理，可得如下推論：,推論3 n個(gè)n維向量線性無關(guān)的充分必要條件是它們構(gòu)成的方陣的行列式不等于零。,推論5 如果在數(shù)域P上的n維向量空間 中，有n個(gè)向量 線性無關(guān)，則 中的任一向量 都可由 線性表示，且表法唯一。,推論4 數(shù)域P上的n維向量空間 中，任何一組線性無關(guān)的向量的個(gè)數(shù)最多為n