§7－1電容元件

1、第七章 電容元件和電感元件,前幾章討論了電阻電路，即由獨立電源和電阻、受控源、理想變壓器等電阻元件構(gòu)成的電路。描述這類電路電壓電流約束關(guān)系的電路方程是代數(shù)方程。但在實際電路的分析中，往往還需要采用電容元件和電感元件去建立電路模型。這些元件的電壓電流關(guān)系涉及到電壓電流對時間的微分或積分，稱為動態(tài)元件。含動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路，描述動態(tài)電路的方程是微分方程。本章先介紹兩種儲能元件—電容元件和電感元件。再介紹簡單動態(tài)電路微分方程的建立。

2、以后兩章討論一階電路和二階電路的時域分析，最后一章討論線性時不變動態(tài)電路的頻域分析。,常用的幾種電容器,§7－1 電容元件,一、  電容元件 集總參數(shù)電路中與電場有關(guān)的物理過程集中在電容元件中進(jìn)行，電容元件是構(gòu)成各種電容器的電路模型所必需的一種理想電路元件。 電容元件的定義是：如果一個二端元件在任一時刻，其電荷與電壓之間的關(guān)系由u-q平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電容元件。,圖7-1,(a)

3、 電容元件的符號 (c) 線性時不變電容元件的符號 (b) 電容元件的特性曲線 (d) 線性時不變電容元件的特性曲線,電容元件的符號和特性曲線如圖7-1(a)和(b)所示。,其特性曲線是通過坐標(biāo)原點一條直線的電容元件稱為線性電容元件，否則稱為非線性電容元件。,圖7-1,線性時不變電容元件的符號與特性曲線如圖(c)和(d)所示，它的特性曲線是一條通過原點不隨時間變化的直線，其數(shù)學(xué)

4、表達(dá)式為,式中的系數(shù)C為常量，與直線的斜率成正比，稱為電容，單位是法[拉],用F表示。,圖7-1,實際電路中使用的電容器類型很多，電容的范圍變化很大，大多數(shù)電容器漏電很小，在工作電壓低的情況下，可以用一個電容作為它的電路模型。當(dāng)其漏電不能忽略時，則需要用一個電阻與電容的并聯(lián)作為它的電路模型。 在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個電感來構(gòu)成電容器的電路模型，如圖7-2所示。,圖7-2 電容器的幾種電路模型,二、電容元件

5、的電壓電流關(guān)系 對于線性時不變電容元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式,此式表明電容中的電流與其電壓對時間的變化率成正比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電容電流與此時刻電壓的數(shù)值之間并沒有確定的約束關(guān)系。 在直流電源激勵的電路模型中，當(dāng)各電壓電流均不隨時間變化的情況下，電容元件相當(dāng)于一個開路(i=0)。,在已知電容電壓u(t)的條件下，用式(6-2)容易

6、求出其電流i(t)。例如已知C=1?F電容上的電壓為u(t)=10sin(5t)V，其波形如圖7-3(a)所示，與電壓參考方向關(guān)聯(lián)的電容電流為,圖7-3,,例7-1 已知C=0.5?F電容上的電壓波形如圖7-4(a)所示， 試求電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時的電流iC(t),并畫 出波形圖。,圖7－4 例7－1,2.當(dāng)1s?t?3s時，uC(t)=4-2t，根據(jù)式7－2可以得到,1.當(dāng)0?t

7、?1s 時，uC(t)=2t，根據(jù)式7－2可以得到,解：根據(jù)圖7－4(a)波形，按照時間分段來進(jìn)行計算,圖7－4 例7－1,3.當(dāng)3s?t?5s時，uC(t)=-8+2t，根據(jù)式7－2可以得到,4.當(dāng)5s?t時，uC(t)=12-2t，根據(jù)式7－2可以得到,圖7－4 例7－1,根據(jù)以上計算結(jié)果，畫出圖7－4(b)所示的矩形波形。,在已知電容電流iC(t)的條件下，其電壓uC(t)為,其中,稱為電容電壓的初始值,它是從t=-∞到t=0

8、時間范圍內(nèi)流過電容的電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生的電壓。,式(7－3)表示t>0某時刻電容電壓uc(t)等于電容電壓的初始值uc(0)加上t=0到t時刻范圍內(nèi)電容電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個直流電壓源uc(0)和一個初始電壓為零的電容的串聯(lián) 如圖7－5所示。,圖7－5,從上式可以看出電容具有兩個基本的性質(zhì) (1)電容電壓的記憶性。 從式（7－3）可見，任意時刻T電容電

9、壓的數(shù)值uC(T)，要由從-?到時刻T之間的全部電流iC(t)來確定。也就是說，此時刻以前流過電容的任何電流對時刻T 的電壓都有一定的貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時刻的電流或電壓完全不同，我們說電容是一種記憶元件。,例7－2 電路如圖7－6(a)所示，已知電容電流波形如圖7－6(b)所示，試求電容電壓uC(t)，并畫波形圖。,圖7-6,解：根據(jù)圖(b)波形的情況，按照時間分段來進(jìn)行計算 1．當(dāng)t?0時，iC

