[學(xué)習(xí)]概論與統(tǒng)計(jì)課件第三章多維隨機(jī)變量及分布

1、第三章多維隨機(jī)變量及其分布,從本講起，我們開(kāi)始第三章的學(xué)習(xí).,一維隨機(jī)變量及其分布,,多維隨機(jī)變量及其分布,由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量 .,它是第二章內(nèi)容的推廣.,例1 在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)隨機(jī)變量 (平面直角坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo))（X，Y）來(lái)確定.,例2 運(yùn)行的人造衛(wèi)星在空中的位置是由三個(gè)隨機(jī)變量 (三個(gè)坐標(biāo))（X，Y，Z）來(lái)確定.,到目前為止，我們只討論了一維隨機(jī)變量及其分布，但有

2、些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述。,為研究這類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，本章引入n維隨機(jī)變量的概念。,定義1.1：設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn)， X1,X2,…,Xn 是E的n個(gè)隨機(jī)變量，則稱向量(X1,X2,…,Xn)為E的n維隨機(jī)變量，Xi稱為第i（ i=1,2,…,n ）個(gè)分量。,特別地，n=1時(shí)的一維隨機(jī)變量就是第二章中的隨機(jī)變量。當(dāng)n=2時(shí)，稱為二維隨機(jī)變量，記為(X,Y)。,以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.,請(qǐng)

3、注意與一維情形的對(duì)照 .,第一節(jié) 二維隨機(jī)變量,二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布及其邊緣概率分布 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度及其邊緣密度函數(shù),第一節(jié) 二維隨機(jī)變量,如果對(duì)于任意實(shí)數(shù),二元 函數(shù),稱為二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù),,定義1.2,1.1 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),將二維隨機(jī)變量 看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),,那么,分布函數(shù) 在

4、點(diǎn) 處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn) 落在下面左圖所示的,以點(diǎn) 為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形域內(nèi)的概率.,分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋,,隨機(jī)點(diǎn) 落在矩形域,內(nèi)的概率為,,,,,,(1) 對(duì)任意的x 和y 都有：,0 ? F(x , y) ? 1,且對(duì)任意固定的 y 有：,對(duì)任意固定的 x 有：,(2) F(x ,y)分別是變量 x 或 y 的不減函數(shù)。即：,對(duì)任意固

5、定的y，當(dāng)x2 >x1時(shí)，F(xiàn)(x2 , y)? F(x1 , y),對(duì)任意固定的 x，當(dāng) y2 > y1時(shí)，F(xiàn)(x , y2) ? F(x , y1),(3) F(x , y)分別關(guān)于 x 和 y 右連續(xù)。,(4) 當(dāng) x1 < x2 ， y1 < y2 時(shí)，有,F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)≥0,定義：二維隨機(jī)變量 (X,Y ) 中，其分量X，Y是

6、一維隨機(jī)變量，他們各自的分布函數(shù)分別記為FX(x)和FY( y) ，稱FX(x)和FY( y)分別為二維隨機(jī)變量(X ,Y )關(guān)于X （或Y）的邊緣分布函數(shù)。,結(jié)論：設(shè)(X , Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x , y)，則有,邊緣分布函數(shù),邊緣分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)確定。,邊緣分布從某種意義看，就是一維隨機(jī)變量的分布，它具有一維分布的性質(zhì)。只不過(guò)邊緣分布在二維空間考慮。,1.2 二維離散型隨機(jī)變量,1 二維離散型隨機(jī)

7、變量的聯(lián)合概率分布,或隨機(jī)變量X和Y 的聯(lián)合分布律.,,k=1,2, …,X 的分布律,k=1,2, …,定義1.3,的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì),,設(shè)二維離散型隨機(jī)變量,可能取的值是,記,如果二維隨機(jī)變量,全部可能取到的不相同,稱之為二維離散型隨機(jī)變量 的分布律,,也可用表格來(lái)表示隨機(jī)變量X和Y 的聯(lián)合分布律.,二維離散型隨機(jī)變量 的分布律具有性質(zhì),例 設(shè)（X , Y）的分布律為：,求a.,P

