[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計ppt課件第三章隨機(jī)向量及其獨立性

1、§3.4　隨機(jī)向量的函數(shù)的分布,設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量,z =? (x, y)是一個已知的二元函數(shù),如果當(dāng)(X, Y)取值為(x, y)時, 隨機(jī)變量Z取值為z =? (x, y),則稱Z是二維隨機(jī)變量的函數(shù),記作Z =? (X, Y)問題: 已知(X, Y)的分布, 求Z =? (X, Y)的分布.,一、離散型隨機(jī)向量函數(shù)的分布,例1,解,等價于,,,,,,,,,概率,,,,,例2,設(shè)兩個獨立的隨機(jī)變量 X 與 Y

2、 的分布律為,求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律.,解Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,…,,例3,X, Y 相互獨立,證明,由前面的例題可知,例4,例5,設(shè)X和Y相互獨立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,我們可以按照前面的方法來求解，也可以換一種方法.,回憶第二章對服從二項分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋:,同樣，Y是在n2次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.,若X~ B(

3、n1,p),則X 是在n1次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率都為p.,,故Z=X+Y 是在n1+n2次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù).,每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.,于是Z是以（n1+n2，p）為參數(shù)的二項隨機(jī)變量，即Z ~ B(n1+n2, p).,解,（續(xù)）,從問題的背景出發(fā)得到的結(jié)果更直接，更容易理解.,更一般地，,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布,1. 已知(X,Y)~ f(x,y)，求Z = ? (X,

4、Y)的概率分布.,若Z為連續(xù)型隨機(jī)變量,則在f(z)的連續(xù)點處,解,例6,X,Y相互獨立,設(shè)Z的分布函數(shù)和概率密度分別為,例7已知(X,Y) ~ f(x, y)，求Z=X+Y的概率密度.,解1,,由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率密度為,例7已知(X,Y) ~ f(x, y)，求Z=X+Y的概率密度.,解2,,由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率密度為,推論 設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x) , fY

5、(y). 若X和Y獨立, 則,兩個隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式,解,例8,被積函數(shù)的非零域,,,,,10,(10,10),(10,20),,,20,,,,,,例9,解,,,,,,,,,,,被積函數(shù)的非零域,已知X, Y 相互獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求Z=X+Y的概率密度.,解,例10,若X和Y 獨立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).,有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.,一個

6、重要的結(jié)論,§3.5　極大極小值的分布,設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y), 求M=max(X,Y) 及 N=min(X,Y)的分布函數(shù).,M=max(X,Y),FM(z) = P{M≤z} = P{max(X,Y)≤z},= P{X≤z,Y≤z},= P{X≤z} P{Y≤z},= FX(z) FY(z),類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是,=1-P{X>z,Y&g

7、t;z},FN(z) =P{N≤z} =P{min(X,Y) ≤z},=1 – P{min(X,Y) > z},=1- P{X>z}P{Y>z},= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)],推論,例1,下面我們再舉一例，說明當(dāng)X1,X2為離散型隨機(jī)變量時，如何求Y=max(X1,X2)的分布.,解1,記1-p=q，則P(Xi=k) = p q k-1 , k=1,2, … ( i =1,2),設(shè)隨機(jī)變量X1,X

8、2相互獨立,并且有相同的幾何分布P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, … ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .,例2,P(Y=n) = P(max(X1,X2)=n),= P(X1=n, X2≤n) + P( X2 =n, X1 <n),n=0,1,2,…,解2 P(Y=n)=P(Y≤n) - P(Y≤n-1),=P(max(X1,X2) ≤ n ) - P(max(X1,X2) ≤