[學習]天津大學概率論與數理統(tǒng)計多維隨機變量連續(xù)

1、(X,Y )是二維連續(xù)型隨機變量,二維連續(xù)型隨機變量,X 是(一維)連續(xù)型隨機變量,類比,· 位于xOy 面上方的曲面.,· 它與xOy 面圍成的空間區(qū)域體積為1.,,· 隨機點(X,Y)落在平面區(qū)域D內的概率= 以D為底、曲面f (x,y)為頂的曲頂柱體的體積,,=F(+? , +?),非負性,規(guī)范性,,,? ? x ?(-?, +?),隨機變量X 的分布函數F(x),f (x) 是 X 的概率密度,

2、二維隨機變量(X,Y )的分布函數F(x,y),f (x,y)是X 和Y 的聯合概率密度,⑶ P(0 < X ? 1, 0 <Y ? 2),例4(P88 例4),試求： ⑴ 常數C; ⑵分布函數F(x, y); ⑶ P(0<X?1, 0<Y?2)與P(Y?X).,解 ⑴,由規(guī)范性知：,∴ C=12;,⑵,記為D,,,,G,,G,P(Y ? X),例5 設 r.v.( X ,Y ) 的聯合

3、d.f. 為,其中k 為常數. 求,常數 k ; P ( X + Y ? 1) , P ( X < 0.5); 聯合分布函數 F (x,y); 邊緣 d.f. 與邊緣分布函數,例5,解 令,(1),,,(2),,,0.5,,,的分段區(qū)域,,,,,,,,,,當0? x< 1, 0? y< x 時，,(3),,當x<0 或 y<0 時, F(x,y) = 0,,,當0? x<1, x

4、? y<1時，,,,,,,,,當0 ? x <1, y ? 1時，,,,,當x ? 1, 0 ? y < 1時，,,,,,,當 x ? 1, y ? 1 時，,(4),設 G 是平面上的有界區(qū)域,其面積為S. 若二維隨機變量 (X,Y)的概率密度為,則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.,向平面上有界區(qū)域 G 內任投一質點，,四、兩個常見的二維分布,1. 均勻分布,若質點落在 G 內任一小區(qū)域 B 的概率與小區(qū)域的

5、面積成正比，而與B的形狀及位置無關.,則質點的坐標(X,Y )在 G 上服從均勻分布.,.,,例6 設(X ,Y ) ~ G 上的均勻分布,,f ( x, y ); P ( Y > X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落點到 y 軸距離小于0.3的概率.,例6,求,解 (1),,(2),,(3),,例7 甲乙約定8:00?9:00在某地會面.假設兩人都在這期間的任一時刻隨機到達，先到者最多等待15分鐘后

6、就離開.求兩人能見面的概率.,2024/3/26,17,2024/3/26,18,60,60,若二維隨機變量(X,Y)具有概率密度,2. 正態(tài)分布,則稱(X,Y )服從參數為 的二維正態(tài)分布.,記作(X,Y)～N( ).,,且,二維正態(tài)分布剖面圖,§2 邊緣分布,,聯合分布F(X,Y),二維聯合分布F(X,Y)全面地反映了二維隨機變量(X,Y)

7、的取值及其概率規(guī)律.,問題：二者之間有什么關系嗎?,分別稱為(X,Y)關于X和Y的邊緣分布函數,但作為一維隨機變量, X, Y 也有自己的分布函數.,,由聯合分布可以確定邊緣分布,由邊緣分布一般不能確定聯合分布,反之?,轉化為一維時的情形,,FX ( x ) = F(x, +?),X 和Y 的聯合分布函數為F(x,y ),,則(X,Y )關于X 的邊緣分布函數為,(X,Y) 關于Y 的邊緣分布函數為,二、連續(xù)型二維隨機變量的邊緣概率

8、密度,(X,Y )關于Y 的邊緣概率密度為,則(X,Y )關于X 的邊緣概率密度為,,例2 設(X,Y )的概率密度是,解,求邊緣密度.,分段函數積分應注意其表達式,,,,y = x,y = x2,,,,在求連續(xù)型隨機變量的邊緣密度時，往往要對聯合密度在一個變量取值范圍上進行積分.,當聯合密度是分段函數時，在計算積分時應特別注意積分限 .,,例,設(X,Y )服從橢圓域 上的均勻分布,求,(1) 求(X,Y )的邊

9、緣密度函數,解 (1),由題知(X,Y )的概率密度為,同理可得,(2),(2) ,其中A為區(qū)域:,X 與Y 不服從均勻分布,二維均勻分布的兩個邊緣密度未必是均勻分布的,二維正態(tài)分布的邊緣密度仍服從正態(tài)分布,A,,x+y =a,,,,,解,例4,求二維正態(tài)分布的邊緣密度.,,,,,～～,二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布,均與 ? 無關,逆命題成立嗎 ？,由邊緣分布一般不能確定聯合

10、分布,,,請看下例,例5 若二維隨機變量( X, Y )的概率密度為,,求邊緣密度函數,解,同理,～ ～,但反之不真,二維正態(tài)分布性質,二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布的,正態(tài)分布的聯合分布未必是正態(tài)分布,但反之不真,聯合分布和邊緣分布的關系:,我們與一維情形相對照，采用類比和轉化的手段,介紹了二維隨機變量的聯合分布、邊緣分布.,由聯合分布可以確定邊緣分布;,但由邊緣分布一般不能