8、61例1　將兩封信隨機(jī)地往四個(gè)郵筒內(nèi)投放，每封信被投進(jìn)這四個(gè)郵筒的可能性相同。用X， Y 分別表示投入第一個(gè)和第二個(gè)郵筒的信的數(shù)目，試求 (X ,Y) 的聯(lián)合概率分布 .,解（1） X 可取值 0 , 1 , 2 ; Y 可取值 0，1 , 2( X, Y ) 可取值 (0,0),(0,1) , (0,2) ,(1,0), (1,1) , (1,2),(2,0),(2,1),(2,2),（ X , Y）的聯(lián)合概率分布表：,產(chǎn)品中任取

9、4件產(chǎn)品, 求其中一等品、二等品件數(shù)的二維概率分布。,解,設(shè) X 及Y分別是取出的 4 件產(chǎn)品中一等品及二等品的件數(shù),,則有,由此得(X,Y)的二維概率,分布如下：,其中:,i = 0,1,2,3;,j = 0,1,2,3,4;,2?i+j?4.,補(bǔ)例 已知10件產(chǎn)品中有3件一等品, 5件二等品, 2件三等品。從這些,0,0,0,0,0,0,0,0,0,解,設(shè)二維隨機(jī)變量(X , Y )的聯(lián)合分布律為

10、 P (X = x i ，Y= y j ) = p i j (i , j = 1, 2, ? ),2 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣概率分布,則,1,稱為二維隨機(jī)變量(X , Y )關(guān)于X , Y的邊緣概率分布,P67Ex3　把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù) ，而 Y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值 , (1)求 (X ,Y) 的分布律 .(2)求(X ,Y)分別關(guān)于 X 和Y的

11、邊緣概率分布。,解（1） X 可取值 0 , 1 , 2 , 3; Y 可取值 1 , 3( X, Y ) 可取值 (0,1),(0,3) , (1,1) ,(1,3), (2,1) , (2,3),(3,1),(3,3),P{X=0, Y=3},P{X=1, Y=1},P{X=2, Y=1},P{X=3, Y=0},=3/8,=3/8,其他情況的概率皆為0.,（X , Y）的聯(lián)合概率分布,解（2） X 可取值 0 , 1 ,

12、 2 , 3,P{X=0}=,P{X=1}=,P{X=2}=,P{X=3}=,P{Y=1}=,P{Y=3}=,=1/8,,P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3},=3/8,,P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3},=3/8,,P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3},P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3},=1/8.,=3/8+3/8=6/8,,=1/8+1/8=2/8.,,P63例2 設(shè)盒中裝有某種產(chǎn)品

13、8個(gè)，其中6個(gè)正品2個(gè)次品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取產(chǎn)品兩次，每次取一件，記X,Y分別表示第一次與第二次取出的正品個(gè)數(shù)，分別對(duì)有放回與不放回抽樣兩種情況求（ X , Y）的分布律和邊緣分布律。,解,有放回情況:,X , Y的邊緣分布,解,無(wú)放回情況:,X , Y的邊緣分布,可見(jiàn)，兩種情況下，（X , Y）的邊緣分布律完全相同，但（X , Y）的分布律卻不相同。,說(shuō)明：聯(lián)合分布唯一確定邊緣分布，邊緣分布不能唯一地 確定聯(lián)合分布。,1.3 二維

14、連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度及其邊緣密度函數(shù),1 聯(lián)合概率密度,X的概率密度函數(shù),定義1.5,,（X,Y）的概率密度的性質(zhì),在 f (x,y)的連續(xù)點(diǎn) ,,說(shuō)明：給出聯(lián)合密度 f (x, y) 后，事件 {(X ,Y) ? G}的概率都可用二重積分表示，然后化為累次積分計(jì)算,當(dāng) G 為長(zhǎng)方形時(shí)，,將“<”改為“?”上式仍然成立。,例1 設(shè)二維隨機(jī)向量(X ,Y)具有概率密度：,求： 常數(shù) c,解,均勻分布,設(shè)G是

