第二章 隨機(jī)變量的分布及數(shù)字特征

1、第二章第二章隨機(jī)變量及其數(shù)字特征隨機(jī)變量及其數(shù)字特征31第二章第二章隨機(jī)變量及其數(shù)字特征隨機(jī)變量及其數(shù)字特征一、教學(xué)要求一、教學(xué)要求1.理解隨機(jī)變量的概念，掌握離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì)；2.理解分布函數(shù)的概念和性質(zhì)，會(huì)利用概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率；3.會(huì)利用分布函數(shù)計(jì)算離散和連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征；4.熟練掌握退化分布、兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、幾何分布、超幾何分布、泊松分布和正態(tài)分布、

2、指數(shù)分布、均勻分布等常用概率分布及其數(shù)字特征的計(jì)算和相關(guān)概率的求解；5.應(yīng)用公式會(huì)求簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布及數(shù)字特征。二、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、重點(diǎn)與難點(diǎn)本章的重點(diǎn)是隨機(jī)變量概率分布及其性質(zhì)，常見(jiàn)的幾種分布，隨機(jī)變量函數(shù)的分布、數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算；難點(diǎn)是隨機(jī)變量函數(shù)的分布及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算。2.1隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布一、一、隨機(jī)變量隨機(jī)變量1引入隨機(jī)變量的必要性引入隨機(jī)變量的必要性1）在隨機(jī)現(xiàn)象中，有很大一部分問(wèn)題與數(shù)值發(fā)生關(guān)系

3、。如：產(chǎn)品檢驗(yàn)問(wèn)題中，抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問(wèn)題中某時(shí)刻正在工作的車床數(shù)；在電訊中，某段時(shí)間的話務(wù)量等等。2）有些初看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來(lái)描述。如：擲硬幣問(wèn)題中，記出現(xiàn)正面時(shí)為“1”，出現(xiàn)反面時(shí)為“0”。注：注：這些例子中，試驗(yàn)的結(jié)果能用一個(gè)數(shù)字X來(lái)表示，這個(gè)數(shù)X是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，也即它是樣本點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)，這種量以后稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量。2引例引例先看一個(gè)具體的例子先看一個(gè)具體的例子:例1袋

4、中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個(gè)數(shù)我們將3只黑球分別記作1，2，3號(hào)，2只白球分別記作4，5號(hào)，則該試驗(yàn)的樣本空間為????????????????????123124125134135145234235245345????????????????，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3因此，X是一個(gè)變量但是，X取什么值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，即X的取值帶

5、有隨機(jī)性，所以，我們稱X為隨機(jī)變量第二章第二章隨機(jī)變量及其數(shù)字特征隨機(jī)變量及其數(shù)字特征33()()FxPXx??為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)且稱X服從記為X~.有時(shí)也可用表明是X的()Fx()Fx()XFx分布函數(shù).2.例子例子例4向半徑為r的圓內(nèi)隨機(jī)拋一點(diǎn)求此點(diǎn)到圓心之距離X的分布函數(shù)并求P(X()Fx).23r解事件“”表示所拋之點(diǎn)落在半徑為的圓內(nèi)，故由幾何概率知Xx?(0)xxr??從而222()()().xxFxPXxrr??????

6、22r225P(X)=1P(X)=1().3339r??3.分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)定理：定理：任一分布函數(shù)都有如下三條基本性質(zhì):()Fx（1）單調(diào)性單調(diào)性:是定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的單調(diào)非減函數(shù)，即對(duì)任意的，()Fx()????12xx?有；12()()FxFx?（2）規(guī)范性規(guī)范性:=；()F??lim()0xFx????=。()F??lim()1xFx????（3）右連續(xù)性右連續(xù)性:是x的右連續(xù)函數(shù)，即對(duì)任意的，有()Fx0x，00

7、lim()()xxFxFx???即。00(0)()FxFx??證明證明略。注（1）上述三條可以作為判斷一個(gè)函數(shù)是否為分布函數(shù)的充要條件。（2）有了分布函數(shù)的定義，可以計(jì)算：，，()()()PaXbFbFa????()()()PXaFaFa????等。()1()PXbFb????三、離散隨機(jī)變量及其分布列三、離散隨機(jī)變量及其分布列1離散型隨機(jī)變量的概念離散型隨機(jī)變量的概念若某個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，則稱這個(gè)隨機(jī)變