10、(t)=0，根據(jù)式7-3可以得到,2．當(dāng)0?t<1s時，iC(t)=1?A，根據(jù)式7-3可以得到,圖7-6,3．當(dāng)1s?t<3s時，iC(t)=0，根據(jù)式7－3可以得到,4．當(dāng)3s?t<5s時，iC(t)=1?A，根據(jù)式7－3可以得到,5．當(dāng)5s?t時，iC(t)=0，根據(jù)式7－3可以得到,根據(jù)以上計算結(jié)果，可以畫出電容電壓的波形如圖(c)所示，由此可見任意時刻電容電壓的數(shù)值與此時刻以前的全部電容電流均有關(guān)系。

11、 例如，當(dāng)1s<t<3s時，電容電流iC(t)=0，但是電容電壓并不等于零，電容上的2V電壓是0<t<1s時間內(nèi)電流作用的結(jié)果。,圖7-6,圖7－7(a)所示的峰值檢波器電路，就是利用電容的記憶性，使輸出電壓波形[如圖(b)中實線所示]保持輸入電壓uin(t)波形[如圖(b)中虛線所示]中的峰值。,圖7－7 峰值檢波器電路的輸入輸出波形,(2)電容電壓的連續(xù)性 從例7－2的計算結(jié)果可以看出

12、，電容電流的波形是不連續(xù)的矩形波，而電容電壓的波形是連續(xù)的。從這個平滑的電容電壓波形可以看出電容電壓是連續(xù)的一般性質(zhì)。即電容電流在閉區(qū)間[t1,t2]有界時，電容電壓在開區(qū)間(t1,t2)內(nèi)是連續(xù)的。這可以從電容電壓、電流的積分關(guān)系式中得到證明。 將t=T和t=T+dt代入式(6－3)中，其中t1<T<t2和t1<T+dt<t2得到,當(dāng)電容電流有界時，電容電壓不能突變的性質(zhì)，常用下式表示,對于初始

13、時刻t=0來說，上式表示為,利用電容電壓的連續(xù)性，可以確定電路中開關(guān)發(fā)生作用后一瞬間的電容電壓值，下面舉例加以說明。,例7－3 圖7－8所示電路的開關(guān)閉合已久，求開關(guān)在t=0時刻 斷開瞬間電容電壓的初始值uC(0+)。,解：開關(guān)閉合已久，各電壓電流均為不隨時間變化的恒定 值，造成電容電流等于零，即,圖7－8,電容相當(dāng)于開路。此時電容電壓為,當(dāng)開關(guān)斷開時，在電阻R2和R3不為零的情況下，電容電流為有

14、限值，電容電壓不能躍變，由此得到,圖7－8,例7－4 電路如圖7－9所示。已知兩個電容在開關(guān)閉合前一瞬間的電壓分別為uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，試求在開關(guān)閉合后一瞬間，電容電壓uC1(0＋),uC2(0＋) 。,解： 開關(guān)閉合后，兩個電容并聯(lián)，按照KVL的約束，兩個電容電壓必須相等，得到以下方程,圖7－9,再根據(jù)在開關(guān)閉合前后結(jié)點的總電荷相等的電荷守恒定律，可以得到以下方程,聯(lián)立求解以上兩個方程，代入數(shù)據(jù)后得到,兩個電容

15、的電壓都發(fā)生了變化，uC1(t)由0V升高到3V，uC2(t)則由6V降低到3V。從物理上講，這是因為電容C2上有3μC的電荷移動到C1上所形成的結(jié)果，由于電路中電阻為零，電荷的移動可以迅速完成而不需要時間，從而形成無窮大的電流，造成電容電壓可以發(fā)生躍變。,三、電容的儲能 在電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，電容的吸收功率為,由此式可以看出電容是一種儲能元件，它在從初始時刻t0到任意時刻t 時間內(nèi)得到的能量為,當(dāng)C>

16、;0時，W(t)不可能為負(fù)值，電容不可能放出多于它儲存的能量，這說明電容是一種儲能元件。由于電容電壓確定了電容的儲能狀態(tài)，稱電容電壓為狀態(tài)變量。 從式(7－5)也可以理解為什么電容電壓不能輕易躍變，這是因為電容電壓的躍變要伴隨電容儲存能量的躍變，在電流有界的情況下，是不可能造成電場能量發(fā)生躍變和電容電壓發(fā)生躍變的。,若電容的初始儲能為零，即u(t0)=0,則任意時刻儲存在電容中的能量為,此式說明某時刻電容的儲能取決于該時

17、刻電容的電壓值，與電容的電流值無關(guān)。 電容電壓的絕對值增大時，電容儲能增加；電容電壓的絕對值減小時，電容儲能減少。,1. 兩個線性電容并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個線性電容，其等效電容的計算公式推導(dǎo)如下：,四、電容的串聯(lián)和并聯(lián),圖7－10,列出圖7－10(a) 的KCL方程，代入電容的電壓電流關(guān)系，得到端口的電壓電流關(guān)系,其中,,2. 兩個線性電容串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個線性電容，其等效電容