15、平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機(jī)變量（ X,Y）具有概率密度,則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.,向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無(wú)關(guān). 則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) (X,Y)在G上服從均勻分布.,例2 設(shè)(X,Y)的概率密度是,(1) 求分布函數(shù),(2) 求概率 .,,,積分區(qū)域,區(qū)域,解 (1),,,當(dāng)

16、 時(shí),,故,當(dāng) 時(shí),,(2),,例3 設(shè)二維隨機(jī)向量(X ,Y)具有概率密度：,求：(1) 常數(shù) c ; (2) 聯(lián)合分布函數(shù) F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上圖所示三角形區(qū)域 G 內(nèi)的概率。,解,c = 9,(2),當(dāng) 0< x < +? , 0< y < +? 時(shí),當(dāng) x , y 不都大于0 時(shí)

17、,,解：,(3),1- x,0,0,1,設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X ,Y)聯(lián)合密度為 f (x , y) ，則其邊緣分布函數(shù)為,若記,則顯然 fX (x) ? 0，并且對(duì)任意實(shí)數(shù) x，都有f X (x) 是 X的密度函數(shù)，稱 fX (x) 是 (X ,Y)關(guān)于X 的邊緣密度函數(shù)。,2 邊緣密度函數(shù),例4 設(shè)(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）兩個(gè)邊緣密度。,= 5c/24 ,,c =24/5.,解 (1

18、),故,,,例4 設(shè) (X,Y) 的概率密度是,解,求 (1) c 的值; (2) 兩個(gè)邊緣密度 .,(2),,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),,暫時(shí)固定,注意取值范圍,綜上 ,,當(dāng) 時(shí),,例 4 設(shè)(X,Y)的概率密度是,解 (2),求 (1) c的值; (2) 兩個(gè)邊緣密度 .,,暫時(shí)固定,綜上 ,,注意取值范圍,小結(jié)：

19、 在求連續(xù)型 r.v 的邊緣密度時(shí)，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分. 當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時(shí)候，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限 .,解：邊緣密度函數(shù),當(dāng)x ? 0時(shí),當(dāng)x >0時(shí),解：,關(guān)于 X 的邊緣密度函數(shù)為,同理，關(guān)于 Y 的邊緣密度函數(shù)為,當(dāng)? x ? >R時(shí),當(dāng)? x ? ? R時(shí),二維正態(tài)分布（P73-74),定義3.2 若二維連續(xù)型隨機(jī)向量 (X,Y) 的聯(lián)合密度為,其中? 1 , ? 2 ,

20、?1>0, ?2>0 ,|? |<1均為常數(shù)，則稱 (X , Y) 服從參數(shù)為 ? 1 , ? 2 ,?1 , ?2 , ? 的二維正態(tài)分布，記作 (X , Y) ~ N (? 1 , ? 2 , ?12 , ?22 , ?) 。,可求出邊緣密度函數(shù)為：,表明，二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布，與ρ無(wú)關(guān)。,X ~ N (? 1 , ?12 ),Y ~ N ( ? 2 ,?22 ),由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布

21、.,不同的二維正態(tài)分布,,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.,此例表明,解：,關(guān)于 X 的邊緣密度函數(shù)為,第二節(jié) 條件分布,條件分布的概念離散型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布,在第一章中，我們介紹了隨機(jī)事件的條件概率的概念 .,在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率,,推廣到隨機(jī)變量的條件分布,設(shè)有兩個(gè)r.v X,Y ， 在給定Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.,這個(gè)分布就是條件分布.,2.2 離散

22、型隨機(jī)變量的條件概率分布,設(shè) (X , Y ) 的聯(lián)合分布律為：P((X = x i , Y = yj ) = p i j (i , j = 1, 2, ? ),邊緣分布：,現(xiàn)考慮在事件 (Y = y j ) 已發(fā)生的條件下，事件 (X = x i ) 的條件概率 P ( X = x i |Y= y j )。,定義2.1：,設(shè) (X , Y ) 是二維離散型隨機(jī)向量，對(duì)于固定的 j ,,若 P (Y= y j ) > 0，則,

23、稱為在Y=y j 條件下隨機(jī)變量X的條件概率分布.,同樣，對(duì)于固定的 i ，若 P (X = x i ) > 0，則,稱為在X=x i 條件下隨機(jī)變量Y的條件概率分布。,條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì). 正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).,例如：,i=1,2, …,在 X =2的條件下,Y的條件分布為：,=1/3,例1（ X , Y）的聯(lián)合概率分布,P(X=2)=1/6+1/6+1/6=1/2,在

24、Y =1時(shí) , X 的條件分布,解：,=1/3,=1/3,求：在X =2時(shí) , Y 的條件分布,在Y =1的條件下, X的條件分布為,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布,設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對(duì)任意x, y, P{X=x}=0, P{Y=y}=0 ，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.,為在Y=y 條件下，隨機(jī)變量X 的條件分布函數(shù)，記為FX|Y(x|y)。,

25、定義2.2 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X ,Y)聯(lián)合密度為 f (x , y) ，邊緣密度函數(shù)為fX (x) , fY (y) ，則稱,稱為在Y=y 條件下，隨機(jī)變量X 的條件密度函數(shù)。,為在X=x 條件下，隨機(jī)變量Y 的條件分布函數(shù)，記為FY| X (y|x)。,稱為在X=x 條件下，隨機(jī)變量Y 的條件密度函數(shù)。,,解：,對(duì)于滿足? y ? 0，則：,,0 其他,對(duì)于滿足? x? 0，則：,這

26、里是y的取值范圍,X已知的條件下Y 的條件密度,X作為已知變量,特別地，當(dāng)Y=0時(shí)，X的條件密度函數(shù)為,,0 其他,可見(jiàn)，在Y=0的條件下，X服從區(qū)間[-R,R]上的均勻分布。,當(dāng)X=0時(shí)，Y的條件密度函數(shù)為,,0 其他,可見(jiàn)，在X=0的條件下，Y服從區(qū)間[-R,R]上的均勻分布。,第三節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性,3.1 兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性,定義3.1：二維隨機(jī)變量 (X , Y )

27、 中，聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布 函數(shù)分別為F(x，y)， FX (x)，F(xiàn)Y ( y）。若對(duì)任意x,y，都有 F(x，y)=FX (x)FY ( y）即 P(X?x ,Y?y)= P(X?x ) P(Y?y) 則稱隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立。,兩事件 A , B 獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)

28、則稱事件 A , B 獨(dú)立 .,它表明，兩個(gè)r.v相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積 .,3.2 離散型隨機(jī)變量X , Y的獨(dú)立性,定理3.1 離散型隨機(jī)變量X , Y 獨(dú)立的充要條件是對(duì)一切 i , j = 1, 2, …都有 pi j = pi .? p.j,即： P(X = x i ,Y= y j )=P (X = x i ) P(Y= y j ) (i , j =

29、1, 2, ? ),注意： X 與Y 相互獨(dú)立要求對(duì)一切 i , j = 1, 2, …都有上式成立；,只要有一對(duì) (i , j )使得上式不成立，則可斷定X 與Y 不獨(dú)立。,P63例2中,有放回情況時(shí)(X,Y)的分布律為:,X , Y的邊緣分布,判斷X與Y是否相互獨(dú)立？,解,所以X與Y相互獨(dú)立。,P63例2中,不放回摸球情況時(shí)(X,Y)的分布律為:,X , Y的邊緣分布,判斷X與Y是否相互獨(dú)立？,解,所以X與Y不相互獨(dú)立。,解,3

30、.3 連續(xù)型隨機(jī)變量X , Y的獨(dú)立性,定理3.2 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X ,Y)聯(lián)合密度為 f (x , y) ，邊緣密度函數(shù)分別為fX (x) , fY (y) ，則X ,Y相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)一切x, y有f (x , y)= fX (x) fY(y),解：,f (x , y) fX(x) fY(y) ，則X，Y不獨(dú)立,f (x , y)= fX (x) fY (y) ，則X ,Y獨(dú)立

31、,解：,關(guān)于 X 的邊緣密度函數(shù)為,同理，關(guān)于 Y 的邊緣密度函數(shù)為,當(dāng) x1時(shí),當(dāng)0< x <1 時(shí),f (x , y) fX(x) fY(y) ，則X，Y不獨(dú)立,例：設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，Y的密度函數(shù)為,,0, 其他,（1）求 X 和Y的聯(lián)合密度函數(shù)；,（2）關(guān)于a的二次方程a2+2Xa+Y=0有實(shí)根的概率。,解：（1）X服從區(qū)間[0,1]上的

32、均勻分布，X的密度函數(shù)為,,0, 其他,因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立， X 和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為,f (x , y)= fX (x) fY (y)=,,0, 其他,例：設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，Y的密度函數(shù)為,,0, 其他,（1）求 X 和Y的聯(lián)合密度函數(shù)；,（2）關(guān)于a的二次方程a2+2Xa+Y=0有實(shí)根的概率。,解（2）所求概率為,二維正態(tài)隨機(jī)變量

33、的獨(dú)立性,前面已求出邊緣密度函數(shù)為：,-∞<x<∞,-∞<y<∞,反之，,若隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為,則對(duì)任意實(shí)數(shù) x , y ，(X ,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)：,(X,Y)~N(? 1, ? 2, ?12, ?22 , 0),此例說(shuō)明：若X? N(? 1,?12)，Y? N(? 2,?22)，且X 與Y 獨(dú)立，則(X,Y)? N(? 1,? 2,?12,?22 ,0)；若(X,

34、Y)? N(? 1,? 2,?12,?22,0)，則X 與Y 獨(dú)立。所以，二維正態(tài)隨機(jī)變量 X 與Y 獨(dú)立的充要條件是 ? = 0-----P74例7,結(jié)論 ：,當(dāng)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立，邊緣分布唯一確定聯(lián)合分布.,定理2.3,當(dāng)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立，則g(X )與h(Y ) 獨(dú)立.,第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 其他形式二維隨機(jī)變量函數(shù)的

35、分布,二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,若存在二元函數(shù) z = g(x, y)，使得對(duì)二維隨機(jī)變量 (X ,Y)的每一取值 (x, y)，隨機(jī)變量Z 的相應(yīng)取值為 z = g(x, y)，則稱隨機(jī)變量Z是隨機(jī)變量 (X ,Y ) 的函數(shù)，記作Z = g(X ,Y )。,由 (X ,Y ) 的分布求出 Z=g(X ,Y )的分布呢？,例： Z=X+Y,例如， 對(duì)一塊長(zhǎng)方形的土地進(jìn)行測(cè)量，用隨機(jī)變量 X 與 Y 分別表示其長(zhǎng)與寬的測(cè)量值。已知

36、 (X, Y) 的聯(lián)合分布如表 1，求土地的面積 Z 的概率函數(shù)。,因?yàn)?Z=X?Y ，所以 Z 的可能取值是 20, 20.4, 21, 21.42。,解：,于是，Z 的概率函數(shù)如表2 所示。,P(Z=20)=P(X=5, Y=4)=0.2,P(Z=20.4)=P(X=5.1, Y=4)=0.3,P(Z=21)=P(X=5, Y=4.2)=0.4,P(Z=21.42)=P(X=5.1,Y=4.2)=0.1,4.

37、1 Z=X+Y的分布(和的分布),1 二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,例1 已知 (X ,Y ) 的聯(lián)合分布如表 求Z= X + Y 的概率函數(shù)。,因?yàn)?Z=X + Y ，所以Z 的可能取值是 1,2,3,4,5,解：,于是， Z 的概率函數(shù)如表所示。,P(Z=1)=P(X=0, Y=1)=0.1,P(Z=2) =P(X=0, Y=2)+P(X=1, Y=1)=0.2+0.05=0.25,P(Z=3)=P(X

38、=0, Y=3)+P(X=1, Y=2)+P(X=2, Y=1) =0.15+0.1+0.02=0.27,P(Z=4)=P(X=1, Y=3)+P(X=2, Y=2)=0.2+0.18=0.38,P(Z=5)=P(X=2, Y=3)=0,例 設(shè) 的聯(lián)合分布列為,分別求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列,解 由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格,解 得所求的各分布列為,例2 若隨

39、機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，它們都取非負(fù)整數(shù)值，概率函數(shù)分別為 P ( X = k ) = a k (k = 0, 1, 2, …) P ( Y = k ) = b k (k = 0, 1, 2, …)求 Z = X + Y 的概率函數(shù)。,解：,(r = 0, 1, 2, …),此即求獨(dú)立離散型隨

40、機(jī)變量和的分布的公式，稱為離散型獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式，亦稱為褶積公式。,=a 0br+ a 1br-1+…+ a r b0,P77例2 設(shè) X~P(? 1) 與 Y~P(? 2)，且 X 與 Y 相互獨(dú)立 求 Z=X+Y的概率分布。,由于泊松分布的隨機(jī)變量 X 與 Y 可取所有非負(fù)整數(shù)，故其和Z=X+Y 也只取所有非負(fù)整數(shù)。對(duì)任一非負(fù)整數(shù) k，有：,解：,這是參數(shù)為 ? 1+? 2 的泊松分布。即 Z=X+Y~P (?

41、 1+? 2)。,結(jié)論：兩個(gè)相互獨(dú)立的服從泊松分布的隨機(jī)變量的和仍服從泊松分布，其參數(shù)為這兩個(gè)分布的參數(shù)之和。 這個(gè)事實(shí)，通常被稱作泊松分布具有可加性。,P81 4題 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，X~B(n, p)，Y~B(m, p)，求 Z = X + Y 的分布。,因?yàn)?X~B(n , p)，Y~B(m , p)，所以有,解：,所以，Z = X + Y ~ B (n + m , p),特別當(dāng)X,Y獨(dú)立,且 X ~

42、B (1 , p) ,Y ~ B (1 , p)，即服從同一0-1分布。則X+Y ~ B (2 , p)。結(jié)論：相互獨(dú)立的服從同一0-1分布的隨機(jī)變量的和服從 二項(xiàng)分布。,2 二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y)， Z=g(X,Y),求Z的密度函數(shù)f(z)。,方法----分布函數(shù)法,例 設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,這里

43、積分區(qū)域 D={(x, y): x+y ≤z},解,Z=X+Y的分布函數(shù)是:,它是直線 x+y =z 及其左下方的半平面.,化成累次積分,得,固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換, 令 x=u-y,得,變量代換,交換積分次序,,,,,,,,,由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得Z=X+Y的概率密度為:,由X和Y的對(duì)稱性, fZ (z)又可寫(xiě)成,以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.,特別地，當(dāng) X 和 Y 獨(dú)立，設(shè) (X,

44、Y) 關(guān)于 X , Y 的邊緣密度分別為 fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為:,下面我們用卷積公式來(lái)求Z=X+Y的概率密度.,卷積公式,P78例3 若X和Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷積公式,令,得,可見(jiàn) Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0,2).,用類似的方法可以證明:,若X和Y 獨(dú)立,,結(jié)論又如何呢?,此結(jié)論可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和

45、的情形,請(qǐng)自行寫(xiě)出結(jié)論.,若X和Y 獨(dú)立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 則Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0,2).,有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.,更一般地, 可以證明:,4.2 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,設(shè) X，Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x) 和 FY(y),我們來(lái)求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函數(shù).,FM(z)=P

46、(M≤z),=P(X≤z,Y≤z),由于 X 和 Y 相互獨(dú)立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函數(shù)為:,1. M = max(X,Y) 的分布函數(shù),即有 FM(z)= FX(z)FY(z),,進(jìn)一步有 fM(z)= fX(z)FY(z)+F X(z) f Y(z),即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)],=1-P(X>z,Y>

47、;z),FN(z)=P(N≤z),=1-P(N>z),2. N = min(X,Y) 的分布函數(shù),,由于 X 和 Y 相互獨(dú)立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函數(shù)為:,進(jìn)一步有 fN(z)= fX(z)[1-FY(z)]+[1-FX(z)] f Y(z),設(shè) X1,…,Xn 是 n 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為,我們來(lái)求 M=max(X1,…,Xn) 和N=min(X1,…,Xn